seegongsik
中学2年生 (13-14歳)

中2 一次関数と一次方程式 わかりやすく

Linear Functions & Equations

一次関数 y = ax + b と一次方程式 ax + b = 0 は、同じ式を二つの向きから読んだものです。 グラフがx軸と交わる点では y が 0 なので、その点のx座標がそのまま方程式の解になります。 文字が二つの ax + by + c = 0 も座標平面にかくと直線になり、二つの直線が交わる点の座標が連立方程式の解です。 最初の図で傾きや切片を変えると、x軸上の赤い点がいっしょに動きます。その点が方程式の答えです。

x切片が方程式の解

2
-4
👀 グラフで方程式を解く
①直線 y = ax + b がx軸と交わる点では y = 0 である。
②だからその点のx座標は ax + b = 0 をみたす。方程式の解はグラフのx切片そのものである。
③傾きが0なら直線はx軸と平行で交わらない。b ≠ 0 なら解はなく、b = 0 なら直線はx軸と重なり、すべてのxが解になる。

文字が二つの方程式のグラフ

2
-1
3
2元1次方程式
ax + by + c = 0 → 座標平面上の直線
b ≠ 0 なら y = −(a/b)x − c/b と変形して一次関数として見られる。b = 0 なら x = −c/a の縦の直線になる。

連立方程式の解と交点

大事な関係
連立方程式の解 (x, y) = 二つの直線の交点
二つの式を同時にみたす点は、二つの直線の上にともにある点である。
💡 交点の数の三つの場合
①傾きがちがえば二つの直線は1点で交わり、解は1組である。
②傾きが等しく切片がちがえば二つの直線は平行で交わらず、解はない。
③傾きも切片も等しければ二つの直線は重なり、解は無数にある。

x = k と y = k のグラフ

📝 横の直線と縦の直線
①y = 2 は 0·x + y − 2 = 0 と同じである。x軸に平行な横の直線で、傾き0の関数である。
②x = 3 は x + 0·y − 3 = 0 と同じである。y軸に平行な縦の直線である。
③x = 3 では1つのxに無数のyが対応するので、関数ではない。上の図で b を0にすると、この縦の直線が現れる。

例題で確かめる

例題 1
直線の方程式 2x + y − 4 = 0 を y = ax + b の形で表せ。
1
2x と −4 を右辺に移して、左辺に y だけを残す。
y = −2x + 4
2
傾きと y 切片を読む。
傾き −2、y 切片 4
▸ y = −2x + 4
ax + by + c = 0 の形は y について解くと、傾きと切片がすぐに読める。
例題 2
2 直線 y = x + 1 と y = −x + 5 の交点の座標を求めよ。
1
交点では二つの直線の y が等しいので、二つの式の右辺を等しいとおく。
x + 1 = −x + 5 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
2
x = 2 を一方の式に代入して y を求める。
y = 2 + 1 = 3
▸ (2, 3)
二つの直線の交点の座標は、二つの一次方程式を連立して解いた解と同じである。

試験のポイント

一つの関係の三つの表し方
y = ax + b ↔ ax − y + b = 0 ↔ 座標平面上の直線
同じ関係を、関数の式・方程式・グラフと置きかえながら読む。
中2 校内試験 類型
2 直線 y = ax + 1 と y = 3x − 2 が平行のとき、定数 a の値は？
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
平行な二つの直線は傾きが等しく、切片がちがう。
a = 3
2
切片 1 と −2 はちがうので、二つの直線は重ならない。
1 ≠ −2 ⇒ 平行
🎯 試験のポイント
①一次方程式 ax + b = 0 の解は y = ax + b のx切片である（y = 0 を代入）。
②ax + by + c = 0 のグラフは直線である。
③連立方程式の解は二つの直線の交点である。
④x = k は縦の直線で関数ではなく、y = k は傾き0の関数である。
⑤y = a₁x + b₁ と y = a₂x + b₂ が平行になるのは a₁ = a₂ かつ b₁ ≠ b₂ のときである。
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