中学2年生 (13-14歳)

中2 図形の相似わかりやすく

Similarity of Figures

相似は、形がまったく同じで大きさだけがちがう2つの図形の関係です。写真を拡大しても縮小しても顔つきが変わらないように、相似な図形は対応する角の大きさがすべて等しく、対応する辺の長さの比もすべて等しくなります。この一定の比を相似比といい、長さが2倍になると面積は4倍、体積は8倍になるように、面積比は相似比の2乗、体積比は3乗になります。三角形では、2つの角が等しければ残りの1つの角も自然に等しくなるので、2つの角を確かめるだけで相似を判定できます。

拡大と縮小

相似比（ABC : A'B'C' = 1 : k）1.5

📱 写真で考える相似

①スマートフォンの写真を2本の指で広げると、形はそのままで大きさだけが大きくなる。これが相似である。

②相似な2つの図形では、対応する角の大きさはすべて等しい。

③対応する辺の長さの比もすべて等しく、この比が相似比である。

④図で k を1.5にすると、AB = 80 の辺は A'B' = 120 になり、ほかの2辺も同じく1.5倍になる。

2つの角が等しければ相似

∠A50°

∠B70°

三角形の相似条件

3組の辺の比 · 2組の辺の比とその間の角 · 2組の角

3つの条件のうち、試験でいちばんよく使うのは「2組の角がそれぞれ等しい」である。

💡 3つの相似条件

①3組の辺の比がすべて等しければ相似である。

②2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しければ相似である。

③2組の角がそれぞれ等しければ相似である。3つの角の和は180°なので、残りの角は自然に等しくなる。

④図で ∠A と ∠B を変えると、大きさのちがう2つの三角形の3つ目の角がいつも同じ値でついてくる。

相似比と面積比、体積比

相似比と面積比

相似比 m : n → 面積比 m² : n²

面積は長さ×長さなので、比は2乗になる。

相似比と体積比

相似比 m : n → 体積比 m³ : n³

体積は3つの長さの積なので、比は3乗になる。

📝 なぜ2乗と3乗なのか

①正方形の1辺を2倍にすると、たても横も2倍になるので、面積は 2 × 2 = 4倍になる。

②立方体の1辺を2倍にすると、たて、横、高さがすべて2倍になるので、体積は 2 × 2 × 2 = 8倍になる。

③だから相似比が 1 : 2 なら、面積比は 1 : 4、体積比は 1 : 8 である。

くらしの中の相似

🌳 影で木の高さを求める

①同じ時刻に、自分の影と木の影の長さをはかる。

②日光は平行に差しこむので、人・影・光線がつくる三角形と、木・影・光線がつくる三角形は相似（2組の角がそれぞれ等しい）である。

③（自分の身長）：（自分の影）=（木の高さ）：（木の影）である。

④この比例式を解けば、登らなくても木の高さが求められる。

🗺️ 地図の縮尺と模型

①縮尺 1 : 50000 の地図は、実際の土地と相似比 1 : 50000 で相似である。

②地図上の 2 cm は、実際には 2 × 50000 = 100000 cm、つまり 1 km である。

③相似比 1 : 100 の模型の建物の高さが 10 cm なら、実際の高さは 1000 cm、つまり 10 m である。

例題で確かめる

例題 1

相似比が 2 : 3 の 2 つの三角形で、小さい三角形の 1 辺が 4 のとき、大きい三角形の対応辺の長さを求めよ。

対応辺の長さの比は相似比に等しい。

2 : 3 = 4 : x

比例式を解く。

2x = 12 ⇒ x = 6

▸ 6

相似な図形の対応辺の長さの比は一定（相似比）。

例題 2

相似比が 2 : 3 の 2 つの図形の面積比を求めよ。

面積比は相似比の 2 乗。

面積比 = 2² : 3²

計算する。

= 4 : 9

▸ 4 : 9

相似比 m : n なら面積比は m² : n²。

試験のポイント

相似の流れ

2組の角が等しい → 対応する辺の比 = 相似比 → 面積比 = (相似比)²

相似を示すには「2組の角」がいちばん速く、試験にもいちばんよく出る。

中2 校内試験類型

相似比が 1 : 2 の 2 つの三角形で、小さい三角形の面積が 5 のとき、大きい三角形の面積は？

①10

②15

③20

④25

⑤40

▸ ③ 20

面積比は相似比の 2 乗なので 1² : 2² = 1 : 4。

面積比 = 1 : 4

小さい面積の 4 倍。

5 × 4 = 20

🎯 試験のポイント

①「2組の角がそれぞれ等しい」は2つの角だけで十分で、3つ目の角を確かめる必要はない。

②相似比は対応する辺の長さの比で、どの組の辺でも同じ値である。

③面積比は相似比の2乗、体積比は3乗である。混同しないようにする。

④影の問題では、日光が平行であることから相似な三角形を見つける。

⑤△ABC ∽ △DEF なら、A と D、B と E、C と F が対応する。記号を書くときは対応する順を守る。

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四角形の性質

平行線と線分の比

最終更新 2026-10-17

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