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中学1年生 (12-13歳)

中1 立体の表面積と体積 わかりやすく

Surface Area & Volume

立体の体積は、硬貨を積み重ねるようすを思いうかべるとつかめます。 面積 πr² の硬貨を高さhまで積むと円柱になるので体積は πr²h、底面と高さが同じ円錐はその3分の1です。 円柱にぴったり入る球はその円柱の3分の2なので、高さが直径と等しいとき、円柱・円錐・球の体積は 3 : 1 : 2 になります。 このページでは、半径と高さを変え、柱・錐・球を切りかえながら体積をπを残した形でくらべ、表面積がどう出てくるかも展開して見ます。

硬貨を積んでできる立体

3
6
🪙 硬貨を積んでみると
①半径rの硬貨1枚の面積は πr² である
②この硬貨を高さhまで積むと円柱になるので、体積は πr² × h である
③円錐は上にいくほど小さくなる硬貨を積んだ形なので、底面と高さが同じ円柱より小さい。ちょうど3分の1である
④図は半径と高さを同じ目もりでかいている。r = 3、h = 6 なら、円柱は高さと直径が等しい形になる

柱体の体積と表面積

柱体の体積
V = Sh = (底面積) × (高さ)
底面がどんな形でも、底面積に高さをかける
円柱の体積
V = πr²h
底面が半径rの円である柱体
円柱の表面積
S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)
上下2つの円の面積に、展開すると横2πr、たてhの長方形になる側面の面積をたす
🔍 側面を展開すると
①円柱の側面をたてに切って開くと長方形になる
②横の長さは底面の円周 2πr である
③たての長さは高さhである
④だから側面積は 2πrh で、これに2つの底面積 2πr² をたすと表面積になる

錐体の体積はなぜ3分の1か

錐体の体積
V = 13Sh
底面と高さが同じ柱体の体積の1/3である
円錐の体積
V = 13πr²h
円柱の体積 πr²h の1/3
円錐の側面積
S = πrl
lは母線の長さである。側面を展開すると半径l、弧の長さ2πrのおうぎ形になるので、(1/2) × l × 2πr = πrl
💡 実験でたしかめる
①底面と高さが同じ円柱の形の容器と円錐の形の容器を用意する
②円錐の容器に水をいっぱい入れて円柱の容器にうつすと、3回でいっぱいになる
③円錐の体積が円柱の3分の1であることを、計算しなくても目でたしかめられる
④図で円錐をえらぶと、体積が円柱の体積の1/3と出る

球の体積と表面積

球の体積
V = 43πr³
半径rの球。高さ2rの円柱の2/3である
球の表面積
S = 4πr²
半径が同じ円4つ分の面積と等しい
🏀 球は円柱の3分の2
①球を、ぴったり入る円柱、つまり高さが直径2rの円柱に入れる
②この円柱の体積は πr² × 2r = 2πr³ である
③球の体積は (4/3)πr³ なので、円柱の2/3である
④このとき円錐は (1/3) × 2πr³ = (2/3)πr³ なので、円柱 : 円錐 : 球 = 3 : 1 : 2 になる。アルキメデスが見つけた関係である

例題でたしかめる

例題 1
底面の半径が3、高さが5の円柱の体積を求めなさい。（πはそのまま残す）
1
円柱の体積は（底面積） × （高さ） = πr² × h である。
体積 = π × 3² × 5
2
計算する。
= 9π × 5 = 45π
▸ 45π
図で r = 3、h = 5 にして円柱をえらぶと、体積が 45π ≈ 141.4 と出る。
例題 2
底面が1辺6の正方形で、高さが10の四角錐の体積を求めなさい。
1
錐体の体積は (1/3) × （底面積） × （高さ） で、底面積は 6² = 36 である。
体積 = (1/3) × 36 × 10
2
計算する。
= (1/3) × 360 = 120
▸ 120
底面と高さが同じ四角柱の体積は360で、四角錐はその1/3の120である。

テストのポイント

立体の体積のまとめ
Sh, 13Sh, 43πr³
円柱 : 円錐 : 球 = 3 : 1 : 2（同じrで高さが2rのとき）
中1定期テスト形式
半径3の球の体積は。（πはそのまま残す）
①12π
②27π
③36π
④72π
⑤108π
▸ ③ 36π
1
球の体積は (4/3)πr³ である。
体積 = (4/3) × π × 3³
2
計算する。
= (4/3) × 27π = 36π
🎯 テストのポイント
①柱体は V = Sh、錐体は V = (1/3)Sh である。底面の形がちがってもこの関係は同じである
②円柱の表面積 2πr(r + h) がよく出る
③円錐の側面積は πrl で、lは母線の長さである
④球の表面積 4πr² は、半径が同じ円の面積の4倍である
⑤半球の表面積は、曲面 2πr² に底面 πr² をたした 3πr² である
⑥角柱や角錐の表面積は、展開図のすべての面の面積をたす
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資料の整理と解釈

最終更新

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