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単語帳
中学2年生 (13-14歳)

有理数と循環小数

Rational Numbers & Repeating Decimals

1を3で割ると0.333...のように3が無限に続き、1を7で割ると6桁がまるごと繰り返されます。 ある分数はきれいに終わる有限小数になり、ある分数は循環小数になりますが、その分かれ目は分母を素因数分解して2と5だけが残るかどうかです。 逆に循環小数は10の累乗を掛けて引くと、循環する部分が消えてすっきりした分数に変わります。 このページでは分母と循環の桁を自分で動かして、小数がなぜ終わったり繰り返したりするのかを確かめてみましょう。

直観 — 割ると何が出る?
3
👀 割り算の秘密
①1 ÷ 3 = 0.333... → 3が無限に続く
②1 ÷ 7 = 0.142857142857... → 6桁が反復
③分母を変えてどれが「有限」かどれが「循環」か観察しよう
有限小数 vs 循環小数
🔑 有限小数になる条件は?
①分母の素因数が2と5だけなら → 有限小数
②それ以外の素因数があれば → 循環小数
③例: 1/8 = 1/2³ → 有限、1/6 = 1/(2×3) → 循環
有限小数の判別
分母の素因数 = 2a × 5b のみ → 有限
既約分数にしたとき、分母に2と5以外の素因数がない
循環小数を分数に
1
1桁循環 → 分数
0.ā = a9
循環1桁 → 分母は9
2桁循環 → 分数
0.ab̄ = ab99
循環2桁 → 分母は99
混合循環小数の変換
混合循環小数の公式
0.ab̄ = ab - a90
循環しない部分と循環する部分を分けて計算
📝 変換の原理
①x = 0.1666... のとき
②10x = 1.666...、100x = 16.666...
③100x - 10x = 15 → 90x = 15 → x = 15/90 = 1/6
実際に解いてみる
例題 1
分数 3/40 が有限小数か循環小数か判別せよ。
1
既約分数の分母を素因数分解する。
40 = 2³ × 5
2
分母の素因数が 2 と 5 だけなら有限小数。
素因数 2, 5 のみ ⇒ 有限小数 (3/40 = 0.075)
有限小数 (0.075)
既約分数の分母が 2 と 5 だけなら有限小数になる。
例題 2
循環小数 0.444… を既約分数で表せ。
1
x = 0.444… とおき、10 倍した式を作る。
x = 0.444…, 10x = 4.444…
2
2 式を引くと 9x = 4。
10x − x = 9x = 4 ⇒ x = 4/9
4/9
循環小数は 10ⁿ を掛けて引くと循環節が消える。
試験ポイント
循環小数 → 分数の要点
循環n桁 → 分母に9をn個
循環しない桁数だけ分母に0を加える
中2 校内試験 類型
分数 a/30 が有限小数になる最小の自然数 a の値は?
1
2
3
5
6
③ 3
1
30 = 2 × 3 × 5 なので、有限小数には素因数 3 が約分される必要がある。
30 = 2 × 3 × 5
2
a は 3 の倍数でなければならず、最小は 3。
a = 3 (3/30 = 1/10 = 0.1)
🎯 試験ポイント
①有限小数判別: 既約分数の分母素因数が2,5のみか
②表記: 循環の最初と最後の桁の上に点
③変換: 10^n倍 引き算法
④すべての有理数は有限または循環で表せる
⑤無限小数で循環しないもの = 無理数(中3)
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指数法則
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