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中学2年生 (13-14歳)

中2 平行線と線分の比 わかりやすく

Parallel Lines & Proportional Segments

何本かの平行線が2本の直線を横切ると、一方の直線にできる線分の比が、もう一方の直線にもそのまま現れます。 切りとられる長さそのものは直線ごとにちがいますが、長さの比は平行線がそっくり運んでくれるのです。 三角形でも、1辺に平行な線分をひくと残りの2辺が同じ比に分けられ、2辺の中点を結ぶ線分は残りの辺に平行で、長さはちょうど半分になります。 最初の図では、長さ a, b, c, d がみなちがっても、a : b と c : d がいつも同じ値でいっしょに動くのがわかります。

平行線が比を運ぶ

2
👀 平行線と線分の比
①3本の平行線 ℓ₁, ℓ₂, ℓ₃ が2本の直線を切ると、一方の直線に線分 a, b、もう一方に線分 c, d ができる。
②2本の直線の傾きがちがうので、a と c、b と d の長さはちがう。
③それでも a : b = c : d がいつも成り立つ。図で比を変えると4つの長さはみな変わるが、2つの比はいっしょに動く。

三角形の中の平行線

0.5
三角形と平行線
DE ∥ BC → AD : AB = AE : AC = DE : BC
1辺に平行な線分は残りの2辺を同じ比に分ける。△ADE と △ABC が相似だからである。

中点連結定理

中点連結定理
D, Eが中点 → DE ∥ BC, DE = 12BC
2辺の中点を結ぶ線分は残りの辺に平行で、長さはその辺の半分である。
💡 中点連結定理の読み方
①AB, AC の中点を D, E とすると、AD : AB = AE : AC = 1 : 2 である。
②だから △ADE は △ABC を1/2に縮めた相似な三角形で、DE ∥ BC である。
③相似比が 1 : 2 なので DE = BC/2 である。上の図で値を0.5に合わせると、4つの部分に同じ長さの印がつき、この関係が現れる。

平行線と比の利用

📝 よく使う3つの場面
①台形の中に底辺と平行な線があれば、平行線と線分の比から比例式をつくる。
②三角形の中に平行線があれば、相似比を使ってわからない辺の長さを求める。
③中点が2つ与えられたら、中点連結定理で長さを2倍か半分にしてすぐに求める。

例題で確かめる

例題 1
△ABC で DE ∥ BC、AD = 3, DB = 6, AE = 4 のとき、EC の長さを求めよ。
1
平行線が三角形の2辺を分けるので、AD : DB = AE : EC が成り立つ。
3 : 6 = 4 : EC
2
比例式では内項の積と外項の積が等しい。
3 × EC = 24 ⇒ EC = 8
▸ EC = 8
三角形で1辺に平行な直線は、残りの2辺を同じ比に分ける。
例題 2
3 本の平行線が 1 つの直線を 1 : 2 に分ける。別の直線で対応する部分が 3 と x のとき、x を求めよ。
1
平行線は2本の直線を同じ比に分ける。
1 : 2 = 3 : x
2
比例式では内項の積と外項の積が等しい。
1 × x = 2 × 3 ⇒ x = 6
▸ x = 6
平行線がつくる線分の比は、どの直線の上で測っても同じである。

試験のポイント

平行線と線分の比
ℓ₁ ∥ ℓ₂ ∥ ℓ₃ → a : b = c : d
平行線が運ぶのは長さではなく比である。この一文が単元全体をつらぬいている。
中2 校内試験 類型
△ABC で 2 辺 AB, AC の中点をそれぞれ M, N とするとき、BC = 10 なら MN の長さは？
①4
②5
③6
④8
⑤10
▸ ② 5
1
中点連結定理より、MN は BC に平行で、長さは BC の半分である。
MN = (1/2) × BC
2
BC = 10 を代入する。
= (1/2) × 10 = 5
🎯 試験のポイント
①3本の平行線が2本の直線を切ると、対応する線分の比は等しい。
②三角形で DE ∥ BC なら AD : DB = AE : EC である。
③中点連結定理はいちばんよく出る。2つの中点を結ぶと平行で、長さは半分である。
④比例式は内項の積と外項の積が等しいことを使って解く（a : b = c : d → ad = bc）。
⑤逆に注意する。三角形で2辺を同じ比に分ける線分は平行だが、3本の直線が2本の直線を同じ比に切っても、その3本が平行とはかぎらない。
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場合の数と確率

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