多項式の乗法と乗法公式

Polynomial Multiplication & Formulas

ごちゃごちゃに見える掛け算も、面積の図で見ればすっきり分かります。一辺が a+b の正方形を4つに分けると a²、ab、ab、b² になり、(a+b)² = a² + 2ab + b² という公式がひとりでに見えてきます。符号を変えれば (a−b)² になり、和と差を掛けた (a+b)(a−b) は真ん中が消えて a² − b² だけが残ります。このページでは a と b をスライダーで変えて面積がどう分かれ、なぜその公式が成り立つかを確かめ、101² や 51×49 の計算にも使ってみましょう。

(a+b)² — 面積で理解する

📐 面積モデルの核心

①一辺が a+b の正方形の面積 = (a+b)²

②4つに分けると: a² + ab + ab + b²

③したがって (a+b)² = a² + 2ab + b²

(a−b)² 完全平方式

和の平方

(a+b)² = a² + 2ab + b²

和の平方 = 各々の平方 + 2倍の積

差の平方

(a−b)² = a² − 2ab + b²

中央項の符号だけが変わる

💡 符号の判別

①(a+b)²: 中央 +2ab

②(a−b)²: 中央 −2ab

③両端の a², b² は常に正（平方だから）

(a+b)(a−b) — 和差の公式

和差の公式

(a+b)(a−b) = a² − b²

和×差 = 平方の差

乗法公式の活用

数値計算への応用

101² = (100+1)² = 10000+200+1 = 10201

乗法公式で複雑な計算を簡単に

🧮 活用例

①99² = (100−1)² = 9801

②51×49 = (50+1)(50−1) = 2499

③(√3+1)² = 4+2√3

実際に解いてみる

例題 1

(x + 3)² を展開せよ。

完全平方の公式 (a + b)² = a² + 2ab + b² を使う。

(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3²

整理する。

= x² + 6x + 9

▸ x² + 6x + 9

完全平方の中央の項 2ab を落とさないよう注意。

例題 2

(x + 2)(x − 5) を展開せよ。

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab を使う(a = 2, b = −5)。

x² + (2 + (−5))x + 2·(−5)

整理する。

= x² − 3x − 10

▸ x² − 3x − 10

一次の係数は 2 数の和、定数項は 2 数の積。

試験ポイント

乗法公式 3つ

(a±b)² = a²±2ab+b², (a+b)(a−b) = a²−b²

因数分解・二次方程式の基礎

中3 校内試験類型

(x + 4)(x − 4) を展開すると?

①x² − 8

②x² + 16

③x² − 16

④x² − 8x − 16

⑤x² − 16x

▸ ③ x² − 16

和と差の積 (a + b)(a − b) = a² − b² を使う。

(x + 4)(x − 4) = x² − 4²

計算する。

= x² − 16

🎯 試験ポイント

①(a+b)² ≠ a²+b² — 2ab を忘れない

②和差公式は逆向き（因数分解）でよく出る

③根号や分数を含む問題でも同じ公式

④(x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab も必ず暗記

⑤展開後に同類項の整理まで