中学2年生 (13-14歳)

中2 指数法則わかりやすく

Laws of Exponents

指数法則とは、累乗どうしをかけたり、わったり、さらに累乗したりするときのきまりを短くまとめたものです。 2³ × 2² は、2を3回かけてからさらに2回かけたものなので、2を5回かけた 2⁵ になります。だから同じ底の累乗のかけ算は、指数をたせばよいのです。同じ考え方で、わり算は指数をひき、累乗をさらに累乗するときは指数をかけます。このページでは、底と指数を変えながら累乗がどれほど速く大きくなるかを見て、ブロックを数えて指数をたすわけをたしかめます。

同じ数をくり返しかける

底a2

指数n3

👀 累乗

①2³ = 2 × 2 × 2 = 8 である。2を3回かけたという意味で、2を底、3を指数という

②指数が1ふえるたびに、値は底の倍だけ大きくなる。図で棒がだんだん急に高くなるのはそのためである

③このように同じ数をくり返しかけるときのきまりをまとめたものが指数法則である

法則1 同じ底の累乗の積

指数法則1 かけ算

a^m × aⁿ = a^m+n

同じ底の累乗どうしをかけると、指数をたす。aをm個かけ、続けてn個かければ、全部でm + n個である

法則2、3 わり算と累乗の累乗

指数法則2 わり算

a^m ÷ aⁿ = a^m-n (m > n, a ≠ 0)

底が同じなら指数をひく。m = n なら1、m < n なら1をaの(n − m)乗でわった形になる

指数法則3 累乗の累乗

(a^m)ⁿ = a^mn

累乗をさらに累乗すると、指数をかける

💡 なぜ指数をかけるのか

①(a²)³ = a² × a² × a² である。aを2回かけたまとまりが3つあるので、aは全部で 2 × 3 = 6 回かけられる

②一般に (aᵐ)ⁿ は、aをm回かけることをn回くり返したものなので aᵐⁿ になる

③指数をたす法則1とまちがえやすい。かけ算は指数の和、累乗の累乗は指数の積である

法則4、5 積と商の累乗

積の累乗

(ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ

積を累乗すると、それぞれの因数を累乗する。係数もわすれない

商の累乗

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

商を累乗すると、分子と分母をそれぞれ累乗する(b ≠ 0)

例題でたしかめる

例題 1

a⁴ × a³ を簡単にしなさい。

同じ底の累乗の積は、指数をたす。

a⁴ × a³ = a⁴⁺³

指数を計算する。

= a⁷

▸ a⁷

ブロックの図で m = 4、n = 3 にすると、aのブロックが4個と3個で、全部で7個になる。

例題 2

(2a² b)³ を簡単にしなさい。

積の累乗は、それぞれの因数を累乗する。係数の2も3乗する。

= 2³ × (a²)³ × b³

累乗の累乗は指数をかける。

= 8a⁶ b³

▸ 8a⁶ b³

係数を3乗しわすれて 2a⁶ b³ と書くまちがいがいちばん多い。

テストのポイント

指数法則のまとめ

a^m·aⁿ=a^m+n, a^m÷aⁿ=a^m-n, (a^m)ⁿ=a^mn

a^m × aⁿ = a^m+n、a^m ÷ aⁿ = a^m−n、(a^m)ⁿ = a^mn、(ab)ⁿ = aⁿ bⁿ

中2定期テスト形式

aⁿ ÷ a² = a⁵ のとき、自然数nの値は。（ただし a ≠ 0）

①5

②6

③7

④8

⑤10

▸ ③ 7

同じ底の累乗のわり算は、指数をひく。

aⁿ ÷ a² = aⁿ⁻² = a⁵

指数をくらべる。

n − 2 = 5 ⇒ n = 7

🎯 テストのポイント

①まず底が同じかどうかをたしかめる。底が同じでなければ指数どうしの計算はできない

②かけ算は指数のたし算、わり算は指数のひき算、累乗の累乗は指数のかけ算である

③わり算で指数が同じなら1、わる方の指数が大きければ分数になる

④(−2)² = 4 だが −2² = −4 である。かっこがあるかどうかで結果はまったく変わる

⑤積の累乗では係数も累乗する。(2a)³ = 8a³ である

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最終更新 2026-10-17

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