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単語帳
高校2~高校3年生 (16-18歳)

確率の意味と活用

Meaning of Probability

サイコロを振る前はどの目が出るか分かりませんが、その起こりやすさは数値できちんと捉えられます。 確率は「起こりやすさ」を 0 と 1 の間の数で表したもので、すべての結果が同様に確からしいときは、全体に対する求める結果の割合で求まります。 複数の事象を合わせたり重ねたりしたときの確率の足し引きも、この同じ考え方から自然に導かれます。 スライダーで事象 A の要素数を増やして P(A) が大きくなる様子を見て、ベン図を和事象・積事象・余事象と切り替えて確かめてみましょう。

確率の直観
🎲 確率とは?
①ある実験で特定の結果が起こる可能性
②可能な全結果のうち、求める結果の割合
③0 ≤ P(A) ≤ 1。必ず起こる → 1、絶対起こらない → 0
標本空間と事象
3
数学的確率
P(A) = n(A)n(S) = |A||S|
根元事象が同様に確からしいとき(古典的確率)
事象の演算
0和事象
加法定理
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
和事象の確率(重なりを1度引く)
余事象の確率
P(Aᶜ) = 1 − P(A)
A が起こらない確率
排反事象と独立事象
排反事象
A ∩ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
同時に起こらない(積集合なし)
独立事象
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
一方が他方に影響しない
⚠️ 排反 ≠ 独立
①排反:同時に起こらない(A∩B = ∅)
②独立:互いに影響しない(P(A∩B) = P(A)P(B))
③排反は強い従属関係(一方が起これば他方は起こらない)
④混同に注意!
実際に解いてみる
例題 1
1 個のサイコロを投げるとき、3 の倍数の目が出る確率を求めよ。
1
数学的確率は(事象の場合の数)/(全体の場合の数)。3 の倍数は 3, 6 の 2 通り。
P = 2/6
2
約分する。
= 1/3
1/3
数学的確率 = 事象の場合の数 ÷ 全体の場合の数。
例題 2
1 から 10 までの自然数から 1 つ選ぶとき、2 の倍数または 3 の倍数である確率を求めよ。
1
加法定理で和事象の確率を求める。2 の倍数 5 個、3 の倍数 3 個、6 の倍数 1 個。
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
2
代入する。
= 5/10 + 3/10 − 1/10 = 7/10
7/10
和事象は加法定理で交わりを一度引く。
まとめ
確率の核心公式
P(A) = n(A)n(S), P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
古典的確率と加法定理
高2 校内試験 類型
3 枚の硬貨を同時に投げるとき、少なくとも 1 枚が表になる確率は?
1/2
5/8
3/4
7/8
1
④ 7/8
1
「少なくとも 1 つ」は余事象(すべて裏)を使う。
P(少なくとも 1 枚表) = 1 − P(すべて裏)
2
すべて裏の確率は (1/2)³。
= 1 − (1/2)³ = 1 − 1/8 = 7/8
🎯 試験ポイント
①P(A) = n(A)/n(S)
②加法定理:P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
③余事象:P(Aᶜ) = 1 − P(A)(少なくとも問題)
④排反 ≠ 独立
⑤独立:P(A∩B) = P(A)P(B)
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二項定理
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条件付き確率
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