正比例と反比例

Proportional & Inverse Proportional

正比例は、一方が2倍3倍になるともう一方も同じように2倍3倍になる関係で、y = axと書きます。一定の速さで歩くとき、時間が延びれば距離も同じだけ延びるのが正比例のよい例です。反比例はy = a/xの形で、決まった距離を速く進むほど時間が短くなるように、一方が大きくなると他方が小さくなり、積xyは常に一定です。このページでは比例定数aをスライダーで変えながら、原点を通る直線と双曲線がどう変わるかを見ます。

正比例：y = ax

比例定数a2

👀 正比例とは

①xが2倍 → yも2倍、xが3倍 → yも3倍

②y = ax(a ≠ 0)の形

③グラフ：原点を通る直線

④a > 0なら右上、a < 0なら右下

反比例：y = a/x

比例定数a6

🔍 反比例とは

①xが2倍 → yは1/2倍

②y = a/x(a ≠ 0)の形

③グラフ：双曲線(軸に近づくが交わらない)

④xy = a(積が一定)

比例定数の意味

正比例の比例定数

a = yx

y/xの値が常に一定 = a

反比例の比例定数

a = xy

xyの値が常に一定 = a

💡 比例定数の求め方

①正比例：一点(x, y)から a = y/x

②反比例：一点(x, y)から a = xy

③比例定数の符号がグラフの位置を決める

実際に解いてみる

例題 1

y が x に比例し、x = 2 のとき y = 6 である。y を x の式で表せ。

比例は y = ax。x = 2, y = 6 を代入して a を求める。

6 = a × 2 ⇒ a = 3

a = 3 を式に入れる。

y = 3x

▸ y = 3x

比例 y = ax の a は 1 組の (x, y) で求める。

例題 2

y が x に反比例し、x = 3 のとき y = 4 である。x = 6 のときの y を求めよ。

反比例は y = a/x。a = xy = 3 × 4 = 12。

y = a/x, a = 3 × 4 = 12

x = 6 を代入する。

y = 12/6 = 2

▸ y = 2

反比例では積 xy が常に一定(= a)。

試験ポイント整理

正比例

y = ax → 原点を通る直線

|a|が大きいほど傾きが急(y軸に近い)

反比例

y = ax

a>0：1・3象限 / a<0：2・4象限

中1 校内試験類型

反比例 y = 12/x のグラフが点 (a, 3) を通るとき、a の値は?

①2

②3

③4

④6

⑤12

▸ ③ 4

点 (a, 3) を式に代入する。

3 = 12/a

a を求める。

a = 12/3 = 4

🎯 試験ポイント

①正比例と反比例：y/x一定 vs xy一定

②グラフから比例定数の符号判定

③正比例：|a|大きい→急

④反比例：軸に近づくが交わらない

⑤例：速さ・時間(反比例)、距離・時間(正比例)