seegongsik
中学2年生 (13-14歳)

中2 四角形の性質 わかりやすく

Properties of Quadrilaterals

窓や本の表紙、床のタイルのように、4本の辺で囲まれた図形が四角形で、そのうち向かい合う2組の辺がそれぞれ平行なものが平行四辺形です。 平行四辺形では、向かい合う辺の長さと向かい合う角の大きさがそれぞれ等しく、2本の対角線がたがいに半分に分け合います。 ここに4つの角がすべて直角という条件が加わると長方形、4つの辺がすべて等しいという条件が加わるとひし形、両方が加わると正方形になります。 図で ∠A を90°にしたり、2辺の比を1にしたりすると、同じ平行四辺形が条件を一つ得るたびに名前と性質が変わるようすが見られます。

平行四辺形から正方形まで

65°
0.7
👀 四角形どうしの関係
①平行四辺形は、2組の対辺がそれぞれ平行な四角形である。
②平行四辺形の1つの角が90°になると、4つの角がすべて90°の長方形になる。このとき対角線の長さが等しくなる。
③平行四辺形のとなり合う2辺が等しくなると、4辺がすべて等しいひし形になる。このとき対角線が垂直に交わる。
④両方の条件をもつと正方形で、長方形とひし形の性質をあわせもつ。

平行四辺形の性質

平行四辺形の3つの性質
2組の対辺はそれぞれ等しい・2組の対角はそれぞれ等しい・対角線はそれぞれの中点で交わる
対角線で分けた2つの三角形が合同（1辺とその両端の角）であることから、3つの性質がすべて導かれる。
💡 平行四辺形になるための条件
①2組の対辺がそれぞれ平行である（定義）。
②2組の対辺がそれぞれ等しい。
③2組の対角がそれぞれ等しい。
④対角線がそれぞれの中点で交わる。
⑤1組の対辺が平行でその長さが等しい。この5つのどれか1つを確かめれば平行四辺形である。

長方形・ひし形・正方形

長方形がさらにもつ性質
4つの角がすべて90°、対角線の長さが等しい
平行四辺形に「1つの角が90°」という条件が加わると長方形になる。
ひし形がさらにもつ性質
4つの辺がすべて等しい、対角線が垂直に交わる
平行四辺形に「となり合う2辺が等しい」という条件が加わるとひし形になる。
正方形
長方形でもありひし形でもある四角形 = 正方形
4辺が等しく4角が90°なので、対角線は長さが等しく、垂直に交わってたがいを2等分する。

四角形どうしのふくみ合う関係

📝 ふくみ合う関係
①正方形 ⊂ 長方形 ⊂ 平行四辺形 である。
②正方形 ⊂ ひし形 ⊂ 平行四辺形 である。
③正方形は長方形でもあり、ひし形でもある。
④台形を「1組の対辺が平行な四角形」と定めるので、平行四辺形は台形の特別な場合とみることができる。

例題で確かめる

例題 1
平行四辺形で 1 つの内角が 110° のとき、それと隣り合う内角の大きさを求めよ。
1
平行四辺形では隣り合う 2 つの内角の和は 180°。
隣り合う角 = 180° − 110°
2
計算する。
= 70°
▸ 70°
平行四辺形は対角は等しく、隣り合う 2 角の和は 180°。
例題 2
平行四辺形 ABCD で AB = 8, BC = 5 のとき、周の長さを求めよ。
1
平行四辺形は向かい合う 2 組の対辺の長さがそれぞれ等しい。
周 = 2 × (8 + 5)
2
計算する。
= 26
▸ 26
平行四辺形の対辺は長さが等しい。

試験のポイント

四角形の性質の流れ
平行四辺形 → 長方形またはひし形 → 正方形
それぞれの段階でどの条件が一つ加わるのかを正確に区別する。
中2 校内試験 類型
平行四辺形で隣り合う 2 内角 ∠A, ∠B の大きさの比が 2 : 3 のとき、∠A の大きさは？
①60°
②72°
③90°
④108°
⑤120°
▸ ② 72°
1
隣り合う 2 角の和は 180° なので 2k + 3k = 180°。
2k + 3k = 180° ⇒ 5k = 180°
2
k = 36° なので ∠A = 2k。
∠A = 2 × 36° = 72°
🎯 試験ポイント
①平行四辺形であることを示すには、5つの条件のうち1つを示せばよい。
②長方形は、平行四辺形に「1つの角が90°」または「対角線の長さが等しい」という条件が加わったものである。
③ひし形は、平行四辺形に「となり合う2辺が等しい」または「対角線が垂直に交わる」という条件が加わったものである。
④面積は、平行四辺形が（底辺）×（高さ）、ひし形が（対角線の積）÷ 2 である。
⑤平行四辺形のとなり合う2つの角の和は180°である。
← 前へ
三角形の性質
次へ →
図形の相似

最終更新

このページがお役に立ったなら支援する