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高校2~高校3年生 (16-18歳)

数A 二項定理 わかりやすく

Binomial Theorem

(a + b)ⁿ を展開すると aⁿ、aⁿ⁻¹b、… の各項に係数がつきますが、この係数は n 個のかっこのうちどの r 個から b を選ぶかを数える組合せ C(n, r) です。 そのため係数を順に並べるとパスカルの三角形の n 段目になり、段の中の各数はすぐ上の 2 つの数の和になっています。 特定の項の係数がほしいときは全部を展開しなくてよく、一般項 C(n, r) aⁿ⁻ʳbʳ で指数が合う r を 1 つ見つければ済みます。 指数 n のスライダーを動かすと三角形の n 段目が明るくなり、その段の数が下の展開式の係数にそのまま移る様子が一緒に見えます。

係数は組合せから生まれる

4
👀 三角形と展開式
①(a + b)ⁿ は (a + b) を n 回掛けたものなので、かっこごとに a か b を 1 つ選んで掛けた項がすべて現れる
②b を r 個選ぶ方法は C(n, r) 通りなので、aⁿ⁻ʳbʳ の係数は C(n, r) である
③この係数を n = 0 から段ごとに並べたものがパスカルの三角形である
④図の 2 本の線のように各数はすぐ上の 2 数の和であり、これは C(n, r) = C(n − 1, r − 1) + C(n − 1, r) と同じことである

二項定理

二項定理
(a+b)n = ∑r=0n C(n,r) an-r br
C(n, r) は n 個のかっこから b を r 個選ぶ場合の数
一般項
Tr+1 = C(n,r) an-r br
r = 0, 1, …, n のときの (r + 1) 番目の項で、特定の項の係数を直接求めるときに使う

特定の項の係数を求める

🎯 まず指数を合わせる
①求める項の指数になるように、まず r を決める
②その r を一般項に入れて係数を計算する
③定数項は、文字の指数が 0 になる r を探す
④a や b の位置に 2x や −1 のような数のついた式があるときは、その数の累乗も係数に入る

例題

例題 1
(x + 2)⁴ の展開式における x² の係数を求めよ。
1
一般項は C(4, r) x⁴⁻ʳ 2ʳ である。x² になるには 4 − r = 2、つまり r = 2 である。
2
r = 2 を代入して係数を計算する。
C(4,2)·22 = 6·4 = 24
▸ 24
文字の指数を求める次数と等しくおいて先に r を決めれば、あとは計算だけである。
例題 2
(2x − 1)⁵ の展開式における x³ の係数を求めよ。
1
一般項は C(5, r) (2x)⁵⁻ʳ (−1)ʳ である。x³ になるには 5 − r = 3、つまり r = 2 である。
2
r = 2 を入れると、2 の三乗と −1 の二乗も一緒に掛かる。
C(5,2)·23·(−1)2 = 10·8·1 = 80
▸ 80
かっこ内の 2 と −1 の累乗を落とすと、答えを 10 と間違える。

まとめ

要点
(a+b)n = ∑ C(n,r) an-r br, 一般項 C(n,r) an-r br
係数は組合せ C(n, r) で、特定の項は一般項で r を合わせて求める
2021 韓国修能 数学 類題
(x + 1/x)⁶ の展開式における定数項を求めよ。
①6
②15
③20
④30
⑤45
▸ ③ 20
1
一般項は C(6, r) x⁶⁻ʳ (1/x)ʳ = C(6, r) x⁶⁻²ʳ である。
2
定数項は x の指数が 0 なので、6 − 2r = 0 から r = 3 である。
C(6,3) = 20
🎯 試験のポイント
①(a + b)ⁿ の係数は組合せ C(n, r) である
②特定の項は、一般項 C(n, r) aⁿ⁻ʳbʳ で指数を合わせて r を決める
③定数項は文字の指数が 0 になる r である
④かっこ内の定数の累乗と符号も係数に入れる
⑤パスカルの三角形は小さい n の係数をすばやく読む表である
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