Rational Numbers & Repeating Decimals
1を4でわると0.25でぴったり終わりますが、1を3でわると0.333…と3が限りなく続き、1を7でわると142857の6けたがひとかたまりでくり返されます。 分数には有限小数になるものと循環小数になるものがあり、その分かれ目は、既約分数の分母を素因数分解したとき2と5しか残らないかどうかです。 反対に循環小数は、10の累乗をかけた式からもとの式をひくと、限りなく続くしっぽがまるごと消えて分数にもどります。 つまり有限小数も循環小数も、分数すなわち有理数を小数で書いた姿です。
電卓でわり算をすると、画面がいっぱいになったところで数字が切れるので、その小数が本当に終わるのかくり返すのかは画面だけではわからない。この単元は、その判断をけた数を数える作業から分母を調べる作業に変える。小数を1けた求めるたびに10をかけるが、10 = 2 × 5 なので、分母に2と5以外の素因数が残っていれば余りはいつまでも0にならない。この理由がわかれば、1/40が有限小数で1/12が循環小数であることを、わり算をしなくても言えます。
最初の図の数直線には、0から1までをn等分した目もりと1/nの位置がかかれ、その下に1 ÷ nを筆算で計算した小数が並ぶ。循環小数なら、くり返す部分の上に線を引いてその長さを書き、有限小数なら小数第何位で終わるかを書く。いちばん下の2行は分母nの素因数分解と判定なので、nを6から8に変えると素因数3が消えて循環小数が有限小数に変わる瞬間が見える。2つ目の図は、10xからxをひく筆算と、その結果の分数の分だけぬった円を並べている。
小数点以下が長く続くとすべて循環小数だと思いがちだが、循環小数は同じ部分が限りなくくり返される小数だけをさす。円周率のように、くり返さずに限りなく続く小数は分数で表せない無理数で、中学3年で学ぶ。また、有限小数かどうかの判定は、必ず既約分数になおしてから行う。3/30は分母に3があるので循環小数に見えるが、約分すると1/10 = 0.1です。
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