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単語帳
中学2年生 (13-14歳)

四角形の性質

Properties of Quadrilaterals

窓や本、タイルのように4つの辺で囲まれた図形を四角形といいます。 向かい合う辺が平行な平行四辺形は、対辺の長さと対角の大きさがそれぞれ等しく、2本の対角線が互いを2等分します。 直角が加われば長方形、4辺がすべて等しければひし形、その両方を満たせば正方形になります。 このページでは傾きと辺の比を変えて、平行四辺形が長方形やひし形、正方形へと変わる様子を確かめられます。

直観 — 平行四辺形の変形
0.6
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👀 四角形の関係
①平行四辺形: 対辺が平行で等しい
②長方形: 平行四辺形 + 4角90°
③ひし形: 平行四辺形 + 4辺が等しい
④正方形: 長方形 + ひし形(すべての性質)
平行四辺形の性質
平行四辺形の核心性質
対辺は平行で等しい、対角は等しい、対角線は互いに2等分
この3つが基本性質
💡 平行四辺形の判定条件
①対辺が平行(定義)
②対辺の長さが等しい
③対角の大きさが等しい
④対角線が互いを2等分
⑤1組の対辺が平行で等しい
長方形・ひし形・正方形
長方形の追加性質
4角=90°、対角線の長さが等しい
平行四辺形 + 1角が90° → 長方形
ひし形の追加性質
4辺が等しい、対角線が互いに垂直
平行四辺形 + 隣り合う2辺が等しい → ひし形
正方形
長方形 ∩ ひし形 = 正方形
4辺が等しく4角90° → すべての性質をもつ
各四角形の包含関係
📝 包含関係
①正方形 ⊂ 長方形 ⊂ 平行四辺形
②正方形 ⊂ ひし形 ⊂ 平行四辺形
③正方形 ⊂ 長方形 ∩ ひし形
④平行四辺形 ⊂ 台形(1組平行でよい)
実際に解いてみる
例題 1
平行四辺形で 1 つの内角が 110° のとき、それと隣り合う内角の大きさを求めよ。
1
平行四辺形では隣り合う 2 つの内角の和は 180°。
隣り合う角 = 180° − 110°
2
計算する。
= 70°
70°
平行四辺形は対角は等しく、隣り合う 2 角の和は 180°。
例題 2
平行四辺形 ABCD で AB = 8, BC = 5 のとき、周の長さを求めよ。
1
平行四辺形は向かい合う 2 組の対辺の長さがそれぞれ等しい。
周 = 2 × (8 + 5)
2
計算する。
= 26
26
平行四辺形の対辺は長さが等しい。
試験ポイント
四角形の性質の核心
平行四辺形 → 長方形/ひし形 → 正方形
各段階で追加される条件を見分ける
中2 校内試験 類型
平行四辺形で隣り合う 2 内角 ∠A, ∠B の大きさの比が 2 : 3 のとき、∠A の大きさは?
60°
72°
90°
108°
120°
② 72°
1
隣り合う 2 角の和は 180° なので 2k + 3k = 180°。
2k + 3k = 180° ⇒ 5k = 180°
2
k = 36° なので ∠A = 2k。
∠A = 2 × 36° = 72°
🎯 試験ポイント
①平行四辺形証明: 5つの判定条件のうち1つで十分
②長方形 = 平行四辺形 + 1角90°(または対角線が等しい)
③ひし形 = 平行四辺形 + 隣接する辺が等しい(または対角線が垂直)
④面積: 平行四辺形 = 底辺×高さ、ひし形 = 対角線の積÷2
⑤正方形は長方形でありひし形でもある
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