seegongsik
中学1年生 (12-13歳)

中1 正比例と反比例 わかりやすく

Proportional & Inverse Proportional

比例とは、一方が2倍、3倍になると、もう一方も同じように2倍、3倍になる関係で、y = ax と書きます。 一定の速さで歩くと、歩いた時間が2倍になれば進んだ道のりも2倍になります。これが比例のよい例です。 反比例は y = a/x の形で、決まった道のりを進むとき速さを2倍にするとかかる時間が半分になるように、一方が大きくなるともう一方が小さくなり、2つの値の積 xy がいつも一定です。 このページでは、比例定数aを変えながら原点を通る直線と双曲線を見て、商 y ÷ x と積 x × y が一定かどうかを図でたしかめます。

比例 y = ax

2
👀 比例
①xが2倍、3倍、…になるとき、yも2倍、3倍、…になれば、yはxに比例する
②式は y = ax (a ≠ 0) の形で、0でないxについて y ÷ x の値はいつもaで等しい
③グラフは原点を通る直線である。図の3つの点はすべて一つの直線上にある
④a > 0 なら右上がり、a < 0 なら右下がりになる

反比例 y = a/x

6
🔍 反比例
①xが2倍、3倍、…になるとき、yが1/2倍、1/3倍、…になれば、yはxに反比例する
②式は y = a/x (a ≠ 0) の形で、x × y の値はいつもaで等しい。図の長方形の面積がどれも同じになるわけである
③グラフは、座標軸に限りなく近づくが交わらない1組のなめらかな曲線、つまり双曲線である
④a > 0 なら第1、第3象限に、a < 0 なら第2、第4象限にかかれる

比例定数の意味

比例の比例定数
a = yx
x ≠ 0 のとき、y ÷ x の値はいつもaである
反比例の比例定数
a = xy
x × y の値はいつもaである
💡 比例定数の求め方
①比例では、グラフ上の1点(x, y)がわかれば a = y ÷ x で求められる
②反比例では、1点(x, y)がわかれば a = x × y で求められる
③aの符号が、グラフが通る象限を決める
④比例では|a|が大きいほど、直線はy軸に近づいて急になる

例題でたしかめる

例題 1
yはxに比例し、x = 2 のとき y = 6 である。yをxの式で表しなさい。
1
比例は y = ax の形である。x = 2、y = 6 を代入してaを求める。
6 = a × 2 ⇒ a = 3
2
a = 3 を式に入れる。
y = 3x
▸ y = 3x
図でaを3にすると、x = 1、2、3 の点は(1, 3)、(2, 6)、(3, 9)にくるが、9は図の範囲の外なので、はじめの2点だけが見える。
例題 2
yはxに反比例し、x = 3 のとき y = 4 である。x = 6 のときのyの値を求めなさい。
1
反比例は y = a/x の形で、a = x × y = 3 × 4 = 12 である。
y = 12/x
2
x = 6 を代入する。
y = 12/6 = 2
▸ y = 2
xが3から6へ2倍になると、yは4から2へ半分になった。積は 3 × 4 = 6 × 2 = 12 で変わらない。

テストのポイント

比例
y = ax → 原点を通る直線
|a|が大きいほど、y軸に近い急な直線になる
反比例
y = ax
a > 0 なら第1、第3象限、a < 0 なら第2、第4象限
中1定期テスト形式
反比例 y = 12/x のグラフが点(a, 3)を通るとき、aの値は。
①2
②3
③4
④6
⑤12
▸ ③ 4
1
点(a, 3)を式に代入する。
3 = 12/a
2
aを求める。
a = 12 ÷ 3 = 4
🎯 テストのポイント
①比例と反比例は、y ÷ x が一定か、x × y が一定かで見分ける
②グラフが通る象限を見て、比例定数の符号を判断する
③比例では、aの絶対値が大きいほど直線が急になる
④反比例のグラフは、座標軸に限りなく近づくが交わらない
⑤速さが一定なら道のりと時間は比例、道のりが一定なら速さと時間は反比例である
← 前へ
座標平面とグラフ
次へ →
点・線・面・角

最終更新

このページがお役に立ったなら支援する