seegongsik
高校2~高校3年生 (16-18歳)

数A 確率分布 わかりやすく

Probability Distribution

サイコロを投げて出た目のように、試行の結果を数で表したものを確率変数といいます。 確率変数がとりうる値ごとにその確率を組にしたものが確率分布で、値に確率を掛けてすべて足した期待値は、棒が水平につり合う支点の位置です。 値が期待値からどれだけ散らばっているかは分散と標準偏差で測り、独立試行を n 回行ったときの成功回数は二項分布 B(n, p) にしたがいます。 サイコロの面の数のスライダーを動かすと支点と計算式が一緒に変わり、試行回数 n と成功確率 p を変えると二項分布の山が np のあたりへ移ります。

確率変数と確率分布

📊 確率分布とは
①確率変数とは、試行の結果ごとに 1 つの数を対応させたものである
②確率分布とは、確率変数がとりうる値とその値が出る確率を組にしたもので、表や式で表す
③すべての値の確率を足すと必ず 1 になる

期待値と分散

6
期待値（平均）
E(X) = Σ xi × P(X = xi)
値に確率を掛けてすべて足した値。棒グラフの重心である
分散
V(X) = E(X2) − {E(X)}2
期待値からの距離の 2 乗を確率で平均した値
標準偏差
σ(X) = √V(X)
分散の正の平方根。値と同じ単位で散らばり具合を表す

二項分布 B(n, p)

6
0.5
二項分布の確率
P(X = k) = nCk pk (1-p)n-k
n 回の独立試行で成功が k 回である確率。前の章と同じ式で、ここの k があちらの r にあたる
二項分布の平均と分散
E(X) = np, V(X) = np(1−p)
B(n, p) の期待値は np、分散は np(1 − p) である。n = 1 なら V = p(1 − p)

期待値と分散の性質

期待値の線形性
E(aX + b) = aE(X) + b
すべての値を a 倍して b を足すと、期待値も同じく a 倍して b を足したものになる
分散の性質
V(aX + b) = a²V(X)
すべての値に b を足しても一緒に移るだけで散らばりは変わらず、a 倍すると距離が a 倍になるので分散は a² 倍になる

例題

例題 1
確率変数 X の確率分布が P(X = 0) = 1/4、P(X = 1) = 1/2、P(X = 2) = 1/4 のとき、期待値 E(X) を求めよ。
1
各値にその確率を掛けてすべて足す。
E(X) = Σ x · P(X = x)
2
値を代入して計算する。
= 0·(1/4) + 1·(1/2) + 2·(1/4) = 1
▸ E(X) = 1
分布が 1 を中心に左右対称なので、計算する前から期待値が 1 だと分かる。
例題 2
上の確率変数 X について、分散 V(X) を求めよ。ただし E(X) = 1 とする。
1
V(X) = E(X²) − {E(X)}² なので、まず E(X²) を求める。
E(X²) = 0²·(1/4) + 1²·(1/2) + 2²·(1/4) = 3/2
2
求めた値を代入する。
V(X) = 3/2 − 1² = 1/2
▸ V(X) = 1/2
E(X²) は値を 2 乗してから確率を掛けて足したものである。{E(X)}² と混同しない。

まとめ

確率分布の要点
P(X=k) = nCk pk(1-p)n-k, E(X)=np
二項分布の確率と期待値
評価院 模試 数学（確率と統計） 類題
確率変数 X について E(X) = 3 のとき、E(2X + 1) の値は？
①5
②6
③7
④8
⑤9
▸ ③ 7
1
期待値の線形性を使う。
E(aX + b) = aE(X) + b
2
E(X) = 3 を代入する。
= 2·3 + 1 = 7
🎯 試験のポイント
①確率分布ではすべての確率の和は 1 である
②E(X) = Σ x P(X = x)、V(X) = E(X²) − {E(X)}² である
③B(n, p) の期待値は np、分散は np(1 − p) である
④E(aX + b) = aE(X) + b である
⑤V(aX + b) = a²V(X) で、b は分散に影響しない
← 前へ
独立試行の確率
次へ →
正規分布

最終更新

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