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中学2年生 (13-14歳)

中2 連立一次方程式 わかりやすく

System of Linear Equations

連立方程式を解くとは、2つの文字をふくむ2つの方程式を同時に成り立たせる値を見つけることです。 りんごとなしを合わせて10個買い1300円はらったなら、個数についての式と代金についての式を1つずつつくり、いっしょに解くことで、りんごとなしがそれぞれ何個かが決まります。 解き方は2通りあり、2つの式をたしたりひいたりして1つの文字を消す加減法と、一方の式を y = … の形にしてもう一方の式に入れる代入法です。 グラフで見ると、それぞれの式は直線で、2本の直線が交わる点の座標が、2つの式をともに成り立たせる解です。

2つの条件を同時にみたす点

1
1
-1
3
👀 2本の直線が交わる点
①直線1上の点はすべて y = ax + b をみたす。
②直線2上の点はすべて y = cx + d をみたす。
③2本の直線の上にともにある交点だけが2つの式を同時にみたすので、交点の座標が連立方程式の解である。図で直線を動かすと、交点の座標が分数まで正確に表示される。

加減法で1つの文字を消す

📝 加減法による解き方
①x + y = 5 …
①、x − y = 1 …
② とする。
②
①と
②を辺どうしたすと y が消えて 2x = 6、x = 3 である。
③x = 3 を
①に代入すると 3 + y = 5 なので y = 2 である。
④確かめ：
②に代入しても 3 − 2 = 1 で正しい。
加減法のポイント
1つの文字の係数をそろえて（または符号だけ反対にして）、2つの式をひく（またはたす）
係数がちがうときは、それぞれの式に適当な数をかけてそろえる。

代入法で一方の式を他方に入れる

📝 代入法による解き方
①y = 2x − 1 …
①、3x + y = 9 …
② とする。
②
①の y を
②にそのまま代入すると 3x + (2x − 1) = 9 である。
③整理すると 5x − 1 = 9、5x = 10 なので x = 2 である。
④x = 2 を
①に代入すると y = 2 × 2 − 1 = 3 である。
代入法のポイント
一方の式を y =（x の式）の形にする → もう一方の式の y に代入
文字の係数が1のときや、すでに y = … の形のときは代入法が便利である。

解の個数とグラフ

💡 解はいくつあるか
①2本の直線の傾きがちがえば1点で交わり、解は1組である。
②傾きが等しく切片がちがえば2本の直線は平行で交わらないので、解はない。
③傾きも切片も等しければ2本の直線は重なり、解は無数にある。図で2つの傾きを等しくすると、この2つの場合を見ることができる。

例題で確かめる

例題 1
連立方程式 x + y = 5, x − y = 1 を加減法で解け。
1
2つの式を辺どうしたすと y が消える。
(x + y) + (x − y) = 5 + 1 ⇒ 2x = 6
2
x = 3 を一方の式に代入して y を求める。
x = 3, y = 5 − 3 = 2
▸ x = 3, y = 2
加減法は、1つの文字の係数をそろえてたしたりひいたりして消す。
例題 2
連立方程式 y = 2x − 1, 3x + y = 9 を代入法で解け。
1
1つ目の式の y を、2つ目の式の y のところに代入する。
3x + (2x − 1) = 9 ⇒ 5x = 10
2
x = 2 を1つ目の式に代入する。
x = 2, y = 2·2 − 1 = 3
▸ x = 2, y = 3
一方の式が y =（式）の形なら代入法が便利である。

試験のポイント

連立方程式を解く作戦
加減法：係数をそろえる → たす・ひく 代入法：y = … の形 → 代入
どちらの方法も、文字を1つ消して1つの一次方程式にすることが要である。
中2 校内試験 類型
連立方程式 x + ay = 7, 2x − y = 4 の解が x = 3, y = 2 のとき、定数 a の値は？
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ② 2
1
解 x = 3、y = 2 を1つ目の式に代入する。
3 + a·2 = 7
2
a について解く。
2a = 4 ⇒ a = 2
🎯 試験のポイント
①係数が簡単なら加減法、一方がすでに y = … の形なら代入法が速い。
②式をひくときは、ひく式のすべての項の符号が変わることに注意する。
③解を求めたら、2つの式の両方に代入して確かめる。
④文章題では文字が2つなので、2つの条件から2つの式をつくる。
⑤グラフでは、2本の直線の交点の座標が連立方程式の解である。
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