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単語帳
中学2年生 (13-14歳)

指数法則

Laws of Exponents

指数法則は、累乗を掛けたり割ったり、さらに累乗したりするときの決まりをまとめたものです。 2の3乗かける2の2乗は2を5回掛けることと同じなので、同じ底の累乗の掛け算は指数を足せばよいのです。 同じように割り算では指数を引き、累乗の累乗では指数を掛けます。 このページでは底と指数を動かしながら、なぜその法則が成り立つのかを確かめてみましょう。

直観の導入 — 掛け算の繰り返し
2
3
👀 累乗とは?
①2³ = 2 × 2 × 2 = 8 → 「2を3回かける」
②底が大きい? 指数が大きい? 結果は爆発的に増える
③この「繰り返し掛け算」のルールが指数法則
法則1 — 同じ底の積
2
3
指数法則1: 乗法
am × an = am+n
同じ底の積は指数を足す
法則2,3 — 除法と累乗の累乗
指数法則2: 除法
am ÷ an = am-n (m > n, a ≠ 0)
同じ底の商は指数を引く
指数法則3: 累乗の累乗
(am)n = amn
累乗を更に累乗すると指数を掛ける
💡 なぜ指数を掛ける?
①(a²)³ = a² × a² × a² → 2回ずつを3組 = 6回
②(a^m)^n: m回掛けを n回繰り返す = m×n回
法則4,5 — 積と商の累乗
積の累乗
(ab)n = an × bn
積を累乗すると各因子に指数を適用
商の累乗
(ab)n = anbn
商を累乗すると分子・分母に指数を適用
実際に解いてみる
例題 1
a4 × a3 を簡単にせよ。
1
同じ底の累乗の積は指数を足す。
a4 × a3 = a4+3
2
指数を計算する。
= a7
a7
同じ底なら積は指数の和、商は指数の差。
例題 2
(2a2 b)3 を簡単にせよ。
1
積の累乗は各因数を累乗し、係数も累乗する。
= 23 × (a2)3 × b3
2
指数法則で整理する。
= 8a6 b3
8a6 b3
(ab)n = an bn、(am)n = amn に注意。
試験ポイントまとめ
指数法則5つのまとめ
am·an=am+n, am÷an=am-n, (am)n=amn
(ab)n=an·bn, (a/b)n=an/bn
中2 校内試験 類型
an ÷ a2 = a5 (a ≠ 0) のとき、自然数 n の値は?
5
6
7
8
10
③ 7
1
同じ底の累乗の商は指数を引く。
an ÷ a2 = an−2 = a5
2
指数を比べる。
n − 2 = 5 ⇒ n = 7
🎯 試験ポイント
①底が同じか確認 → 同じなら指数で計算
②積→指数の和、商→指数の差、累乗の累乗→指数の積
③a⁰ = 1 (a ≠ 0)
④符号注意: (-2)² = 4 だが -2² = -4
⑤括弧の有無で結果が変わる
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単項式と多項式
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