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中学3年生 (14-15歳)

中3 平方根と実数 わかりやすく

Square Roots & Real Numbers

平方根は、2乗するとある数になる数を逆にさがすことです。3² = 9 なので3と −3 は9の平方根で、記号 √9 はそのうち正の3を表します。 面積が2の正方形の1辺のように、どんな自然数や分数を2乗してもぴったりにならない長さが実際にあります。 このように分数で表せない数を無理数といい、有理数と無理数を合わせた実数は数直線をすきまなくうめます。 図で n を変えると、√n が数直線のどこにあるか、そしてどの2つの自然数の間にあるかがいっしょに見えます。

平方根とは

正方形の面積だけがわかっているときに1辺の長さを数で言うには、2乗をもとにもどす操作が必要になる。面積が4なら1辺は2とすぐに答えられるが、面積が2だとどんな自然数や分数を2乗しても2にならない。そこでその長さを √2 という新しい記号で表し、分数で表せないこのような数を無理数という。有理数だけでは数直線にすきまが残るが、無理数までふくめた実数がそのすきまをうめ、数直線上の点と実数が1つずつ対応するようになります。

1つ目の図は、0から4まで目もりのある数直線の上に √n の位置を点で示し、その上に近似値を、いちばん上に (√n)² = n を書いている。n が2以上なら、2辺が1と √(n − 1) の直角三角形の斜辺が √n であることを点線で示しているが、たてを縮めてかいた略図である。いちばん下には、n が平方数ならそのことが、そうでなければ √n がとなり合う2つの自然数の間にあることを表す不等式が書かれる。2つ目の図は √2 の近くを拡大していて、拡大するほど有理数の点がこまかく見えるのに、√2 の位置にはいつまでも有理数がとどかないことを示している。

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👀 平方根の意味
①2乗すると n になる数を n の平方根という。正の数 n の平方根は符号のちがう2つの数で、記号 √n はそのうち正のほうだけを表す。
②√4 = 2、√9 = 3 のように整数になる4や9を平方数という。
③√2、√3 のようにぴったりにならない数は無理数である。
④ある数が平方数かどうかは、素因数分解したときすべての指数が偶数かどうかで見分ける。

有理数と無理数

根号の中が平方数でなければ値がないと考えがちだが、√2 は数直線上の決まった1点で、ただ分数や終わる小数で表せないだけである。また記号 √a は a の2つの平方根のうち0以上のほうだけを表すので、9の平方根は ±3 だが √9 は3だけである。2乗して負になる実数はないので、√(−4) は実数の範囲では定義されない。√(a²) が a ではなく |a| であることもいっしょに覚えておくと、符号のミスを減らせます。

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🔍 実数のしくみ
①有理数は分数で表せる数で、整数、有限小数、循環小数がすべてふくまれる。
②無理数は分数で表せない数で、√2 や円周率 π のように循環しない無限小数である。
③有理数と無理数を合わせた実数は、数直線をすきまなくうめる。

平方根の性質

平方根の定義
a ≥ 0 のとき x² = a → x = ±√a
正の数 a の平方根は √a と −√a の2つである。
平方根の性質
(√a)² = a, √(a²) = |a|
平方根を2乗するともとの数になり、2乗した数の平方根はもとの数の絶対値になる。
⚠️ 注意すること
①√9 = 3 である。記号 √ は正の平方根だけを表す。
②9の平方根は3と −3 の2つである。
③√(−4) は実数の範囲では定義されない。

平方根の大小

大小の比べ方
a > b ≥ 0 なら √a > √b
0以上の数では、根号の中の数が大きいほど平方根も大きい。
💡 比べるこつ
①√5 と2を比べるとき、2 = √4 になおすと 5 > 4 なので √5 > 2 である。
②3と √10 を比べるとき、3 = √9 になおすと 9 < 10 なので 3 < √10 である。
③正の数どうしは、すべて根号の中に入れて中の数を比べればよい。

例題で確かめる

例題 1
√64 の値を求めよ。
1
64をある数の2乗で表す。
64 = 8²
2
8² = 64 で8は正の数なので √64 = 8 である。
√64 = 8
▸ 8
√a は、2乗すると a になる数のうち0以上の数である。
例題 2
3 と √8 の大小を比べよ。
1
3を根号の中に入れる。3 = √9 である。
3 = √9
2
9 > 8 なので √9 > √8 である。
√9 > √8 ⇒ 3 > √8
▸ 3 > √8
正の数どうしは、根号の中の数が大きいほど大きい。

試験のポイント

実数の分類
実数 = 有理数（整数、有限小数、循環小数）+ 無理数
数直線上のすべての点は、実数1つと対応する。
中3 校内試験 類型
√10 の整数部分（√10 より小さい最大の整数）は？
①2
②3
③4
④9
⑤10
▸ ② 3
1
√10 がどの整数の平方根の間にあるか見る：√9 < √10 < √16。
√9 < √10 < √16 ⇒ 3 < √10 < 4
2
整数部分は 3。
√10 の整数部分 = 3
🎯 試験のポイント
①√a では a ≥ 0 でなければならない。
②√(a²) は a ではなく |a| である。
③平方数は、素因数分解したとき指数がすべて偶数である。
④√2、√3、π は無理数で、循環しない無限小数である。
⑤数直線上の点と実数は1つずつ対応する。
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