連立一次方程式
System of Linear Equations
連立方程式とは、二つの未知数を含む二つの式を同時に満たす値を求めることです。
りんごとなしを買った個数と代金をそれぞれ式に表すと、二つの式を一緒に解いて何個ずつ買ったかが分かります。
一方の文字を他方で表して代入したり、二つの式を足し引きして文字を消す加減法で解きます。
このページでは、二つの直線のグラフが交わる点がそのまま連立方程式の解になることを確かめます。
直観 — 2条件を同時に満たす
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2直線の交点が連立方程式の解になることを示すグラフ👀 2直線が交わる点
①1本目の直線上の点: y = ax + b を満たす
②2本目: y = cx + d を満たす
③交点: 両方を同時に満たす唯一の(x, y)
加減法 — 1つの未知数を消す
📝 加減法の例
①x + y = 5 … ㉠
②x - y = 1 … ㉡
③㉠+㉡: 2x = 6 → x = 3
④㉠に代入: 3 + y = 5 → y = 2
加減法の核心
ある未知数の係数を同じ（または逆符号）にして 引く（または足す）
係数が違えば適切な数を掛けてそろえる
代入法 — 1つの式を他に入れる
📝 代入法の例
①y = 2x - 1 … ㉠
②3x + y = 9 … ㉡
③㉠を㉡に代入: 3x + (2x - 1) = 9
④5x - 1 = 9 → x = 2
⑤y = 2(2) - 1 = 3
代入法の核心
1つの式を y = (xの式) に整理 → 他の式へ代入
1つの未知数の係数が1なら代入法が便利
解の個数
💡 連立方程式の解はいくつ？
①2直線が1点で交わる → 解1個（一般）
②平行 → 解なし（不能）
③重なる → 解が無数（不定）
実際に解いてみる
例題 1
連立方程式 x + y = 5, x − y = 1 を加減法で解け。
12 式を辺ごとに足すと y が消去される。
(x + y) + (x − y) = 5 + 1 ⇒ 2x = 6
2x = 3 を一方の式に代入する。
x = 3, y = 5 − 3 = 2
▸ x = 3, y = 2
加減法は一方の係数を揃えて足し引きし消去する。
例題 2
連立方程式 y = 2x − 1, 3x + y = 9 を代入法で解け。
1第 1 式を第 2 式の y に代入する。
3x + (2x − 1) = 9 ⇒ 5x = 10
2x = 2 を代入する。
x = 2, y = 2·2 − 1 = 3
▸ x = 2, y = 3
一方が y = (式) の形なら代入法が便利。
試験ポイント
連立方程式の戦略
加減法: 係数合わせ→加減 代入法: y= 形→代入
いずれも1つの未知数を消すのが本質
中2 校内試験 類型
連立方程式 x + ay = 7, 2x − y = 4 の解が x = 3, y = 2 のとき、定数 a の値は?
▸ ② 2
1解 (3, 2) を第 1 式に代入する。
3 + a·2 = 7
2a について整理する。
2a = 4 ⇒ a = 2
🎯 試験ポイント
①加減法 vs 代入法: 係数が単純→加減、すでにy=形→代入
②係数合わせ時の符号ミス注意（引き算時は全項の符号変化）
③解を求めたら必ず両方の式に代入して検算
④応用: 未知数2個 → 条件式2つ
⑤グラフ: 交点の座標 = 連立方程式の解