中1 数学›平面・立体図形と統計

立体の表面積と体積

Surface Area & Volume

直感導入 — 硬貨の積み重ね
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🪙 硬貨を積み重ねよう
①硬貨(円)1枚の面積＝πr²
②h枚積めば円柱 → V = πr²h
③円錐は硬貨を縮めて積む → 柱の1/3
④球は円柱に内接で柱の2/3(高さ＝直径)
柱の体積と表面積
柱の体積
V = Sh = 底面積×高さ
底面の形に関わらず底面積×高さ
円柱の体積
V = πr²h
底面が円(半径r)の柱
円柱の表面積
S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)
上下の円2つ＋側面(展開すると長方形：幅2πr、高さh)
🔍 側面を展開すると
①円柱の側面を切り開くと長方形
②幅＝円周＝2πr
③高さ＝h
④側面積＝2πrh
錐の体積 — なぜ1/3？
錐の体積
V = 13Sh
同じ底面・高さの柱の体積の1/3
円錐の体積(式)
V = 13πr²h
πr²hの1/3
円錐の側面積
S = πrl
lは母線長。展開すると扇形
💡 実験で確認
①同じ底面・高さの円柱と円錐を用意
②円錐に水を入れ円柱に注ぐと3回でいっぱい
③1/3の直感を実験で確認
球の体積と表面積
球の体積
V = 43πr³
半径rの球。高さ2rの円柱の2/3
球の表面積
S = 4πr²
同じ半径の円4個の面積に等しい
🏀 球＝円柱の2/3
①球をぴったり入る円柱(高さ＝直径)に入れる
②円柱V = πr²×2r = 2πr³
③球V = (4/3)πr³ = 円柱の2/3
④アルキメデス発見の美しい関係
試験ポイント整理
立体体積総まとめ
Sh, 13Sh, 43πr³
柱：錐：球 = 3：1：2 (同じr、h=2r)
🎯 試験ポイント
①柱V=Sh、錐V=Sh/3 — 底面に関わらず
②円柱表面積2πr(r+h)頻出
③円錐側面積πrl(l=母線)
④球表面積4πr²＝円面積の4倍。記述に注意
⑤半球の表面積＝2πr²+πr²＝3πr²