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中学3年生 (14-15歳)

中3 二次方程式の解法 わかりやすく

Solving Quadratic Equations

2次方程式は、未知数 x のいちばん高い次数が2の方程式で、整理すると ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）の形になります。 ボールを真上に投げて高さが0になる時刻を求めると、投げた瞬間と落ちた瞬間がいっしょに出てくるように、2次方程式の解はふつう2つあります。 左辺を因数分解できれば、2つの1次式の積が0になる条件で解き、できなければ平方完成をするか解の公式を使えば必ず解けます。 グラフで見ると、解は放物線 y = x² + bx + c が x 軸と交わる点の x 座標で、交わる点の個数は判別式 D = b² − 4ac の符号が決めます。

解は放物線と x 軸が交わるところ

-2
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👀 グラフで見る解
①放物線が x 軸と2点で交われば、異なる2つの解がある（D > 0）。
②放物線が x 軸に1点でふれれば、2つの解が等しい重解である（D = 0）。
③放物線が x 軸と交わらなければ、実数の解はない（D < 0）。
④図のはじめの状態 b = −2、c = −3 では D = 16 で、解は3と −1 である。D が平方数でないと解は無理数になるので、図の上に正確な形もいっしょに書かれる。

因数分解で解く

因数分解による解き方
ax² + bx + c = 0 → a(x − p)(x − q) = 0 → x = p または x = q
2つの数の積が0なら、少なくとも一方は0であるという性質を使う。
🧩 因数分解で解く手順
①すべての項を左辺に移して、右辺を0にする。
②左辺を因数分解する。
③それぞれの因数を0とおいて x を求める。
④たとえば x² − 5x + 6 = 0 なら (x − 2)(x − 3) = 0 なので x = 2 または x = 3 である。

平方完成と平方根で解く

平方根を使う解き方
(x + a)² = k（k ≥ 0）→ x + a = ±√k → x = −a ± √k
左辺を (x + a)² の形にしてから、両辺の平方根を求める。
💡 平方完成のしかた
①x² + 6x = 7 で、x の係数6の半分の2乗である9を両辺にたすと x² + 6x + 9 = 16 になる。
②左辺が (x + 3)² になり、(x + 3)² = 16 である。
③x + 3 = ±4 である。
④したがって x = 1 または x = −7 である。

解の公式

解の公式
x = −b ± √(b²−4ac)2a
平方完成を一般の a, b, c で行った結果なので、どんな2次方程式にも使える。
判別式
D = b² − 4ac
D > 0 なら異なる2つの解、D = 0 なら重解、D < 0 なら実数の解はない。
⚠️ 解の公式を使うときの注意
①必ず ax² + bx + c = 0 の形に整理してから a, b, c を読みとる。
②公式の前の −b は、b が負なら符号が変わる。
③分子全体を 2a でわる。一部だけわるとまちがえる。
④D < 0 なら、実数の範囲では解がないと答える。
⑤a = 1 で b, c が整数のとき、D が平方数なら2つの解は整数になる。

例題で確かめる

例題 1
x²−5x+6=0 を解きなさい。
1
左辺を因数分解する。積が6、和が −5 の2数は −2 と −3 である。
x²−5x+6 = (x−2)(x−3)
2
それぞれの因数を0とおく。
(x−2)(x−3)=0 ⇒ x=2 または x=3
▸ x = 2 または x = 3
因数分解できれば、それがいちばん速い解き方である。
例題 2
x²−4x+1=0 を解の公式で解きなさい。
1
a = 1、b = −4、c = 1 を解の公式に代入する。
x = (4±√(16−4))/2
2
√12 = 2√3 なので、分子と分母を2で約分する。
x = (4±2√3)/2 = 2±√3
▸ x = 2 ± √3
因数分解がすぐ見えなければ解の公式を使い、根号の中を先に簡単にする。

試験のポイント

2次方程式の3つの解き方
因数分解 → 平方完成 → 解の公式
因数分解がすぐ見えればそれがいちばん速く、見えなければ解の公式を使う。
中3 内申タイプ
x²−6x+k=0 が重解をもつとき、定数 k の値は？
①3
②6
③9
④12
⑤36
▸ ③ 9
1
重解の条件は判別式 D=0。
D = (−6)²−4·1·k = 36−4k
2
36−4k=0 を解く。
36−4k=0 ⇒ k=9
🎯 試験のポイント
①まず因数分解を試し、できなければ解の公式を使う。
②重解をもつ条件は D = b² − 4ac = 0 である。
③2つの解の和は −b/a、積は c/a である。
④整数の解をもつ条件を問われたら、D が平方数かどうかを調べる。
⑤必ず右辺を0にしてから解きはじめる。
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