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中学3年生 (14-15歳)

中3 因数分解 わかりやすく

Factorization

因数分解は、たし算の形に広がった多項式を、いくつかの因数の積にまとめなおすことで、展開を逆にたどる作業です。 (x + 3)² を展開すると x² + 6x + 9 になるように、x² + 6x + 9 を見て (x + 3)² を思いうかべるのが因数分解です。 面積で見ると、a²、ab、ab、b² の4つの部分がすきまなくはまって1辺 a + b の正方形になり、この図が a² + 2ab + b² = (a + b)² をそのまま示しています。 積が定数項になり、和が x の係数になる2つの数を見つける方法も身につければ、中学で出会う2次式の多くを因数分解できます。

乗法公式を逆から読む

3
2
🔄 展開と因数分解
①展開は積を和に広げることである。(a + b)² = a² + 2ab + b²
②因数分解は和を積にまとめることである。a² + 2ab + b² = (a + b)²
③図で a = 3、b = 2 なら、部分の面積の和 9 + 6 + 6 + 4 = 25 が、1辺5の正方形の面積 5² に等しい。

乗法公式を使った因数分解

完全平方式
a²+2ab+b² = (a+b)²
中央項が 2ab か確認
和と差の積
a² − b² = (a + b)(a − b)
2つの2乗の差は、和と差の積にまとめられる。
🔍 どの公式を使うかの見分け方
①項が3つで両端が2乗の形なら、完全平方式を疑う。
②そのとき、まん中の項が 2 ×（1つ目の項の平方根）×（3つ目の項の平方根）に等しいかを確かめる。
③項が2つでどちらも2乗、ひき算でつながっていれば、和と差の積にまとめる。

x² + (p + q)x + pq の形

6
2つの数を見つける
x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
積が定数項、和が x の係数になる2つの数 p, q を見つける。
🧩 2つの数を見つける手順
①積が定数項になる2数の組をすべて書き出す。負の数の組もわすれない。
②その中から和が x の係数に等しい組を選ぶ。
③積が正で和が負なら2数はどちらも負、積が負なら2数の符号はちがう。

共通因数

共通因数でくくる
ma + mb = m(a + b)
すべての項にふくまれる因数を、まず前にくくり出す。
📌 因数分解の手順
①共通因数があれば、まずくくり出す。
②残った式に乗法公式や2数を見つける方法を使う。
③それ以上因数分解できなくなるまでくり返す。
④たとえば 2x² + 4x + 2 = 2(x² + 2x + 1) = 2(x + 1)² である。共通因数2を先にくくり出さないと、完全平方式が見えない。

例題で確かめる

例題 1
x²+6x+9 を因数分解しなさい。
1
両端の項が2乗かどうかを見る。x² は x の2乗、9は3の2乗である。
x²+6x+9 = x²+2·x·3+3²
2
まん中の項 6x が 2 · x · 3 に等しいので、完全平方式である。
= (x+3)²
▸ (x+3)²
まん中の項が 2 ×（両端の項の平方根の積）に等しければ完全平方式である。
例題 2
x²−7x+12 を因数分解しなさい。
1
積が12、和が −7 になる2数は −3 と −4 である。
(−3)×(−4)=12, (−3)+(−4)=−7
2
(x + p)(x + q) の形に p = −3、q = −4 を入れる。
= (x−3)(x−4)
▸ (x−3)(x−4)
積が正で和が負なら、2数はどちらも負である。

試験のポイント

因数分解の公式
a² ± 2ab + b² = (a ± b)², a² − b² = (a + b)(a − b)
乗法公式を逆から読んだものが因数分解の公式である。
中3 内申タイプ
x²−25 を因数分解したものとして正しいのは？
①(x+5)²
②(x−5)²
③(x+5)(x−5)
④(x+25)(x−1)
⑤5(x−5)
▸ ③ (x+5)(x−5)
1
x²−25 = x²−5² と平方の差の形にする。
x²−25 = x²−5²
2
和差公式 a²−b²=(a+b)(a−b) を適用する。
= (x+5)(x−5)
🎯 試験のポイント
①共通因数を先にくくり出すことをわすれない。
②完全平方式は、まん中の項が 2 ×（両端の項の平方根の積）かどうかで見分ける。
③ひき算でつながった2つの2乗は、すぐに和と差の積にまとめる。
④x² + (p + q)x + pq の形は、積と和から2つの数を見つける。
⑤因数分解した結果を展開して、もとの式にもどるか確かめる。
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