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単語帳
中学3年生 (14-15歳)

平方根と実数

Square Roots & Real Numbers

平方根とは、2乗するとある数になる元の数を逆にたどることです。 面積が2の正方形の一辺のように、どんな自然数の2乗でもぴったり表せない長さが実際に存在します。 このように分数で表せない数を無理数と呼び、有理数と無理数を合わせた実数が数直線をすき間なく埋めます。 このページでは正方形の面積を変えながら、その一辺の長さが数直線のどこに来るかを確かめてみましょう。

平方根とは?
2
👀 平方根の直観
①平方根とは「2乗するとnになる数」
②√4 = 2 (2² = 4)、√9 = 3 (3² = 9) のように割り切れるのが完全平方数
③√2、√3 のように割り切れない数が無理数
有理数と無理数
1
🔍 実数の構造
①有理数:分数で表せる(整数、有限小数、循環小数)
②無理数:分数で表せない(√2、π 等 — 循環しない無限小数)
③実数 = 有理数 + 無理数 → 数直線を埋め尽くす
平方根の性質
平方根の定義
a ≥ 0 のとき、x² = a → x = ±√a
正の数 a の平方根は ±√a の2つ
平方根の性質
(√a)² = a, √(a²) = |a|
平方根を2乗すると元、2乗の平方根は絶対値
⚠️ 注意点
①√9 = 3(正の平方根のみ!)
②9 の平方根は ±3(2つ)
③√(-4) は実数範囲に存在しない
平方根の大小比較
大小比較
a > b ≥ 0 なら √a > √b
正の範囲で平方根は単調増加
💡 比較のコツ
①√5 vs 2 → √5 vs √4 → 5 > 4 なので √5 > 2
②3 vs √10 → √9 vs √10 → 9 < 10 なので 3 < √10
③根号の中を比べれば良い!
実際に解いてみる
例題 1
√64 の値を求めよ。
1
64 をある数の 2 乗で表す。
64 = 8²
2
√(8²) = 8。
√64 = 8
8
平方根は 2 乗するとその数になる負でない数。
例題 2
3 と √8 の大小を比べよ。
1
3 を根号で表す:3 = √9。
3 = √9
2
9 > 8 なので √9 > √8。
√9 > √8 ⇒ 3 > √8
3 > √8
正の数どうしは根号の中が大きいほど大きい。
試験ポイント整理
実数の分類
実数 = 有理数(整数 + 有限・循環小数)+ 無理数
数直線上のすべての点 = 実数
中3 校内試験 類型
√10 の整数部分(√10 より小さい最大の整数)は?
2
3
4
9
10
② 3
1
√10 がどの整数の平方根の間にあるか見る:√9 < √10 < √16。
√9 < √10 < √16 ⇒ 3 < √10 < 4
2
整数部分は 3。
√10 の整数部分 = 3
🎯 試験ポイント
①√a では a ≥ 0(中身は0以上)
②√(a²) = a ではなく |a|
③完全平方数判定:素因数分解 → 指数が全て偶数
④無理数の例:√2, √3, π, …(循環しない無限小数)
⑤数直線上の点の座標 = 実数(実数と数直線の1:1対応)
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根号を含む式の計算
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