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中学1年生 (12-13歳)

中1 多角形と円 わかりやすく

Polygon & Circle

多角形は線分で囲まれた図形で、頂点ごとに内側の内角と外側の外角があります。 1つの頂点から対角線をひくと、n角形は三角形(n − 2)個に分かれるので、内角の和は 180° × (n − 2) になります。 外角の和は辺の数に関係なくいつも360°で、円の一部であるおうぎ形は、中心角が円全体の何分のいくつかによって弧の長さと面積が決まります。 このページでは、辺の数を変えて三角形がいくつできるかを数え、中心角と半径を変えておうぎ形の弧と面積をたしかめます。

三角形に分けて見る多角形

5
🍕 三角形に分ける
①n角形の1つの頂点からひける対角線は(n − 3)本である。自分自身ととなりの2つの頂点へはひけないからである
②この対角線が多角形を三角形(n − 2)個に分ける。図で色のちがう部分を数えるとn − 2個ある
③三角形1つの内角の和は180°なので、n角形の内角の和は 180° × (n − 2) である
④n角形の対角線は全部で n(n − 3)/2 本である

内角と外角

内角の和
180° × (n − 2)
n角形を三角形(n − 2)個に分けて求める
正多角形の1つの内角
180° × (n-2)n
正多角形は内角の大きさがすべて等しいので、内角の和をnでわる
外角の和
外角の和 = 360°
どんな多角形でも、辺の数に関係なく360°である
💡 外角の和がいつも360°になるわけ
①1つの頂点で内角と外角をたすと180°である。n角形には頂点がn個あるので、（内角の和） + （外角の和） = 180° × n である
②ここから内角の和 180° × (n − 2) をひくと、外角の和は 180° × 2 = 360° になる
③周にそって1周歩くと考えても同じである。頂点ごとに外角の分だけ向きを変えて、はじめの向きにもどるので、全部あわせて1回転、360°回る
④正n角形の1つの外角は 360° ÷ n である

円とおうぎ形

120°
5
🔍 おうぎ形は円の何分のいくつか
①中心角がx°のおうぎ形は、円全体(360°)のx/360である
②だから弧の長さは円周 2πr のx/360、面積は円の面積 πr² のx/360である
③1つの円では、弧の長さと面積は中心角の大きさに比例する。図で中心角を2倍にすると、どちらも2倍になる
④図にはπを残した形と、およその値の両方を書いた。答えはふつうπを残した形で書く

公式のまとめ

円周
l = 2πr
直径 × π である。直径をdとすると l = πd
円の面積
S = πr²
半径を2乗してπをかける
おうぎ形の弧の長さ
l = 2πr × x360
円周にx/360をかける
おうぎ形の面積
S = πr² × x360 = 12rl
円の面積にx/360をかける。半径と弧の長さがわかれば (1/2) × r × l でも求められる
💡 S = (1/2)rl になるわけ
①おうぎ形を中心からとても細く、たくさんに切り分けると考える
②1切れは、底辺が弧の小さな一部で高さが半径rの三角形に近い
③すべての切れの面積をたすと (1/2) × r × （底辺の和） = (1/2) × r × l になる
④だから半径と弧の長さがわかれば、中心角がなくても面積が求められる

例題でたしかめる

例題 1
六角形の内角の和を求めなさい。
1
n角形の内角の和は 180° × (n − 2) で、六角形は n = 6 である。
180° × (6 − 2)
2
計算する。
= 180° × 4 = 720°
▸ 720°
図でnを6にすると、三角形が4個でき、内角の和が720°と出る。
例題 2
半径6、中心角60°のおうぎ形の面積を求めなさい。（πはそのまま残す）
1
おうぎ形の面積は、円の面積に 中心角/360° をかけたものである。
面積 = π × 6² × (60/360)
2
計算する。
= 36π × 1/6 = 6π
▸ 6π
図で半径6、中心角60°にすると、面積は 6π ≈ 18.85 と出る。

テストのポイント

多角形とおうぎ形のかなめの公式
180(n-2), πr², 12rl
内角の和、円の面積、おうぎ形の面積
中1定期テスト形式
正五角形の1つの内角の大きさは。
①100°
②108°
③110°
④120°
⑤135°
▸ ② 108°
1
五角形の内角の和は 180° × (5 − 2) = 540° である。
180° × (5 − 2) = 540°
2
正五角形は5つの内角の大きさが等しいので、5でわる。
540° ÷ 5 = 108°
🎯 テストのポイント
①n角形の内角の和は 180° × (n − 2) である
②外角の和はnに関係なく360°である。nが大きくなると大きくなると思いこみやすい
③正六角形の1つの内角は120°、正八角形の1つの内角は135°である
④弧の長さと面積は中心角に比例するので、比例式で解ける
⑤半径と弧の長さがあたえられたら S = (1/2)rl を使う
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立体の表面積と体積

最終更新

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