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中学1年生 (12-13歳)

中1 作図と合同 わかりやすく

Construction & Congruence

作図とは、目もりのない定規とコンパスだけを使って図形をかくことです。定規で2点を結び、コンパスで円をかいたり長さをうつしたりします。 この2つの道具だけで、線分をちょうど半分に分け、その線分に垂直な直線、つまり垂直二等分線をかくことができます。 形も大きさも同じで、重ねるとぴったり合う2つの図形を合同といいます。三角形なら、3組の辺（SSS）、2組の辺とその間の角（SAS）、1組の辺とその両端の角（ASA）のどれか一つが等しければ合同です。 このページでは、垂直二等分線の作図を4つの段階でたどり、2辺とその間の角を変えながら、残りの辺までひとりでに決まるようすをたしかめます。

作図：定規とコンパスだけで

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👀 作図のきまり
①作図には、目もりのない定規とコンパスだけを使う
②定規は2点を結ぶ線分をひいたり、線分をのばしたりするのに使い、コンパスは円をかいたり、長さをはかってうつしたりするのに使う
③垂直二等分線をかくとき、2つの弧の半径は等しくし、ABの半分より大きくしないと弧どうしが交わらない
④2つの交点P、Qは、AからもBからも半径の長さだけはなれている(PA = PB)。だから直線PQはABの中点Mを通り、ABと垂直に交わる

2辺とその間の角が等しい2つの三角形

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🔍 合同とは
①形も大きさも同じで、重ねるとぴったり合う2つの図形は合同であるという
②重ねたときに重なる頂点・辺・角を、対応する頂点・辺・角という。図では、同じ印のついた辺どうし、印をつけた角どうしが対応している
③右の三角形は、左の三角形を裏返した形である。裏返しても重ねればぴったり合うので合同である
④スライダーで2辺とその間の角を決めると、残りの辺の長さと残り2つの角は、ほかに選びようがなく一つに決まる。これがSAS（2辺とその間の角）の意味である

三角形の合同条件

3組の辺（SSS）
3組の辺がそれぞれ等しい
a = a'、b = b'、c = c'
2辺とその間の角（SAS）
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
a = a'、b = b'、∠C = ∠C'
1辺とその両端の角（ASA）
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
c = c'、∠A = ∠A'、∠B = ∠B'
💡 合同条件を選ぶとき
①SSSは辺・辺・辺、SASは辺・角・辺、ASAは角・辺・角である
②SASの角は、かならず2辺の間の角でなければならない。2辺と、その間にない角（SSA）が等しくても、三角形が2通りかける場合があるので、合同とはいえない
③3つの角だけが等しい（AAA）と、形は同じでも大きさがちがうことがある。これは合同ではなく相似である
④2つの角が等しければ残りの角も等しいので、1辺と2角が等しいときは、その辺の両端の角が等しいといいかえてASAを使える

例題でたしかめる

例題 1
△ABC ≡ △DEFで、BC = 7のとき、辺EFの長さを求めなさい。
1
記号の順にA ↔ D、B ↔ E、C ↔ Fと対応させると、BCに対応する辺はEFである。
BC ↔ EF(対応する辺)
2
合同な図形では、対応する辺の長さは等しい。
EF = BC = 7
▸ EF = 7
対応する辺は、文字の見た目ではなく、合同の記号で書いた頂点の順から見つける。
例題 2
△ABC ≡ △DEFで、∠A = 50°、∠B = 60°のとき、∠Fの大きさを求めなさい。
1
三角形の3つの内角の和は180°なので、まず∠Cを求める。
∠C = 180° − 50° − 60° = 70°
2
3番目の頂点どうしであるCとFが対応するので、∠F = ∠Cである。
∠F = ∠C = 70°
▸ ∠F = 70°
∠Fは問題に直接出てこないが、対応する角を見つけて内角の和を使えば求められる。

テストのポイント

合同の記号
△ABC ≡ △DEF
対応する頂点を同じ順に書く。A ↔ D、B ↔ E、C ↔ F
中1定期テスト形式
次のうち、2つの三角形がいつでも合同になる条件はどれか。
①3組の角がそれぞれ等しい
②2組の辺がそれぞれ等しい
③3組の辺がそれぞれ等しい
④面積が等しい
⑤周の長さが等しい
▸ ③ 3組の辺がそれぞれ等しい
1
三角形の合同条件は、3組の辺・2辺とその間の角・1辺とその両端の角の3つである。
SSS、SAS、ASA
2
3組の辺がそれぞれ等しければ合同である。角だけが等しいと大きさがちがうことがあり（①）、2辺だけでは間の角が決まらず（②）、面積や周の長さが等しくても形はちがうことがある（④ ⑤）。
3組の辺が等しい ⇒ 合同
🎯 テストのポイント
①三角形の合同条件は、3組の辺・2辺とその間の角・1辺とその両端の角の3つである
②SASの角は間の角でなければならず、SSAやAAAは合同条件ではない
③合同な図形では、対応する辺の長さと対応する角の大きさがそれぞれ等しい
④合同の記号を使うときは、対応する頂点の順に書く
⑤作図の手順を書くときは、どこを中心に、どんな半径でかくかを順に書く
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多角形と円

最終更新

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