中3 二次方程式の活用わかりやすく

Applications of Quadratic Equations

ボールを投げる、面積を測るといった実際の場面を二次方程式に直して解く単元です。斜めに投げたボールは放物線を描き、高さを0とおいた二次方程式で着地の時刻が分かります。未知数を決めて式を立てて解きますが、解が2つ出たら、長さや自然数など条件に合わない答えは必ず捨てます。初速と角度を変えると軌道が見え、長方形を伸ばすと面積がどう式になるかが見えます。

放物運動 — 自然界の二次方程式

初速 v₀20 m/s

発射角45°

🏀 放物運動と二次方程式

①ボールを投げると放物線 → y = ax²+bx+c

②着地時間? → y=0 → 二次方程式

③最高点の高さ? → 頂点の y 座標。キャンバスは g=10、初期速さ 20、角度 45°。総まとめ h=v₀t−5t² は鉛直投げで、図は斜めです。長方形は元 10×8、初期 x=3 です

面積問題 — 図形で式を立てる

x（伸ばす長さ、同じ目盛）3

📐 面積問題の戦略

①未知数 x を設定（伸び、縮みなど）

②面積を x の式で表す

③条件に合う方程式を立てる

④解いて x を求め条件を確認

数に関する問題

連続する整数の問題

n(n+1) = 90 → n²+n−90 = 0

連続整数の積: n と n+1

🔢 数の問題タイプ

①連続2自然数の積 = A → n(n+1) = A

②ある数の平方から3を引いて … → x²−3 = …

③2桁の各位の積 → (10a+b)、ab = …

応用問題の4ステップ

解法手順

未知数設定 → 立式 → 方程式を解く → 検証

常にこの順

⚠️ 検証の重要性

①二次方程式は2解出るかも

②条件外の解は捨てる

③「自然数」→ 負を捨てる

④「長さ」→ 負を捨てる

⑤必ず元の問題に代入して確認

実際に解いてみる

例題 1

連続する2つの自然数の積が56である。2数を求めなさい。

小さい方を n とすると n(n+1)=56。

n(n+1)=56 ⇒ n²+n−56=0

因数分解: (n−7)(n+8)=0。n は自然数なので n=7。

(n−7)(n+8)=0 ⇒ n=7

▸ 7 と 8

自然数の条件で n=−8 を捨てる。

例題 2

正の数 x について x(x+3)=40 が成り立つ。x を求めなさい。

展開して0に整理する。

x²+3x−40=0

因数分解: (x−5)(x+8)=0。x>0 なので x=5。

(x−5)(x+8)=0 ⇒ x=5

▸ x = 5

正の条件で x=−8 を捨てる。

試験ポイント

応用の核心公式

連続整数: n, n+1 / 面積: 縦×横 / 時間: h=v₀t−5t²

問題タイプ別の未知数設定を覚える

中3 内申タイプ

地面から打ち上げた物体の t 秒後の高さが h=−5t²+20t (m) である。再び地面に落ちるのは打ち上げてから何秒後か？

①1秒

②2秒

③4秒

④5秒

⑤8秒

▸ ③ 4秒

地面では h=0。

−5t²+20t=0

−5t(t−4)=0 で t>0 なので t=4。

−5t(t−4)=0 ⇒ t=4

🎯 試験ポイント

①未知数は求めるもの

②=0 にしてから解く

③解を条件と照合（自然数、正など）

④単位を合わせて答える

⑤「より大」「以下」などの不等号に注意

中3 二次方程式の活用 わかりやすく