seegongsik
中学2年生 (13-14歳)

中2 場合の数と確率 わかりやすく

Counting & Probability

確率は、あることがらの起こりやすさを0から1までの数で表したものです。 さいころを投げると1から6までの6つの目が同じ程度に出るので、望む目の数を6でわれば確率になります。 ですから確率の出発点は、場合の数をもれなく、重なりなく数えることで、そのときに頼りになるのが樹形図です。 コインをもう1回投げるたびに樹形図の枝が2つに分かれるので、場合の数は2倍ずつ増えていきます。これが積の法則です。

起こりうるすべての場合

3
👀 確率とは
①さいころを投げると1から6までの6つの目のどれかが出て、どの目が出ることも同じ程度に期待できる。
②3以下の目は1, 2, 3の3通りである。
③確率は、望む場合の数をすべての場合の数でわった値なので 3/6 = 1/2 である。図で n を変えると、色のついたさいころの数と棒の長さがいっしょに変わる。

場合の数と樹形図

2
和の法則
同時には起こらない2つのことがら A, B → A または B の場合の数 = m + n
2つのことがらが同時に起こりうるときは、重なる場合を1回ひく。
積の法則
A が m 通り、そのそれぞれについて B が n 通り → A と B が続いて起こる場合の数 = m × n
樹形図では、1段進むごとに枝の数がかけ合わされる。

確率の基本的な性質

確率の意味
P(A) = Aが起こる場合の数すべての場合の数
どの結果も同じ程度に起こりうるときに使い、値は 0 ≤ P(A) ≤ 1 である。
💡 確率の範囲
①必ず起こることがらの確率は1である。さいころで6以下の目が出る確率がそうである。
②決して起こらないことがらの確率は0である。7の目が出る確率がそうである。
③だから、どんなことがらの確率も0以上1以下である。
④ことがら A が起こる確率と起こらない確率をたすと1になる。

起こらない確率で計算する

A の起こらない確率
P(Ac) = 1 - P(A)
A の起こらない確率 = 1 − （A の起こる確率）
📝 「少なくとも」は反対から考える
①2枚のコインを投げるとき、少なくとも1枚が表になる確率を求める。
②表表、表裏、裏表を一つずつ数えてもよいが、反対の「2枚とも裏」は裏裏の1通りだけなので、ずっと数えやすい。
③P（少なくとも1枚が表）= 1 − P（2枚とも裏）= 1 − 1/4 = 3/4 である。樹形図で赤い字で書いた枝の先が、この「起こらない場合」である。

例題で確かめる

例題 1
1 個のサイコロを投げるとき、偶数または 3 の倍数の目が出る場合の数を求めよ。
1
偶数は {2, 4, 6} で 3 通り、3 の倍数は {3, 6} で 2 通り、重なり(6)は 1 通り。
3 + 2 − 1
2
重なりを一度引いて足す。
= 4 (通り)
▸ 4 通り
重なる事象は和の法則ではなく n(A)+n(B)−n(A∩B) で数える。
例題 2
1 個のサイコロを投げるとき、素数の目が出る確率を求めよ。
1
素数は {2, 3, 5} で 3 通り、全体は 6 通り。
P = 3/6
2
約分する。
= 1/2
▸ 1/2
確率 = （事象の場合の数） ÷ （全体の場合の数）。

試験のポイント

確率の要点
P(A) = n(A)n(S), P(Ac) = 1 - P(A)
場合の数をもれなく、重なりなく数えることが、すべての確率の問題の出発点である。
中2 校内試験 類型
硬貨 1 枚とサイコロ 1 個を同時に投げるとき、起こりうるすべての場合の数は？
①6
②8
③12
④18
⑤36
▸ ③ 12
1
積の法則を使う。硬貨は 2 通り、サイコロは 6 通り。
2 × 6
2
計算する。
= 12 (通り)
🎯 試験ポイント
①和の法則は、2つのことがらが同時に起こらないときだけそのままたす。重なるときは n(A) + n(B) − n(A∩B) で数える。
②「続けて」「同時に」とあれば積の法則を使う。
③コインを n 回投げると場合の数は 2ⁿ 通り、さいころを n 回投げると 6ⁿ 通りである。
④「少なくとも」とあれば、反対のことがらを数えて1からひく。
⑤確率はいつも0以上1以下なので、1より大きい値が出たら数え方がまちがっている。
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