場合の数と確率

Counting & Probability

確率は、あることの起こりやすさを 0 から 1 の数で表したものです。サイコロを振ると 1 から 6 までの 6 通りがあり、望む場合の数を全体の場合の数で割ると確率になります。複数の事象を数えるときは「または」なら足し、「かつ」なら掛け、コインを何度も投げて樹形図を描くと場合の数が 2 倍ずつ増える理由が見えます。このページでは、サイコロのスライダーで確率が大きくなる様子と、樹形図で場合の数が増える様子を確かめられます。

直観 — 起こりうるすべての場合

以下（n以下が出る確率）3

👀 確率とは？

①サイコロは1~6が出る（全6通り）

②3以下: 1,2,3 → 3通り

③確率 = 望む場合の数 ÷ 全体の場合の数 = 3/6

場合の数 — 和の法則と積の法則

コインを投げる回数2

和の法則

同時に起こらない2事象 → 場合の数を足す

A または B → n(A) + n(B)

積の法則

連続して起こる2事象 → 場合の数を掛ける

A かつ B → n(A) × n(B)

確率の基本性質

確率の定義

P(A) = Aが起こる場合の数すべての場合の数

0 ≤ P(A) ≤ 1

💡 確率の性質

①必ず起こる事象: P = 1

②絶対起こらない事象: P = 0

③すべての確率は0以上1以下

④P(A) + P(Aでない) = 1

確率の計算

余事象の確率

P(A^c) = 1 - P(A)

「〜でない」確率 = 1 − 「〜である」確率

📝 余事象の活用例

①「少なくとも1枚が表」の確率を求めよ

②直接数えるのは難しい → 余事象を使う

③P(少なくとも1枚) = 1 - P(全部裏) = 1 - 1/4 = 3/4

実際に解いてみる

例題 1

1 個のサイコロを投げるとき、偶数または 3 の倍数の目が出る場合の数を求めよ。

偶数は {2, 4, 6} で 3 通り、3 の倍数は {3, 6} で 2 通り、重なり(6)は 1 通り。

3 + 2 − 1

重なりを一度引いて足す。

= 4 (通り)

▸ 4 通り

「または」の場合の数は和の法則で求め、重なりを一度引く。

例題 2

1 個のサイコロを投げるとき、素数の目が出る確率を求めよ。

素数は {2, 3, 5} で 3 通り、全体は 6 通り。

P = 3/6

約分する。

= 1/2

▸ 1/2

確率 = (事象の場合の数) ÷ (全体の場合の数)。

試験ポイント

確率の核心公式

P(A) = n(A)n(S), P(A^c) = 1 - P(A)

場合の数を正しく数えることが出発点

中2 校内試験類型

硬貨 1 枚とサイコロ 1 個を同時に投げるとき、起こりうるすべての場合の数は?

①6

②8

③12

④18

⑤36

▸ ③ 12

積の法則を使う。硬貨は 2 通り、サイコロは 6 通り。

2 × 6

計算する。

= 12 (通り)

🎯 試験ポイント

①和の法則 vs 積の法則: 「または」 → 和、「かつ」 → 積

②樹形図でもれなく数える

③コインn回: 2^n、サイコロn回: 6^n

④余事象: 「少なくとも1つ」は余事象で計算

⑤確率は常に0~1、1を超えたら間違い

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平行線と線分の比

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