一次関数と一次方程式

Linear Functions & Equations

一次関数と一次方程式は、実は同じ関係を別の見方でとらえたものです。 y = ax + b のグラフがx軸と交わる点では y が 0 になるので、その x の値がそのまま方程式 ax + b = 0 の解になります。未知数が二つの方程式 ax + by + c = 0 は座標平面上の直線になり、二直線の交点は連立方程式の解と同じです。このページでは傾きと切片をスライダーで動かし、グラフのx切片がどのように方程式の答えになるかを確かめます。

直観 — 関数と方程式の関係

傾き a2

y切片 b-4

👀 関数と方程式の関係

①一次関数 y = ax + b のグラフがx軸と交わる点

②その点では y=0 なので ax + b = 0

③方程式の解 = グラフのx切片！

一般形 ax + by + c = 0

b-1

2変数方程式

ax + by + c = 0 → 座標平面上の直線

b ≠ 0 なら y について解いて関数として表せる

連立方程式の解 = 交点

核心関係

連立方程式の解 (x, y) = 2直線の交点

2つの一次関数のグラフが交わる点

💡 3つの場合

①1点で交わる → 解が1つ

②平行（傾き同じ、切片違い） → 解なし

③一致 → 解無数

x = k, y = k の形の直線

📝 特別な直線

①x = 3 → y軸に平行な垂直線（関数ではない）

②y = 2 → x軸に平行な水平線（傾き0の関数）

③x = k は1つのxに無数のyが対応 → 関数の定義を満たさない

実際に解いてみる

例題 1

直線の方程式 2x + y − 4 = 0 を y = ax + b の形で表せ。

y について整理する。

y = −2x + 4

傾きと y 切片を読む。

傾き −2、y 切片 4

▸ y = −2x + 4

直線 ax + by + c = 0 は y について整理して一次関数とみる。

例題 2

2 直線 y = x + 1 と y = −x + 5 の交点の座標を求めよ。

交点では 2 つの y が等しいので連立する。

x + 1 = −x + 5 ⇒ 2x = 4

x = 2 を代入する。

x = 2, y = 2 + 1 = 3

▸ (2, 3)

2 直線の交点は 2 つの一次方程式を連立した解。

試験ポイントまとめ

関数↔方程式↔グラフ

y = ax+b ↔ ax-y+b = 0 ↔ 直線グラフ

同じ関係を3つの観点から見る

中2 校内試験類型

2 直線 y = ax + 1 と y = 3x − 2 が平行のとき、定数 a の値は?

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ③ 3

2 直線が平行なら傾きが等しい。

平行 ⇔ 傾き a = 3

傾きを比べる。

a = 3

🎯 試験ポイント

①方程式の解 = グラフのx切片（y=0代入）

②2変数方程式 ax+by+c=0 → 直線

③連立方程式の解 = 2直線の交点

④x=k は垂直線、関数ではない

⑤2直線の位置関係は傾きで判断