条件付き確率

Conditional Probability

すでに何かが起こったと分かると、同じ事象でも確率は変わります。条件付き確率は、B が起こったという条件のもとで標本空間を B に狭めて A を見直すことで、そこから乗法定理やベイズの定理へ自然につながります。特にベイズの定理は結果から原因を逆向きにたどらせてくれて、有病率が低ければ陽性でも実際の確率は思ったより低いという逆転を説明します。 P(A)・P(B)・P(A∩B) のスライダーを動かして P(A|B) がどう変わるかを見て、有病率スライダーで陽性の本当の意味を確かめてみましょう。

条件が変える確率

🔍 条件付き確率とは?

①B が起こった条件下での A の確率

②標本空間が S から B に縮む

③B という「新しい眼鏡」で A を見る

P(A|B) 可視化

P(A)×104

P(B)×105

P(A∩B)×102

条件付き確率の定義

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

B が起こったときに A が起こる確率（P(B) > 0）

乗法定理

P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A)

両方起こる確率

ベイズの定理

有病率（%）1%

🏥 医療検査のパラドックス

①有病率 1% で陽性でも実際の病気確率は低いことがある

②陽性 → 本当に病気? — これがベイズ

③事前確率が低ければ事後確率も低い

ベイズの定理

P(A|B) = P(B|A) × P(A)P(B)

結果から原因の確率を逆推定

実際に解いてみる

例題 1

P(A) = 1/2, P(A∩B) = 1/3 のとき、条件付き確率 P(B|A) を求めよ。

条件付き確率の定義を書く。

P(B|A) = P(A∩B)/P(A)

代入する。

= (1/3)/(1/2) = 2/3

▸ 2/3

条件付き確率は A が起こったという条件での B の確率。

例題 2

あるクラス 30 名のうち眼鏡をかけた生徒が 18 名、そのうち男子が 12 名。眼鏡の生徒を 1 名選ぶとき男子である確率を求めよ。

標本空間を条件(眼鏡の 18 名)に狭める。

P(男|眼鏡) = (眼鏡の男子)/(眼鏡の生徒)

代入する。

= 12/18 = 2/3

▸ 2/3

条件付き確率は標本空間を条件に狭めて計算する。

まとめ

核心

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B), P(A|B) = P(B|A)P(A)P(B)

条件付き確率の定義とベイズ

教育庁学力評価類型

二つの事象 A, B について P(A) = 0.4, P(B|A) = 0.5 のとき、P(A∩B) の値は?

①0.1

②0.2

③0.3

④0.4

⑤0.5

▸ ② 0.2

確率の乗法定理を使う。

P(A∩B) = P(A) × P(B|A)

代入する。

= 0.4 × 0.5 = 0.2

🎯 試験ポイント

①条件付き：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

②乗法定理：P(A∩B) = P(B)·P(A|B)

③独立なら P(A|B) = P(A)

④ベイズ：結果→原因

⑤ツリー図で全確率を分解