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高校2~高校3年生 (16-18歳)

数A 条件付き確率 わかりやすく

Conditional Probability

ある出来事がすでに起きたと分かると、同じ事象でも確率が変わります。 条件付き確率 P(A|B) は、B が起きたという条件のもとで標本空間を B に絞り、その中で A が占める割合を測り直すもので、確率の乗法定理やベイズの定理もここから続きます。 ベイズの定理は結果から原因の確率を逆にたどる式なので、まれな病気なら検査で陽性が出ても、実際に病気である確率は思ったより低く出ます。 1 つ目の図では A・B・A∩B のマス数のスライダーで 10 マスの標本空間を分け、B だけを取り出して大きく見せます。2 つ目の図では有病率のスライダーを動かすと、陽性の人のうち本当の患者の割合が一緒に変わります。

条件が変える確率

🔍 条件付き確率とは
①事象 B が起きたという条件のもとで事象 A が起こる確率を P(A|B) と書く
②条件が分かると、標本空間が S 全体から B に縮む
③そのため分母は P(B) になり、分子には B の中にある A の部分 P(A ∩ B) がくる

標本空間を B に絞る

4
5
2
条件付き確率の定義
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)
B が起きたときに A が起こる確率（P(B) > 0）
確率の乗法定理
P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A)
2 つの事象がともに起こる確率は、一方の確率に条件付き確率を掛けて求める

ベイズの定理

1%
🏥 陽性でも確率が低い理由
①この検査は患者の 95% を陽性、健康な人の 90% を陰性と判定する
②有病率が 1% なら、1000 人のうち患者 10 人から陽性 9.5 人、健康な 990 人から誤った陽性 99 人が出る
③陽性 108.5 人のうち本当の患者は 9.5 人だけなので、P(D|+) は約 8.8% である
④このように事前確率（有病率）が低いと、陽性判定のあとの確率（事後確率）も低くなる
⑤分母 P(+) は 2 つの枝を足した全確率 P(+|D)P(D) + P(+|Dᶜ)P(Dᶜ) である
ベイズの定理
P(A|B) = P(B|A) × P(A)P(B)
結果 B から原因 A の確率を逆に求める

例題

例題 1
P(A) = 1/2、P(A∩B) = 1/3 のとき、条件付き確率 P(B|A) を求めよ。
1
条件が A なので、分母に P(A) をおく。
P(B|A) = P(A∩B)/P(A)
2
与えられた値を代入して計算する。
= (1/3)/(1/2) = 2/3
▸ 2/3
求めるのは P(B|A) なので条件は A である。分母を P(B) にすると誤りになる。
例題 2
30 人のクラスで眼鏡をかけた生徒が 18 人、そのうち男子が 12 人いる。眼鏡をかけた生徒を 1 人選ぶとき、男子である確率を求めよ。
1
条件は眼鏡をかけていることなので、標本空間をその 18 人に絞る。
P(男|眼鏡) = (眼鏡の男子)/(眼鏡の生徒)
2
18 人のうち男子 12 人が占める割合を求める。
= 12/18 = 2/3
▸ 2/3
クラス全体の 30 人はこの問題では使わない。条件が標本空間を 18 人に変えるからである。

まとめ

条件付き確率の要点
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B), P(A|B) = P(B|A)P(A)P(B)
条件付き確率の定義とベイズの定理
教育庁 学力評価 類題
2 つの事象 A、B について P(A) = 0.4、P(B|A) = 0.5 のとき、P(A∩B) の値は？
①0.1
②0.2
③0.3
④0.4
⑤0.5
▸ ② 0.2
1
2 つの事象がともに起こる確率なので、乗法定理を使う。
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
2
値を代入して掛ける。
= 0.4 × 0.5 = 0.2
🎯 試験のポイント
①P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) で、分母には条件になった事象がくる
②乗法定理 P(A ∩ B) = P(B) P(A|B) で 2 つの事象がともに起こる確率を求める
③A と B が独立なら P(A|B) = P(A) である
④P(A|B) と P(B|A) は一般に異なる
⑤樹形図では枝に沿って掛け、同じ結果に至る枝どうしは足す
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独立試行の確率

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