中3 平方根と実数 わかりやすく
Square Roots & Real Numbers
平方根とは、2乗するとある数になる元の数を逆にたどることです。
面積が2の正方形の一辺のように、どんな自然数の2乗でもぴったり表せない長さが実際にあります。
分数で表せない数を無理数と呼び、有理数と無理数を合わせた実数が数直線をすき間なく埋めます。
正方形の面積をスライダーで変えると、その一辺の長さが数直線のどこに来るのかが見えます。
平方根とは?
平方した結果だけ分かって元の数を戻せないと、面積だけが与えられた場所で一辺を数として呼ぶ道が途切れます。どの自然数を平方してもちょうど合わない長さが実際にあり、分数に落ちないその値を無理数と呼びます。有理数と無理数をまとめた実数が数直線の空きを埋めるので、根号の中が完全平方でなくてもその点は直線の上にあります。平方と平方根を一つの関係として見ると、一辺と面積が互いを戻し合うという意味が立ちます。
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数直線上で √n の位置を確認しよう0 から 4 まで目盛のある数直線の上に √n の点が付いていて、点の上には根号の値の小数第 3 位までの近似が、さらに上には (√n)² = n が書かれています。n が 2 以上なら 0 と 1 の間に斜辺を √n と書いた直角三角形の補助線が点線で続き、n がある整数の平方なら完全平方という文言が、そうでなければ隣り合う二つの平方の間に挟まっているという不等式が下に出ます。n を 1 から 16 まで変えると点の位置と近似、補助線と下の文言が一緒に変わります。もう一枚は √2 の近くを拡大し、上側の点はその区間の有理数、下側の点は √2 で、拡大率を 1 から 10 まで上げると見える区間が狭まり有理数の点がより密に付きます。
👀 平方根の直観
①平方根とは「2乗するとnになる数」。記号 √n は正の平方根だけで、n の平方根は符号の違う二つです
②√4 = 2 (2² = 4)、√9 = 3 (3² = 9) のように割り切れるのが完全平方数。記号は 2・3 だけを書き、4 と 9 の平方根はそれぞれ符号の違う一対です
③√2、√3 のように割り切れない数が無理数。完全平方かは素因数分解の指数がすべて偶数かで判定します
有理数と無理数
根号の中が自然数でなければ値がないと考えやすいです。一辺が自然数の平方に落ちない正方形も、実際にはその長さを持っていて、ただその長さが分数にちょうど合わないだけです。負の数の平方根を実数で書くことは、ここで使う定義の範囲を超えるので、0 以上の数で正の平方根とその直線上の位置から読む必要があります。平方の側から見ると符号の違う二つの根が出ることがありますが、根号の記号そのものはそのうち負でないほうだけを指します。
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拡大すると有理数の間にも無理数が存在する🔍 実数の構造
①有理数：分数で表せる（整数、有限小数、循環小数）
②無理数：分数で表せない（√2、π 等 — 循環しない無限小数）
③実数 = 有理数 + 無理数 → 数直線を埋め尽くす
平方根の性質
平方根の定義
a ≥ 0 のとき、x² = a → x = ±√a
正の数 a の平方根は ±√a の2つ
平方根の性質
(√a)² = a, √(a²) = |a|
平方根を2乗すると元、2乗の平方根は絶対値
⚠️ 注意点
①√9 = 3（正の平方根のみ!）
②9 の平方根は ±3（2つ）
③√(-4) は実数範囲に存在しない
平方根の大小比較
大小比較
a > b ≥ 0 なら √a > √b
正の範囲で平方根は単調増加
💡 比較のコツ
①√5 vs 2 → √5 vs √4 → 5 > 4 なので √5 > 2
②3 vs √10 → √9 vs √10 → 9 < 10 なので 3 < √10
③根号の中を比べれば良い!
実際に解いてみる
例題 1
√64 の値を求めよ。
▸ 8
平方根は 2 乗するとその数になる負でない数。
例題 2
3 と √8 の大小を比べよ。
29 > 8 なので √9 > √8。
√9 > √8 ⇒ 3 > √8
▸ 3 > √8
正の数どうしは根号の中が大きいほど大きい。
試験ポイント整理
実数の分類
実数 = 有理数（整数 + 有限・循環小数）+ 無理数
数直線上のすべての点 = 実数
中3 校内試験 類型
√10 の整数部分(√10 より小さい最大の整数)は?
▸ ② 3
1√10 がどの整数の平方根の間にあるか見る：√9 < √10 < √16。
√9 < √10 < √16 ⇒ 3 < √10 < 4
🎯 試験ポイント
①√a では a ≥ 0（中身は0以上）
②√(a²) = a ではなく |a|
③完全平方数判定：素因数分解 → 指数が全て偶数
④無理数の例：√2, √3, π, …（循環しない無限小数）
⑤数直線上の点の座標 = 実数（実数と数直線の1:1対応）