中2 数学›有理数と循環小数

有理数と循環小数

Rational Numbers & Repeating Decimals

直観 — 割ると何が出る？
3
👀 割り算の秘密
①1 ÷ 3 = 0.333... → 3が無限に続く
②1 ÷ 7 = 0.142857142857... → 6桁が反復
③分母を変えてどれが「有限」かどれが「循環」か観察しよう
有限小数 vs 循環小数
🔑 有限小数になる条件は？
①分母の素因数が2と5だけなら → 有限小数
②それ以外の素因数があれば → 循環小数
③例: 1/8 = 1/2³ → 有限、1/6 = 1/(2×3) → 循環
有限小数の判別
分母の素因数 = 2a × 5b のみ → 有限
既約分数にしたとき、分母に2と5以外の素因数がない
循環小数を分数に
1
1桁循環 → 分数
0.\overline{a} = a9
循環1桁 → 分母は9
2桁循環 → 分数
0.\overline{ab} = ab99
循環2桁 → 分母は99
混合循環小数の変換
混合循環小数の公式
0.a\overline{b} = ab - a90
循環しない部分と循環する部分を分けて計算
📝 変換の原理
①x = 0.1666... のとき
②10x = 1.666...、100x = 16.666...
③100x - 10x = 15 → 90x = 15 → x = 15/90 = 1/6
試験ポイント
循環小数 → 分数の要点
循環n桁 → 分母に9をn個
循環しない桁数だけ分母に0を加える
🎯 試験ポイント
①有限小数判別: 既約分数の分母素因数が2,5のみか
②表記: 循環の最初と最後の桁の上に点
③変換: 10^n倍 引き算法
④すべての有理数は有限または循環で表せる
⑤無限小数で循環しないもの = 無理数（中3）