seegongsik
高校2~高校3年生 (16-18歳)

数A 確率の意味と活用 わかりやすく

Meaning of Probability

サイコロを投げる前にはどの目が出るか分かりませんが、その起こりやすさは 1 つの数でぴったり表せます。 起こりやすさの程度を 0 から 1 までの数で書いたものが確率で、すべての結果が同じ程度に起こるときは、全体の場合の数のうち求める場合の数が占める割合で求めます。 事象を合わせたり重ねたり裏返したりするとき、確率がどう足されどう引かれるかも同じ考えから続いていきます。 事象 A の要素の数のスライダーを動かすと A を囲む枠と P(A) が一緒に大きくなり、ベン図のスライダーで和事象・積事象・余事象を切りかえると、それぞれの式が図の下に書かれます。

確率の直観

🎲 確率とは
①ある試行で 1 つの事象が起こる可能性の程度を数で表したものである
②すべての結果が同じ程度に起こるときは、全体の場合の数のうちその事象の場合の数が占める割合である
③0 ≤ P(A) ≤ 1 で、必ず起こる事象は 1、決して起こらない事象は 0 である

標本空間と事象

3
数学的確率
P(A) = n(A)n(S) = |A||S|
根元事象がどれも同じ程度に起こるとき

事象の演算

和事象
確率の加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
和事象の確率。A と B を足すと重なった部分が 2 回数えられるので、1 回引く
余事象の確率
P(Aᶜ) = 1 − P(A)
A が起こらない確率

排反事象と独立な事象

排反事象
A ∩ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
ともに起こることのない 2 つの事象。重なりがないので確率をそのまま足す
独立な事象
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
一方が起こるかどうかが、もう一方の確率を変えないとき
⚠️ 排反と独立は違う
①排反とは、ともに起こりえないことである（A ∩ B = ∅）
②独立とは、互いの確率に影響しないことである（P(A ∩ B) = P(A)P(B)）
③確率が 0 でない 2 つの事象が排反なら、一方が起こった瞬間にもう一方は起こりえないので、かえって独立ではない
④「少なくとも 1 つ」を問う問題は、余事象「1 つもない」を 1 から引いて解く

例題

例題 1
1 個のサイコロを投げるとき、3 の倍数の目が出る確率を求めよ。
1
全部で 6 通りのうち、3 の倍数は 3 と 6 の 2 通りである。
P = 2/6
2
約分する。
= 1/3
▸ 1/3
6 つの根元事象がどれも同じ程度に起こるので、場合の数の比で確率を求められる。
例題 2
1 から 10 までの自然数から 1 つ選ぶとき、2 の倍数または 3 の倍数である確率を求めよ。
1
2 の倍数 5 個と 3 の倍数 3 個を足すと、両方にあたる 6 の倍数 1 個が 2 回数えられる。
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
2
加法定理に代入して、重なった 1 個を引く。
= 5/10 + 3/10 − 1/10 = 7/10
▸ 7/10
5 + 3 = 8 と答えると 6 を 2 回数えたことになる。重なりを 1 回引いてはじめて 7 になる。

まとめ

確率の基本の式
P(A) = n(A)n(S), P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
数学的確率と確率の加法定理
高2 校内試験 類型
3 枚の硬貨を同時に投げるとき、少なくとも 1 枚が表になる確率は？
①1/2
②5/8
③3/4
④7/8
⑤1
▸ ④ 7/8
1
「少なくとも 1 枚」は、余事象「すべて裏」を使う。
P(少なくとも 1 枚表) = 1 − P(すべて裏)
2
すべて裏になる確率は (1/2)³ = 1/8 である。
= 1 − (1/2)³ = 1 − 1/8 = 7/8
🎯 試験のポイント
①P(A) = n(A)/n(S) は根元事象がどれも同じ程度に起こるときに使う
②加法定理 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) で、重なりを 1 回引く
③「少なくとも」の問題は余事象 P(Aᶜ) = 1 − P(A) で解く
④排反と独立を区別する
⑤独立なら P(A ∩ B) = P(A)P(B) である
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条件付き確率

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