seegongsik
中学3年生 (14-15歳)

中3 二次方程式の活用 わかりやすく

Applications of Quadratic Equations

ななめに投げたボールの高さ、面積の決まった畑の大きさ、積の決まった2つの数のように、身のまわりのいろいろな場面が2次方程式になります。 投げたボールは放物線をえがいて飛ぶので、高さを0とおいた2次方程式を解けば、ボールが地面に落ちる時と場所がわかります。 解く手順はいつも同じで、求めたい量を x とおき、条件から式をつくって解き、最後に答えが条件に合うかを確かめます。 2次方程式は解が2つ出ることが多いですが、長さや個数のように負になりえない量なら、負の解は捨てなければなりません。

投げたボールの放物線

20 m/s
45°
🏀 放物運動と2次方程式
①ボールの高さ y を水平距離 x で表すと、y = ax² + bx の形の2次式になる（a < 0）。
②ボールが地面に落ちるのは y = 0 となる点なので、2次方程式 ax² + bx = 0 を解いて求める。
③いちばん高く上がった点は放物線の頂点である。
④図は重力加速度をおよそ 10 m/s² として計算している。はじめの状態 20 m/s、45° では水平距離が 40 m、最高の高さが 10 m である。

面積の問題で式をつくる

3
📐 面積の問題を解く手順
①のばしたり縮めたりした長さを x とおく。
②新しい図形の面積を x の式で表す。図では (10 + x)(8 + x) である。
③面積についての条件から方程式をつくる。面積が120なら x² + 18x − 40 = 0 である。
④解くと x = 2 または x = −20 だが、長さは正の数でなければならないので x = 2 だけが答えである。

数についての問題

連続する自然数
n(n + 1) = 90 → n² + n − 90 = 0
連続する2つの自然数は、小さいほうを n として n, n + 1 と表す。
🔢 よく出る数の問題
①連続する2つの自然数の積が A なら n(n + 1) = A である。
②ある数の2乗から3をひいた値が与えられたら x² − 3 =（その値）である。
③2けたの自然数は、十の位の数字 a と一の位の数字 b を使って 10a + b と書く。

文章題の4つの段階

解く手順
文字を決める → 式をつくる → 方程式を解く → 確かめる
どんな問題でもこの順に進める。
⚠️ 確かめる段階が必要なわけ
①2次方程式は解が2つ出ることがある。
②そのうち問題の条件に合わない解は捨てる。
③自然数や長さ、時間を求める問題では負の解を捨てる。
④答えをもとの問題の場面に当てはめて、合っているか確かめる。

例題で確かめる

例題 1
連続する2つの自然数の積が56である。2数を求めなさい。
1
小さいほうの数を n とおくと n(n + 1) = 56 である。
n(n+1)=56 ⇒ n²+n−56=0
2
因数分解すると (n − 7)(n + 8) = 0 で、n は自然数なので n = 7 である。
(n−7)(n+8)=0 ⇒ n=7
▸ 7 と 8
自然数という条件から、負の解 n = −8 を捨てる。
例題 2
正の数 x について x(x+3)=40 が成り立つ。x を求めなさい。
1
展開して右辺を0に整理する。
x²+3x−40=0
2
(x − 5)(x + 8) = 0 で、x > 0 なので x = 5 である。
(x−5)(x+8)=0 ⇒ x=5
▸ x = 5
正の数という条件から x = −8 を捨てる。

試験のポイント

種類ごとの式のつくり方
連続する数：n, n + 1 · 面積：（横）×（たて） · 真上に投げた物体の高さ：h = v₀t − 5t²
種類ごとに文字をどうおくかが、解き方の半分である。
中3 内申タイプ
地面から打ち上げた物体の t 秒後の高さが h=−5t²+20t (m) である。再び地面に落ちるのは打ち上げてから何秒後か？
①1秒
②2秒
③4秒
④5秒
⑤8秒
▸ ③ 4秒
1
地面では h=0。
−5t²+20t=0
2
−5t(t−4)=0 で t>0 なので t=4。
−5t(t−4)=0 ⇒ t=4
🎯 試験のポイント
①求めたい量を文字でおく。
②方程式をつくったら右辺を0に整理する。
③解を求めたら、自然数や正の数などの条件に合うかを確かめる。
④単位をつけて答えを書く。
⑤「〜より大きい」「〜以下」などのことばがあれば、条件をもう一度確かめる。
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最終更新

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