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中学1年生 (12-13歳)

中1 座標平面とグラフ わかりやすく

Coordinate Plane & Graphs

座標平面は、横のx軸とたてのy軸をひいて、平面上の点の位置を2つの数の組で表すしくみです。 地図で横に何番目、たてに何番目と言うように、点(3, 2)は原点から右へ3、上へ2進んだところです。 位置を数で書いておけば、その点がどの象限にあるか、軸や原点について対称な点がどこにあるかを、符号を見るだけで言えます。 このページでは、点Pを動かして象限と3つの対称な点をたしかめ、2点間の距離を直角三角形で求める方法も先取りして見ます。

位置を2つの数で表す座標

3
2
🗺️ 座標とは
①2本の数直線を原点Oで垂直に交わらせたものが座標平面である。横がx軸、たてがy軸である
②点の位置は（x座標, y座標）の順に書く。P(3, 2)は、原点から右へ3、上へ2進んだ点である
③x座標は右が+、左が−で、y座標は上が+、下が−である
④原点Oの座標は(0, 0)である。図の点線はPから2つの軸へ下ろした線で、これをたどると座標が読める

象限を見分ける

象限の見分け方
第1：(+, +) 第2：(−, +) 第3：(−, −) 第4：(+, −)
x座標とy座標の符号を見るだけで象限が決まる
🔍 象限のまとめ
①第1象限は右上で、x > 0、y > 0である
②第2象限は左上で、x < 0、y > 0である
③第3象限は左下で、x < 0、y < 0である
④第4象限は右下で、x > 0、y < 0である
⑤軸上の点はどの象限にもふくまれない。x軸上の点はy = 0、y軸上の点はx = 0である。図でPを軸の上に動かすと、下の文が「x軸上」や「y軸上」に変わる

軸や原点について対称な点

x軸について対称
(a, b) → (a, −b)
x軸で折り返したときに重なる位置。y座標の符号だけが変わる
y軸について対称
(a, b) → (−a, b)
y軸で折り返したときに重なる位置。x座標の符号だけが変わる
原点について対称
(a, b) → (−a, −b)
原点を中心に180°回した位置。2つの座標の符号がどちらも変わる
💡 対称な点をまちがえないために
①x軸について対称では、x軸が折り目になる。折り返してもx座標はそのままで、y座標だけ符号が変わる
②y軸について対称では、反対にx座標だけ符号が変わる
③原点について対称は、x軸とy軸について続けて対称にしたのと同じなので、2つの符号がどちらも変わる
④図の下の凡例に書かれた3つの対称な点の座標をPの座標とならべると、どの符号が変わったかがすぐわかる

2点間の距離（先取り）

4
-1
2点間の距離
d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
横の差とたての差を2辺とする直角三角形の斜辺である。三平方の定理はあとで学ぶ
🔍 なぜ直角三角形なのか
①Aから横に、Bからたてに線をひくと、2本の線は直角に交わり、直角三角形ができる
②横の辺の長さはx座標の差|x₂ − x₁|、たての辺の長さはy座標の差|y₂ − y₁|である
③2点間の距離はこの三角形の斜辺で、斜辺² = 横² + たて²（三平方の定理）で求める
④はじめの図のようにA(3, 2)、B(4, −1)なら、横1、たて3なので、距離は√10 ≈ 3.16である

例題でたしかめる

例題 1
点P(−3, 2)は第何象限の点か答えなさい。
1
x座標とy座標の符号をたしかめる。
x = −3 < 0、y = 2 > 0
2
符号が(−, +)の点は左上、つまり第2象限にある。
(−, +) ⇒ 第2象限
▸ 第2象限
図でPを(−3, 2)に動かすと左上の区画に入り、下の文も「第2象限」に変わる。
例題 2
点A(2, −5)とx軸について対称な点の座標を求めなさい。
1
x軸について対称な点は、y座標の符号だけが変わる。
(x, y) → (x, −y)
2
Aの座標を入れる。
(2, −5) → (2, 5)
▸ (2, 5)
同じ点のy軸について対称な点は(−2, −5)、原点について対称な点は(−2, 5)である。3つをならべると、ちがいがはっきりする。

テストのポイント

座標平面のかなめ
点P(a, b)：(x座標, y座標)の順
(2, 3)と(3, 2)はちがう点である
中1定期テスト形式
点(a, b)が第3象限の点のとき、点(−a, b)は第何象限の点か。
①第1象限
②第2象限
③第3象限
④第4象限
⑤x軸上
▸ ④ 第4象限
1
第3象限の点なので、a < 0、b < 0である。
a < 0、b < 0
2
−a > 0、b < 0なので、符号は(+, −)である。
(−a, b) = (+, −) ⇒ 第4象限
🎯 テストのポイント
①座標は(x, y)の順に書く
②x軸上の点はy = 0、y軸上の点はx = 0で、どの象限にもふくまれない
③象限は2つの座標の符号の組み合わせで見分ける
④対称な点を求めるときは、x軸・y軸・原点のどれについての対称かを先にたしかめる
⑤グラフの目もりは1目もりが1とはかぎらないので、まず軸の数字を読む
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一次方程式
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正比例と反比例

最終更新

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