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中学2年生 (13-14歳)

中2 三角形の性質 わかりやすく

Properties of Triangles

三角形は3つの辺と3つの角でできたいちばん単純な多角形で、3辺の長さが決まると形が1つに定まってしまう、じょうぶな図形です。 2辺の長さが等しい二等辺三角形では2つの底角の大きさがいつも等しく、どんな三角形でも3つの内角をたすと180°になります。 1つの頂点で辺をのばしてできる外角は、その頂点ととなり合わない2つの内角の和に等しく、角度の問題を1行で終わらせてくれます。 2つの図で角を変えると、これらの性質が数としてどのように合うかを確かめられます。

二等辺三角形の2つの底角

65°
👀 二等辺三角形の性質
①AB = AC の二等辺三角形では、2つの底角 ∠B と ∠C の大きさが等しい。
②頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する。図の点線がその線である。
③逆に、2つの角が等しい三角形は、その2つの角の対辺が等しいので二等辺三角形である。
④底角が大きくなると、頂角は 180° − 2 ×（底角）に小さくなる。

内角と外角

50°
60°
三角形の内角の和
∠A + ∠B + ∠C = 180°
頂点 A を通り BC に平行な直線をひくと、錯角が3つの角を一直線上に集めて180°になる。
外角の性質
（∠C の外角）= ∠A + ∠B
外角と ∠C の和は180°で、∠A + ∠B + ∠C も180°なので、外角は ∠A + ∠B に等しい。

正三角形と直角三角形

💡 特別な三角形
①正三角形は3辺の長さが等しく、3つの角はすべて60°である。
②直角三角形は1つの角が90°なので、残りの2つの鋭角の和は90°である。
③直角二等辺三角形の3つの角は90°、45°、45°で、斜辺の長さは他の1辺の√2倍である。

三角形の合同条件

三角形の合同条件
3組の辺 · 2組の辺とその間の角 · 1組の辺とその両端の角
それぞれ3組の辺、2組の辺とその間の角、1組の辺とその両端の角が等しい場合である。
📝 3つの合同条件
①3組の辺がそれぞれ等しければ合同である。
②2組の辺とその間の角がそれぞれ等しければ合同である。
③1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しければ合同である。
④直角三角形には「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」などの合同条件もあるが、一般の三角形には使えない。

例題で確かめる

例題 1
二等辺三角形の頂角が 40° のとき、1 つの底角の大きさを求めよ。
1
二等辺三角形の2つの底角は等しく、3つの角の和は180°である。
底角の和 = 180° − 40° = 140°
2
2つの底角は等しいので2でわる。
1 つの底角 = 140° ÷ 2 = 70°
▸ 70°
二等辺三角形の2つの底角の大きさは等しい。
例題 2
三角形の 2 つの内角が 50°, 60° のとき、残りの 1 つの内角の外角の大きさを求めよ。
1
残りの頂点の外角は、となり合わない2つの内角50°と60°の和に等しい。
外角 = 50° + 60°
2
2つの角をたす。
= 110°
▸ 110°
残りの内角70°を先に求めて180°からひいても、同じ答えになる。

試験のポイント

三角形の性質の要点
内角の和180° · 外角 = となり合わない2内角の和 · 合同条件3つ
二等辺三角形の2つの底角が等しいという性質が、いちばんよく出題される。
中2 校内試験 類型
二等辺三角形の 1 つの底角が 65° のとき、頂角の大きさは？
①40°
②45°
③50°
④55°
⑤65°
▸ ③ 50°
1
2つの底角は等しいので、その和は 65° × 2 = 130° である。
底角の和 = 65° × 2 = 130°
2
内角の和180°からひく。
頂角 = 180° − 130° = 50°
🎯 試験のポイント
①二等辺三角形では、「2辺が等しい」と「2つの底角が等しい」がたがいを保証する。
②外角はとなり合わない2つの内角の和なので、内角を1つずつ求めなくてもすぐ答えられる。
③合同を証明するときは、与えられた条件が3つの合同条件のどれに当たるかを見つける。
④正三角形の1つの内角は60°である。
⑤「2組の辺とその間の角」の角は、必ず2辺にはさまれた角でなければならない。はさまれていない角が等しくても合同になるとはかぎらない。
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