中1 数学›平面・立体図形と統計

多角形と円

Polygon & Circle

直感導入 — ピザをn等分すると？
5
🍕 ピザで理解しよう
①ピザをn等分すると一切れの中心角は360/n°
②多角形も同様 — 一頂点から対角線を引くと三角形ができる
③一三角形の内角の和は180°
④三角形が(n-2)個できるので全内角和は180×(n-2)°
内角と外角の関係
内角の和
内角の和 = 180° × (n - 2)
n角形は三角形(n-2)個に分割できる
正多角形の一内角
180° × (n-2)n
正多角形は全内角が等しいので和をnで割る
外角の和
外角の和 = 360°(すべての多角形)
一内角＋一外角=180°なので外角の和は常に360°
💡 なぜ外角の和は常に360°か
①多角形の周りを一周歩くと想像
②各頂点で回る角度が外角
③一周で360°回るので外角の和は360°
円と扇形
120°
5
🔍 扇形は円の一部
①円全体 = 中心角360°の扇形
②中心角x°の扇形は円のx/360
③弧長も面積もx/360比
公式の導出
円周
l = 2πr
直径×π=円周。直径dならl=πd
円の面積
S = πr²
半径を二乗してπを掛ける
扇形の弧の長さ
l = 2πr × x360
円周のx/360
扇形の面積
S = πr² × x360 = 12rl
円面積のx/360。(1/2)×r×弧の長さでも求まる
💡 S = (1/2)rl の理由
①扇形を細い三角形に分割すると想像
②各三角形の底辺＝弧の小片、高さ＝r
③三角形の面積=(1/2)×底辺×高さ
④総和でS=(1/2)×r×l
試験ポイント整理
多角形・円・扇形 総まとめ
180(n-2), πr², 12rl
この3公式が核心
🎯 試験ポイント
①180(n-2)にnを代入して即答
②外角和360°はnと無関係
③正六角形120°、正八角形135°を暗記
④(1/2)rlは記述問題に頻出
⑤弧長・面積は中心角に比例