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中学1年生 (12-13歳)

中1 整数と有理数の四則演算 わかりやすく

Integer & Rational Number Operations

正負の数のたし算・ひき算・かけ算・わり算は、どれも符号をどうあつかうかにまとめられます。 数直線上では、正の数をたすと右へ、負の数をたすと左へ進み、ひき算は、ひく数の符号を変えてたすのと同じです。 かけ算とわり算では、同じ符号どうしなら正、ちがう符号どうしなら負になり、負の数をいくつもかけるときは、その個数が偶数か奇数かで符号が決まります。 このページでは、2つの数を変えながら数直線上の矢印でたし算をたどり、積の符号がどう変わるかをたしかめます。

数直線上のたし算

3
-5
👀 数直線で見るたし算
①0から出発してaだけ進み、そこからさらにbだけ進んだところがa + bである
②正の数をたすと右へ、負の数をたすと左へ進む
③はじめの図の(+3) + (−5)は、右へ3進んでから左へ5もどり、−2で止まる
④a = 0なら青い矢印の長さは0になり、bだけ進む

たし算の符号のきまりとひき算

同じ符号の2数の和
絶対値の和に、共通の符号をつける
(+3) + (+5) = +8、(−3) + (−5) = −8
異なる符号の2数の和
絶対値の差に、絶対値の大きいほうの符号をつける
(+3) + (−5) = −2、(−3) + (+5) = +2
💡 ひき算はたし算になおす
①ひく数の符号を変えてたせば、ひき算はたし算になる。a − b = a + (−b)
②3 − (−5) = 3 + (+5) = 8である。負の数をひくと、かえって大きくなる
③数直線で−5をひくことは、左へ5進むことの反対、つまり右へ5進むことである
④たし算になおしておけば、交換法則や結合法則を使って計算の順序を楽なように変えられる

かけ算とわり算の符号

-3
-4
かけ算とわり算の符号
(+) × (+) = (+)、(−) × (−) = (+)、(+) × (−) = (−)
符号が同じなら正、ちがえば負。わり算も同じきまりにしたがう

例題でたしかめる

例題 1
(−7) + (+3) − (−5) を計算しなさい。
1
ひき算をたし算になおす。−(−5)は+(+5)になる。
(−7) + (+3) + (+5)
2
前から順にたす。
= (−4) + (+5) = +1
▸ 1
数直線で見ると、0から左へ7、右へ3、さらに右へ5進んで+1で止まる。
例題 2
(−2)³ × (−3) を計算しなさい。
1
累乗を先に計算する。負の数を3回かけるので、個数が奇数で負になる。
(−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8
2
負の数どうしの積は正である。
(−8) × (−3) = +24
▸ 24
かける負の数は、−2が3個と−3が1個で、あわせて4個。偶数個なので答えは正になる。

テストのポイント

たし算のかなめ
符号が同じなら絶対値の和、ちがえば絶対値の差
符号がちがうとき、答えの符号は絶対値の大きいほうにそろう
かけ算とわり算のかなめ
かける負の数が偶数個 → +、奇数個 → −
(−1)² = 1、(−1)³ = −1
中1定期テスト形式
−2² + (−3)² の値は。
①−13
②−5
③5
④13
⑤1
▸ ③ 5
1
−2²は2²に−をつけたものなので−4、(−3)²は(−3) × (−3) = 9である。
−2² = −4、(−3)² = 9
2
2つの値をたす。
−4 + 9 = 5
🎯 テストのポイント
①どんな数に0をかけても0である
②0でわることはできない
③分配法則 a × (b + c) = a × b + a × c を使うと、計算が楽になることがある
④(−2)² = 4だが、−2² = −(2²) = −4である。かっこがあるかどうかをかならずたしかめる
⑤わり算は、逆数のかけ算になおせる。a ÷ b = a × (1/b)（ただしb ≠ 0）
⑥有理数の四則計算も、整数と同じ符号のきまりにしたがう
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