seegongsik
中学2年生 (13-14歳)

中2 一次関数とグラフ わかりやすく

Linear Functions & Graphs

一次関数 y = ax + b のグラフは、a, b にどんな値を入れてもまっすぐな直線になります。 傾き a は x が1増えたときに y がどれだけ変わるかを表し、その大きさが大きいほど直線は急になります。 切片 b は直線が y 軸と交わる高さなので、b だけを変えると、直線は傾きをそのままにして上下に動くだけです。 図の青い点線の三角形は、緑の点から右へ1進んで a だけ上下するようすを表していて、傾きを変えるとその縦の長さもいっしょに変わります。

一定の割合で変わる関係

👀 一次関数とは
①x が1増えるたびに y がいつも同じ量だけ変わる関係を一次関数といい、式は y = ax + b（a ≠ 0）の形になる。
②時速30 kmで走る車は、1時間たつごとに進んだ道のりが30 kmずつ増える。このとき道のりは時間の一次関数である。
③変化の割合が一定の関係を座標平面に点でとると、すべての点が一つの直線上に並ぶ。

傾きと切片

2
1
一次関数の式
y = ax + b
a は傾き（x が1増えたときの y の変化量）、b は切片（x = 0 のときの y の値）である。

傾きからわかること

傾きを求める式
a = yの増加量xの増加量 = y2 - y1x2 - x1
直線上の2点がわかれば、その間の y の増加量を x の増加量でわって傾きを求める。
💡 傾きの符号と大きさ
①a > 0 なら、右へ行くほど上がる直線になる。
②a < 0 なら、右へ行くほど下がる直線になる。
③|a| が大きいほど直線は急になる。図で傾きを1から3に上げると、点線の三角形の縦の辺が3倍になる。
④a = 0 なら x が変わっても y が変わらない横の直線になり、これは一次関数ではなく定数関数である。
⑤いまの直線がどちらに傾いているかは、図の左上に書いてある。

グラフのかき方と読み方

📝 グラフをかく手順
①y 軸上の高さ b の位置に点をとる（図の緑の点）。
②その点から右へ1、上へ a（a が負なら下へ）進んだ位置に2つ目の点をとる。青い点線の三角形がこの動きである。
③2点を通る直線をひく。
④x 軸との交点が必要なら y = 0 を代入して x = −b/a を求める。
⑤傾きが等しく切片だけがちがう2本の直線は平行である。

例題で確かめる

例題 1
一次関数 y = 2x − 3 の傾きと切片を求めなさい。
1
y = ax + b の形では、x の係数 a が傾き、定数項 b が切片である。
a = 2, b = −3
2
式から2つの値をそのまま読みとる。
傾き 2、切片 −3
▸ 傾き 2、切片 −3
式が y = ax + b の形に整理されていれば、計算しなくても a と b を読みとれる。
例題 2
2点 (1, 3)、(4, 9) を通る直線の傾きを求めなさい。
1
傾きは y の増加量を x の増加量でわった値である。
傾き = (9 − 3) / (4 − 1)
2
分子と分母をそれぞれ計算する。
= 6 / 3 = 2
▸ 2
2点が与えられたら、y 座標の差を x 座標の差でわって傾きを求める。引く順番を入れかえても結果は同じである。

まとめ

一次関数のグラフの要点
y = ax + b → 傾き a、切片 b、x 軸との交点 x = −b/a
傾きの符号が直線の向きを、大きさが急さを決める。
中2 定期テスト
一次関数 y = 3x − 6 のグラフが x 軸と交わる点の x 座標はどれですか。
①−6
②−2
③2
④3
⑤6
▸ ③ 2
1
x 軸と交わる点では y = 0 である。
0 = 3x − 6
2
この方程式を x について解く。
3x = 6 ⇒ x = 2
🎯 試験のポイント
①2点が与えられたら、まず傾きを求め、1点の座標を y = ax + b に代入して b を求める。
②平行な2直線は傾きが等しく切片がちがう（a₁ = a₂、b₁ ≠ b₂）。
③x 軸との交点は y = 0 を代入して求める。
④切片は y 軸との交点なので x = 0 を代入して求める。
⑤傾きと切片の符号を見れば、グラフが通る象限がわかる。
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