二次方程式の活用

Applications of Quadratic Equations

二次方程式の活用は、ボールを投げる、面積を測るといった実際の場面を式に直して解く単元です。斜めに投げたボールは放物線を描き、高さを0とおいた二次方程式でいつ着地するかがわかります。未知数を決めて式を立てて解きますが、解が2つ出たら、長さや自然数など条件に合わない答えは必ず捨てます。このページでは初速と角度を変えて軌道を眺め、長方形を伸ばしながら面積がどう式になるかを確かめましょう。

放物運動 — 自然界の二次方程式

初速 v₀20 m/s

発射角45°

🏀 放物運動と二次方程式

①ボールを投げると放物線 → y = ax²+bx+c

②着地時間? → y=0 → 二次方程式

③最高点の高さ? → 頂点の y 座標

面積問題 — 図形で式を立てる

x（伸ばす長さ）3

📐 面積問題の戦略

①未知数 x を設定（伸び、縮みなど）

②面積を x の式で表す

③条件に合う方程式を立てる

④解いて x を求め条件を確認

数に関する問題

連続する整数の問題

n(n+1) = 90 → n²+n−90 = 0

連続整数の積: n と n+1

🔢 数の問題タイプ

①連続2自然数の積 = A → n(n+1) = A

②ある数の平方から3を引いて … → x²−3 = …

③2桁の各位の積 → (10a+b)、ab = …

応用問題の4ステップ

解法手順

未知数設定 → 立式 → 方程式を解く → 検証

常にこの順

⚠️ 検証の重要性

①二次方程式は2解出るかも

②条件外の解は捨てる

③「自然数」→ 負を捨てる

④「長さ」→ 負を捨てる

⑤必ず元の問題に代入して確認

実際に解いてみる

例題 1

連続する2つの自然数の積が56である。2数を求めなさい。

小さい方を n とすると n(n+1)=56。

n(n+1)=56 ⇒ n²+n−56=0

因数分解: (n−7)(n+8)=0。n は自然数なので n=7。

(n−7)(n+8)=0 ⇒ n=7

▸ 7 と 8

自然数の条件で n=−8 を捨てる。

例題 2

正の数 x について x(x+3)=40 が成り立つ。x を求めなさい。

展開して0に整理する。

x²+3x−40=0

因数分解: (x−5)(x+8)=0。x>0 なので x=5。

(x−5)(x+8)=0 ⇒ x=5

▸ x = 5

正の条件で x=−8 を捨てる。

試験ポイント

応用の核心公式

連続整数: n, n+1 / 面積: 縦×横 / 時間: h=v₀t−5t²

問題タイプ別の未知数設定を覚える

中3 内申タイプ

地面から打ち上げた物体の t 秒後の高さが h=−5t²+20t (m) である。再び地面に落ちるのは打ち上げてから何秒後か？

①1秒

②2秒

③4秒

④5秒

⑤8秒

▸ ③ 4秒

地面では h=0。

−5t²+20t=0

−5t(t−4)=0 で t>0 なので t=4。

−5t(t−4)=0 ⇒ t=4

🎯 試験ポイント

①未知数は求めるもの

②=0 にしてから解く

③解を条件と照合（自然数、正など）

④単位を合わせて答える

⑤「より大」「以下」などの不等号に注意