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単語帳
中学1年生 (12-13歳)

多角形と円

Polygon & Circle

多角形は何本かの線分で囲まれた図形で、その中には内角と外角という角度が隠れています。 ピザをn等分するように、一つの頂点から対角線を引くと多角形はいくつかの三角形に分かれ、内角の和が180°×(n−2)になる理由が自然に見えてきます。 外角の和は辺の数に関係なく常に360°で、円の一部である扇形は中心角の割合だけ弧の長さと面積を分け合います。 このページでは辺の数や中心角、半径をスライダーで変えながら、角度と扇形がどう変わるかを確かめてみましょう。

直感導入 — ピザをn等分すると?
5
🍕 ピザで理解しよう
①ピザをn等分すると一切れの中心角は360/n°
②多角形も同様 — 一頂点から対角線を引くと三角形ができる
③一三角形の内角の和は180°
④三角形が(n-2)個できるので全内角和は180×(n-2)°
内角と外角の関係
内角の和
内角の和 = 180° × (n - 2)
n角形は三角形(n-2)個に分割できる
正多角形の一内角
180° × (n-2)n
正多角形は全内角が等しいので和をnで割る
外角の和
外角の和 = 360°(すべての多角形)
一内角+一外角=180°なので外角の和は常に360°
💡 なぜ外角の和は常に360°か
①多角形の周りを一周歩くと想像
②各頂点で回る角度が外角
③一周で360°回るので外角の和は360°
円と扇形
120°
5
🔍 扇形は円の一部
①円全体 = 中心角360°の扇形
②中心角x°の扇形は円のx/360
③弧長も面積もx/360比
公式の導出
円周
l = 2πr
直径×π=円周。直径dならl=πd
円の面積
S = πr²
半径を二乗してπを掛ける
扇形の弧の長さ
l = 2πr × x360
円周のx/360
扇形の面積
S = πr² × x360 = 12rl
円面積のx/360。(1/2)×r×弧の長さでも求まる
💡 S = (1/2)rl の理由
①扇形を細い三角形に分割すると想像
②各三角形の底辺=弧の小片、高さ=r
③三角形の面積=(1/2)×底辺×高さ
④総和でS=(1/2)×r×l
実際に解いてみる
例題 1
六角形の内角の和を求めよ。
1
n 角形の内角の和は 180° × (n − 2)。n = 6。
180° × (6 − 2)
2
計算する。
= 180° × 4 = 720°
720°
多角形の内角の和は (n − 2) 個の三角形に分けて求める。
例題 2
半径 6、中心角 60° の扇形の面積を求めよ。(π はそのまま)
1
扇形の面積 = πr² × (中心角/360°)。
面積 = π × 6² × (60/360)
2
計算する。
= 36π × 1/6 = 6π
扇形は円の一部なので中心角の割合(中心角/360°)を掛ける。
試験ポイント整理
多角形・円・扇形 総まとめ
180(n-2), πr², 12rl
この3公式が核心
中1 校内試験 類型
正五角形の 1 つの内角の大きさは?
100°
108°
110°
120°
135°
② 108°
1
五角形の内角の和は 180° × (5 − 2) = 540°。
180° × (5 − 2) = 540°
2
正五角形は 5 つの内角が等しいので 5 で割る。
540° ÷ 5 = 108°
🎯 試験ポイント
①180(n-2)にnを代入して即答
②外角和360°はnと無関係
③正六角形120°、正八角形135°を暗記
④(1/2)rlは記述問題に頻出
⑤弧長・面積は中心角に比例
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