立体の表面積と体積

Surface Area & Volume

立体の体積と表面積は、硬貨を積み重ねるだけで直感がつかめます。硬貨(円)1枚の面積はπr²で、これをhだけ積めば円柱になり体積はπr²h、円錐はその3分の1、球は3分の2(高さが直径のとき)という美しい比が現れます。表面積も側面を長方形に開いてみれば、なぜその式になるのかがよく見えます。このページでは半径と高さをスライダーで変え、円柱・円錐・球を切り替えながら、体積が3：1：2でどう比べられるかを確かめてみましょう。

直感導入 — 硬貨の積み重ね

半径r3

高さh6

🪙 硬貨を積み重ねよう

①硬貨(円)1枚の面積＝πr²

②h枚積めば円柱 → V = πr²h

③円錐は硬貨を縮めて積む → 柱の1/3

④球は円柱に内接で柱の2/3(高さ＝直径)

柱の体積と表面積

柱の体積

V = Sh = 底面積×高さ

底面の形に関わらず底面積×高さ

円柱の体積

V = πr²h

底面が円(半径r)の柱

円柱の表面積

S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)

上下の円2つ＋側面(展開すると長方形：幅2πr、高さh)

🔍 側面を展開すると

①円柱の側面を切り開くと長方形

②幅＝円周＝2πr

③高さ＝h

④側面積＝2πrh

錐の体積 — なぜ1/3？

錐の体積

V = 13Sh

同じ底面・高さの柱の体積の1/3

円錐の体積(式)

V = 13πr²h

πr²hの1/3

円錐の側面積

S = πrl

lは母線長。展開すると扇形

💡 実験で確認

①同じ底面・高さの円柱と円錐を用意

②円錐に水を入れ円柱に注ぐと3回でいっぱい

③1/3の直感を実験で確認

球の体積と表面積

球の体積

V = 43πr³

半径rの球。高さ2rの円柱の2/3

球の表面積

S = 4πr²

同じ半径の円4個の面積に等しい

🏀 球＝円柱の2/3

①球をぴったり入る円柱(高さ＝直径)に入れる

②円柱V = πr²×2r = 2πr³

③球V = (4/3)πr³ = 円柱の2/3

④アルキメデス発見の美しい関係

実際に解いてみる

例題 1

底面が半径 3 の円、高さが 5 の円柱の体積を求めよ。(π はそのまま)

柱の体積 = (底面積) × (高さ) = πr² × h。

体積 = π × 3² × 5

計算する。

= 9π × 5 = 45π

▸ 45π

柱の体積は底面積に高さを掛ける。

例題 2

底面が 1 辺 6 の正方形、高さが 10 の四角錐の体積を求めよ。

錐の体積 = (1/3) × (底面積) × (高さ)。底面積 = 6² = 36。

体積 = (1/3) × 36 × 10

計算する。

= (1/3) × 360 = 120

▸ 120

錐の体積は同じ底面・高さの柱の 1/3。

試験ポイント整理

立体体積総まとめ

Sh, 13Sh, 43πr³

柱：錐：球 = 3：1：2 (同じr、h=2r)

中1 校内試験類型

半径 3 の球の体積は?(π はそのまま)

①12π

②27π

③36π

④72π

⑤108π

▸ ③ 36π

球の体積 = (4/3)πr³。

体積 = (4/3) × π × 3³

計算する。

= (4/3) × 27π = 36π

🎯 試験ポイント

①柱V=Sh、錐V=Sh/3 — 底面に関わらず

②円柱表面積2πr(r+h)頻出

③円錐側面積πrl(l=母線)

④球表面積4πr²＝円面積の4倍。記述に注意

⑤半球の表面積＝2πr²+πr²＝3πr²