因数分解

Factorization

因数分解は展開の逆で、広がった多項式をふたたび因数の積へまとめる操作です。混ざった完成品を材料に戻すように、x²+6x+9 を (x+3)² の形へ戻します。完全平方式や和差の公式を学び、積が定数項・和が1次の係数になる2数を見つけるコツもつかみます。このページでは a、b や定数項をスライダーで変え、面積の断片が1つの正方形に組み上がり、因数の組が現れる様子を確かめましょう。

因数分解とは？ — 展開の逆

🔄 展開 ↔ 因数分解

①展開: (a+b)² → a²+2ab+b²（積 → 和）

②因数分解: a²+2ab+b² → (a+b)²（和 → 積）

③因数分解は乗法公式を逆向きに読むこと！

乗法公式を用いた因数分解

完全平方式

a²+2ab+b² = (a+b)²

中央項が 2ab か確認

和差の公式

a²−b² = (a+b)(a−b)

平方の差 → 和×差

🔍 判別のコツ

①3項で両端が平方数 → 完全平方式の疑い

②2項で両方平方 → 和差公式

③中央項 = 2 × √最初 × √最後を確認

x²+(a+b)x+ab 型

定数項 (pq)6

因数の組を探す

x²+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)

積=定数、和=1次の係数

🧩 探し方の戦略

①定数項の約数の組をすべて列挙

②その中で和が1次係数に一致する組を選ぶ

③負の組も必ず確認

共通因数と置換

共通因数を括る

ma+mb = m(a+b)

常に共通因数を最初に括り出す

📌 因数分解の手順

①Step1: 共通因数があればまず括る

②Step2: 残りに乗法公式を適用

③Step3: これ以上分解できないまで繰り返す

④例: 2x²+4x+2 = 2(x²+2x+1) = 2(x+1)²

実際に解いてみる

例題 1

x²+6x+9 を因数分解しなさい。

両端が平方数か確認する: x²=(x)², 9=3²。

x²+6x+9 = x²+2·x·3+3²

中央項 6x = 2·x·3 なので完全平方式である。

= (x+3)²

▸ (x+3)²

中央項が 2×(両端の平方根の積) に等しければ完全平方式。

例題 2

x²−7x+12 を因数分解しなさい。

積が12、和が−7の2数を探す: −3 と −4。

(−3)×(−4)=12, (−3)+(−4)=−7

(x+p)(x+q) の形に括る。

= (x−3)(x−4)

▸ (x−3)(x−4)

積が正で和が負なら2数とも負。

試験ポイント

因数分解の公式まとめ

a²±2ab+b² = (a±b)², a²−b² = (a+b)(a−b)

乗法公式の逆向き = 因数分解

中3 内申タイプ

x²−25 を因数分解したものとして正しいのは？

①(x+5)²

②(x−5)²

③(x+5)(x−5)

④(x+25)(x−1)

⑤5(x−5)

▸ ③ (x+5)(x−5)

x²−25 = x²−5² と平方の差の形にする。

x²−25 = x²−5²

和差公式 a²−b²=(a+b)(a−b) を適用する。

= (x+5)(x−5)

🎯 試験ポイント

①共通因数の括りを忘れない

②完全平方式の判別: 中央項 = 2×(両端の平方根の積)

③和差公式: 引き算形ならすぐ適用

④因数の組: 定数の約数で和が合うもの

⑤展開で検算する習慣！