中3 数学›平方根と実数

平方根と実数

Square Roots & Real Numbers

平方根とは?
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👀 平方根の直観
①平方根とは「2乗するとnになる数」
②√4 = 2 (2² = 4)、√9 = 3 (3² = 9) のように割り切れるのが完全平方数
③√2、√3 のように割り切れない数が無理数
有理数と無理数
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🔍 実数の構造
①有理数：分数で表せる（整数、有限小数、循環小数）
②無理数：分数で表せない（√2、π 等 — 循環しない無限小数）
③実数 = 有理数 + 無理数 → 数直線を埋め尽くす
平方根の性質
平方根の定義
a ≥ 0 のとき、x² = a → x = ±√a
正の数 a の平方根は ±√a の2つ
平方根の性質
(√a)² = a, √(a²) = |a|
平方根を2乗すると元、2乗の平方根は絶対値
⚠️ 注意点
①√9 = 3（正の平方根のみ!）
②9 の平方根は ±3（2つ）
③√(-4) は実数範囲に存在しない
平方根の大小比較
大小比較
a > b ≥ 0 なら √a > √b
正の範囲で平方根は単調増加
💡 比較のコツ
①√5 vs 2 → √5 vs √4 → 5 > 4 なので √5 > 2
②3 vs √10 → √9 vs √10 → 9 < 10 なので 3 < √10
③根号の中を比べれば良い!
試験ポイント整理
実数の分類
実数 = 有理数（整数 + 有限・循環小数）+ 無理数
数直線上のすべての点 = 実数
🎯 試験ポイント
①√a では a ≥ 0（中身は0以上）
②√(a²) = a ではなく |a|
③完全平方数判定：素因数分解 → 指数が全て偶数
④無理数の例：√2, √3, π, …（循環しない無限小数）
⑤数直線上の点の座標 = 実数（実数と数直線の1:1対応）