二項定理

Binomial Theorem

(a+b)ⁿを展開すると、各項の係数はどこから来るのでしょうか。驚くことに、その係数はすべて組合せC(n, r)で、パスカルの三角形のn番目の行とぴったり同じです。だからaⁿ⁻ʳbʳの項の係数は一般項C(n, r)一つにまとまり、特定の項の係数も指数を合わせるだけですぐに見つかります。指数nのスライダーを動かして、パスカルの三角形のn番目の行が明るく点灯し、その行がそのまま展開式の係数になることを確かめましょう。

係数は組合せから出る

指数 n4

👀 目で見る

①(a+b)ⁿ を展開すると各項の係数が組合せ C(n,r) になる

②これらの係数を並べるとパスカルの三角形

③各数は真上の二数の和 — 組合せの性質と同じ

二項定理

(a+b)ⁿ = ∑_r=0ⁿ C(n,r) a^n-r b^r

C(n,r) は組合せ — n 個から b を r 回選ぶ場合の数

一般項

T_r+1 = C(n,r) a^n-r b^r

r=0,1,…,n の (r+1) 番目の項 — 特定の項を取り出すのに使う

特定の項の係数を求める

🎯 指数を合わせる

①欲しい文字の指数になるよう r を決める

②一般項にその r を入れて係数を計算

③定数項は文字の指数が 0 になる r を探す

直接求めてみる

例題 1

(x+2)⁴ の展開式で x² の係数を求めよ。

一般項は C(4,r) x^4-r 2^r。x² なら 4−r=2、すなわち r=2。

r=2 を入れて係数を計算する。

C(4,2)·2² = 6·4 = 24

▸ 24

「文字の指数 = 欲しい次数」で r を先に決めるのが核心。

例題 2

(2x−1)⁵ の展開式で x³ の係数を求めよ。

一般項は C(5,r) (2x)^5-r (−1)^r。x³ なら 5−r=3、すなわち r=2。

r=2 を入れる。

C(5,2)·2³·(−1)² = 10·8·1 = 80

▸ 80

係数の中の定数(2, −1)の累乗を落とさないこと。

まとめ

中心となる結果

(a+b)ⁿ = ∑ C(n,r) a^n-r b^r, 一般項 C(n,r) a^n-r b^r

係数は組合せ C(n,r) — 特定の項は一般項で r を合わせて計算

2021 修能数学類題

(x + 1/x)⁶ の展開式で定数項を求めよ。

①6

②15

③20

④30

⑤45

▸ ③ 20

一般項は C(6,r) x^6-r (1/x)^r = C(6,r) x^6-2r。

定数項は指数が 0、すなわち 6−2r=0 で r=3。

C(6,3) = 20

🎯 試験ポイント

①(a+b)ⁿ の係数は組合せ C(n,r)

②一般項 C(n,r)aⁿ⁻ʳbʳ で特定の項

③定数項は文字の指数が 0 の r

④係数中の定数の累乗に注意

⑤パスカルの三角形は係数の早見表