確率分布

Probability Distribution

サイコロを振って出る目のように、実験の結果を数に置き換えたものが確率変数です。各数字が出る確率を表にまとめると確率分布になり、この分布の重心こそが期待値です。散らばりの程度は分散と標準偏差で測り、独立試行を何度も行って成功回数を数えると二項分布B(n, p)が現れます。サイコロの面の数を動かして期待値(重心)がどこに来るかを見て、試行回数nと成功確率pを変えて棒グラフの山がどう移るかを確かめましょう。

確率変数と確率分布

📊 確率分布とは?

①確率変数：実験結果を数値に対応させたもの

②確率分布：各数値の確率を表または関数で整理

③表の確率の合計は常に 1

期待値と分散

サイコロの面の数6

期待値（平均）

E(X) = Σ x_i × P(X = x_i)

確率変数の平均値（重心）

分散

V(X) = E(X²) − {E(X)}²

広がりの2乗の平均

標準偏差

σ(X) = √V(X)

分散の正の平方根

二項分布 B(n, p)

試行回数 n6

成功確率 p × 105

二項分布の確率

P(X = k) = _nC_k p^k (1-p)^n-k

n 回独立試行で k 回成功する確率

二項分布の平均と分散

E(X) = np, V(X) = np(1−p)

B(n, p)

確率分布の性質

期待値の線形性

E(aX + b) = aE(X) + b

定数倍と加算がそのまま適用

分散の性質

V(aX + b) = a²V(X)

定数加算は分散に影響なし

実際に解いてみる

例題 1

確率変数 X の確率分布が P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/4 のとき、期待値 E(X) を求めよ。

期待値は各値に確率を掛けて足す。

E(X) = Σ x · P(X = x)

代入する。

= 0·(1/4) + 1·(1/2) + 2·(1/4) = 1

▸ E(X) = 1

期待値は各値を確率で重み付けした平均。

例題 2

同じ X について分散 V(X) を求めよ。(E(X) = 1)

V(X) = E(X²) − {E(X)}²。まず E(X²) を求める。

E(X²) = 0²·(1/4) + 1²·(1/2) + 2²·(1/4) = 3/2

代入する。

V(X) = 3/2 − 1² = 1/2

▸ V(X) = 1/2

分散は E(X²) から平均の 2 乗を引く。

まとめ

確率分布の核心

P(X=k) = _nC_k p^k(1-p)^n-k, E(X)=np

二項分布の確率公式と期待値

評価院模試数学(確率と統計) 類型

確率変数 X について E(X) = 3 のとき、E(2X + 1) の値は?

①5

②6

③7

④8

⑤9

▸ ③ 7

期待値の線形性を使う。

E(aX + b) = aE(X) + b

代入する。

= 2·3 + 1 = 7

🎯 試験ポイント

①確率表：確率の合計 = 1

②E(X) = Σx·P(x)、V(X) = E(X²) − {E(X)}²

③二項分布：B(n,p) → E = np、V = np(1−p)

④E(aX+b) = aE(X)+b

⑤V(aX+b) = a²V(X)