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中学3年生 (14-15歳)

中3 多項式の乗法と乗法公式 わかりやすく

Polynomial Multiplication & Formulas

多項式どうしのかけ算は分配法則があればできますが、よく出てくるいくつかの形は乗法公式として覚えておくとずっと速くなります。 1辺が a + b の正方形を a²、ab、ab、b² の4つに分けると、(a + b)² = a² + 2ab + b² が面積でそのまま見えます。 符号だけを変えた (a − b)² はまん中の項だけが −2ab になり、和と差をかけた (a + b)(a − b) はまん中の項が打ち消し合って a² − b² だけが残ります。 これらの公式を使うと 101² や 51 × 49 のような計算を暗算に変えられ、次の単元の因数分解では逆向きに使われます。

(a + b)² を面積で見る

3
2
📐 面積図からわかること
①1辺 a + b の正方形の面積は (a + b)² である。
②この正方形は a²、ab、ab、b² の4つの部分に分かれる。
③だから (a + b)² = a² + 2ab + b² である。
④(a + b)² を a² + b² と書くと、2つの ab の部分がぬけ落ちる。図で a = 3、b = 2 なら、25 と 13 で12の差がある。

差の2乗 (a − b)²

和の2乗
(a + b)² = a² + 2ab + b²
2つの数それぞれの2乗に、2つの数の積の2倍をたす。
差の2乗
(a − b)² = a² − 2ab + b²
まん中の項の符号だけが変わる。
💡 符号を見分けるこつ
①(a + b)² のまん中の項は +2ab である。
②(a − b)² のまん中の項は −2ab である。
③両端の a² と b² は2乗なので、いつも + の符号である。
④(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab もいっしょに使う展開の公式である。

和と差の積 (a + b)(a − b)

5
2
和と差の積
(a + b)(a − b) = a² − b²
展開すると +ab と −ab が打ち消し合う。

乗法公式の利用

数の計算に使う
101² = (100 + 1)² = 10000 + 200 + 1 = 10201
計算しやすい数に分けて乗法公式を使えば、大きな数の積も暗算できる。
🧮 利用の例
①99² = (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801 である。
②51 × 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 2500 − 1 = 2499 である。
③(√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3 のように、根号があっても公式はそのまま使える。

例題で確かめる

例題 1
(x + 3)² を展開せよ。
1
和の2乗の公式 (a + b)² = a² + 2ab + b² に a = x、b = 3 を入れる。
(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3²
2
それぞれの項を計算して整理する。
= x² + 6x + 9
▸ x² + 6x + 9
完全平方式のまん中の項 2ab をわすれない。
例題 2
(x + 2)(x − 5) を展開せよ。
1
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab に a = 2、b = −5 を入れる。
x² + (2 + (−5))x + 2·(−5)
2
和 2 + (−5) = −3 と積 2 × (−5) = −10 を計算する。
= x² − 3x − 10
▸ x² − 3x − 10
x の係数は2数の和、定数項は2数の積である。

試験のポイント

乗法公式
(a ± b)² = a² ± 2ab + b², (a + b)(a − b) = a² − b²
これらの公式が因数分解と2次方程式の土台になる。
中3 校内試験 類型
(x + 4)(x − 4) を展開すると？
①x² − 8
②x² + 16
③x² − 16
④x² − 8x − 16
⑤x² − 16x
▸ ③ x² − 16
1
和と差の積 (a + b)(a − b) = a² − b² を使う。
(x + 4)(x − 4) = x² − 4²
2
計算する。
= x² − 16
🎯 試験のポイント
①(a + b)² は a² + b² ではない。2ab をわすれない。
②和と差の積は、逆向きに使う因数分解でさらによく出る。
③根号や分数がふくまれていても、乗法公式はそのまま使う。
④(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab もいっしょに身につける。
⑤展開したあと、同類項までまとめて答えが完成する。
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因数分解

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