中2 有理数と循環小数わかりやすく

Rational Numbers & Repeating Decimals

1を3で割ると0.333...のように3が無限に続き、1を7で割ると6桁がまるごと繰り返されます。ある分数はきれいに終わる有限小数になり、ある分数は循環小数になりますが、その分かれ目は分母を素因数分解して2と5だけが残るかどうかです。逆に循環小数は10の累乗を掛けて引くと、循環する部分が消えてすっきりした分数に変わります。分母と循環の桁を変えると、小数がなぜ終わったり繰り返したりするのかが見えます。

直観 — 割ると何が出る？

割り算を小数に直すとき先頭の桁だけを切り取ると、同じ分数を別の数のように読んでしまいます。既約分数にしたうえで分母の素因数が 2 と 5 の累乗だけかを問うと、ある桁で終わる小数と、同じまとまりが繰り返す小数を分ける基準が立ちます。どちらも分数に戻せるので有理数の別の書き方であり、循環せずにどこまでも続く展開だけがその外に残ります。桁をいくつか写すより、分母がどの素因数でできているかを先に尋ねるほうが、表記を信じやすくします。

0 と 1 の間の数直線の上に 1/n が点で付いていて、その下には 1 ÷ n の小数展開が何桁も書かれています。分母 n を 2 から 12 まで変えると点の位置と小数点以下の数字列が一緒に変わり、同じまとまりが繰り返せば循環節とその長さが書かれ、そうでなければ循環しないというメモが残ります。変換を書いた図には 1 桁の循環小数 x = 0.aaa… とそれを 10 倍した式、引いて得た 9x、そして x = a/9 が縦に並び、約分できるときは既約分数とその割合を示す扇形が横に出ます。循環節の数字を 1 から 8 まで変えると、式に入る数字と扇形の割合が一緒に変わります。

分母 n3

👀 割り算の秘密

①1 ÷ 3 = 0.333... → 3が無限に続く

②1 ÷ 7 = 0.142857142857... → 6桁が反復

③分母を変えてどれが「有限」かどれが「循環」か観察しよう

有限小数 vs 循環小数

🔑 有限小数になる条件は？

①分母の素因数が2と5だけなら → 有限小数

②それ以外の素因数があれば → 循環小数

③例: 1/8 = 1/2³ → 有限、1/6 = 1/(2×3) → 循環

有限小数の判別

分母の素因数 = 2^a × 5^b のみ → 有限

既約分数にしたとき、分母に2と5以外の素因数がない

循環小数を分数に

小数点以下が長く続くからといって、どれも分数に戻せる数だとまとめやすいです。循環せずにどこまでも続く展開は有理数の条件を満たさず、見た目は繰り返しでも、分母を素因数に分けると 2 と 5 だけが残ってある桁で終わる場合もあります。循環する区間に上線を引かず先頭だけ書くと、同じ数を別の小数として読みやすいです。表記の点より分母の素因数から確かめる順番が、終わる小数と循環する小数を混ぜないようにします。

循環の桁1

1桁循環 → 分数

0.a̅ = a9

循環1桁 → 分母は9

2桁循環 → 分数

0.a̅b̅ = ab99

循環2桁 → 分母は99

混合循環小数の変換

混合循環小数の公式

0.ab̅ = ab - a90

循環しない部分と循環する部分を分けて計算

📝 変換の原理

①x = 0.1666... のとき

②10x = 1.666...、100x = 16.666...

③100x - 10x = 15 → 90x = 15 → x = 15/90 = 1/6

実際に解いてみる

例題 1

分数 3/40 が有限小数か循環小数か判別せよ。

既約分数の分母を素因数分解する。

40 = 2³ × 5

分母の素因数が 2 と 5 だけなら有限小数。

素因数 2, 5 のみ ⇒ 有限小数 (3/40 = 0.075)

▸ 有限小数 (0.075)

既約分数の分母が 2 と 5 だけなら有限小数になる。

例題 2

循環小数 0.444… を既約分数で表せ。

x = 0.444… とおき、10 倍した式を作る。

x = 0.444…, 10x = 4.444…

2 式を引くと 9x = 4。

10x − x = 9x = 4 ⇒ x = 4/9

▸ 4/9

循環小数は 10ⁿ を掛けて引くと循環節が消える。

試験ポイント

循環小数 → 分数の要点

循環n桁 → 分母に9をn個

循環しない桁数だけ分母に0を加える

中2 校内試験類型

分数 a/30 が有限小数になる最小の自然数 a の値は?

①1

②2

③3

④5

⑤6

▸ ③ 3

30 = 2 × 3 × 5 なので、有限小数には素因数 3 が約分される必要がある。

30 = 2 × 3 × 5

a は 3 の倍数でなければならず、最小は 3。

a = 3 (3/30 = 1/10 = 0.1)

🎯 試験ポイント

①有限小数判別: 既約分数の分母素因数が2,5のみか

②表記: 点と上線は同じ意味。このページの公式は上線

③変換: 10^n倍引き算法

④すべての有理数は有限または循環で表せる

⑤無限小数で循環しないもの = 無理数（中3）

中2 有理数と循環小数 わかりやすく