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中学2年生 (13-14歳)

中2 一次不等式 わかりやすく

Linear Inequalities

不等式は、等号のかわりに不等号 <, >, ≤, ≥ を使って二つの量の大小を表す式です。 方程式 x = 3 の解は一つの数だけですが、不等式 x > 3 の解は3より大きい数すべてなので、数直線上のひと続きの範囲になります。 身長120 cm以上でないと乗れない乗り物や、1000円以内でいくつまで買えるかを考えるときのように、身のまわりの条件の多くは不等式です。 不等式の解き方は方程式とほとんど同じですが、両辺に負の数をかけたり負の数でわったりするときだけ、不等号の向きが逆になります。

等号のかわりに不等号

👀 不等式とその解
①等式 x = 3 を成り立たせる数は3だけである。
②不等式 x > 3 は 3.1 でも 4 でも 100 でも成り立つ。解は一つの数ではなく範囲である。
③数直線では、<, > は境界をふくまないので白丸（○）、≤, ≥ は境界をふくむので黒丸（●）でかく。
④ことばにすると、≥ は「以上」、≤ は「以下」、> は「より大きい」、< は「未満」である。
3
>

負の数をかけると不等号の向きが変わる

2
不等式の性質
a < b で c < 0 なら ac > bc、a/c > b/c
両辺に同じ数をたしてもひいても、正の数をかけてもわっても、不等号の向きは変わらない。負の数をかけたりわったりするときだけ向きが変わる。

一次不等式を解く

解く手順
かっこをはずす → 移項 → 同類項をまとめる → x の係数で両辺をわる
一次方程式と同じ手順である。最後にわる係数が負の数なら、不等号の向きを変える。
📝 解き方の一例
①2x − 3 > 5 で −3 を右辺に移項すると 2x > 8 になる。
②両辺を正の数2でわると x > 4 で、不等号の向きはそのままである。
③数直線では4に白丸をかき、右向きに矢印をひく。4そのものは解ではない。

不等式の利用

💡 文章を不等式になおす
①求めたい量を x とおく。
②「以上」「以下」「より大きい」「未満」「こえない」などのことばから不等号を決め、不等式をつくる。
③不等式を解いたあと、問題の条件に合う値だけを選ぶ。品物の個数のように自然数でなければならないときは、範囲の中の自然数だけが答えになる。

例題で確かめる

例題 1
一次不等式 2x − 3 > 5 を解け。
1
定数項 −3 を右辺に移項する。
2x > 5 + 3 = 8
2
両辺を正の数2でわる。不等号の向きはそのままである。
x > 4
▸ x > 4
正の数でわるとき、不等号の向きは変わらない。
例題 2
一次不等式 −3x + 1 ≥ 7 を解け。
1
定数項1を右辺に移項する。
−3x ≥ 6
2
両辺を負の数 −3 でわるので、不等号の向きを変える。
x ≤ −2
▸ x ≤ −2
x = −3 を代入すると −3·(−3) + 1 = 10 ≥ 7 で成り立ち、x = 0 を代入すると 1 ≥ 7 で成り立たない。向きを変えた答えが正しい。

試験のポイント

一次不等式 ax + b > 0 の解
a > 0 なら x > −b/a、a < 0 なら x < −b/a
同じ式でも、x の係数 a の符号によって解の向きが正反対になる。
中2 校内試験 類型
不等式 5 − 2x ≥ −1 を満たす自然数 x の個数は？
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
5を右辺に移項してから負の数 −2 でわると、不等号の向きが変わる。
−2x ≥ −6 ⇒ x ≤ 3
2
x ≤ 3 をみたす自然数を数える。
自然数 x = 1, 2, 3 ⇒ 3 個
🎯 試験のポイント
①数直線では <, > は白丸（○）、≤, ≥ は黒丸（●）である。
②両辺に負の数をかけたり負の数でわったりすると不等号の向きが変わる。いちばんまちがえやすいところである。
③移項すると項の符号が変わる。
④「以上・以下」は境界をふくみ、「より大きい・未満」はふくまない。
⑤文章題で自然数の条件があれば、範囲の中の自然数だけを数える。
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