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高校2~高校3年生 (16-18歳)

数A 正規分布 わかりやすく

Normal Distribution

身長や体重のように自然の中でよく見るデータは、真ん中が盛り上がった釣鐘の形に積み上がります。この形を表す分布が正規分布です。 平均 μ は釣鐘の真ん中の位置を、標準偏差 σ は釣鐘の幅を決め、どの正規分布でも μ ± σ に約 68.3%、μ ± 2σ に約 95.4%、μ ± 3σ に約 99.7% が入ります。 平均や標準偏差が違う正規分布も、Z = (X − μ)/σ に変えると平均 0、標準偏差 1 の標準正規分布 1 つにまとまるので、表 1 枚で確率を読めます。 平均 μ のスライダーを動かすと釣鐘が左右に移り、σ のスライダーでは細く高くなったり平たく広がったりします。下の図で z を動かすと、0 から z までの面積がそのまま確率として読めます。

釣鐘形の曲線

🔔 正規分布とは
①身長・体重・測定誤差のように、小さな要因がたくさん足し合わさってできるデータがしたがう釣鐘形の分布である
②平均 μ を通る縦線について左右対称である
③曲線の下の面積は全体で 1 で、ある区間の面積がその区間に入る確率である
④面積がいつも 1 なので、σ が小さいと細く高く、大きいと広く低く広がる

N(μ, σ²) の曲線

50
10
正規分布の確率密度関数
f(x) = 1σ√(2π) exp(-(x-μ)²/(2σ²))
N(μ, σ²) の確率密度関数。曲線の形を決める式で、確率は標準化してから表で読む
📏 68・95・99.7 の規則
①μ ± σ の区間に全体の約 68.3% が入る
②μ ± 2σ の区間には約 95.4% が入る
③μ ± 3σ の区間には約 99.7% が入る
④白い矢印の先の点 μ + σ で曲線の曲がる向きが変わる。σ は真ん中から釣鐘の肩までの距離といえる

標準正規分布 Z

1.5
標準化
Z = X - μσ
N(μ, σ²) にしたがう X を N(0, 1) にしたがう Z に変える式
💡 標準化の意味
①Z は、X が平均から標準偏差いくつ分離れているかを表す
②どの正規分布も標準化すれば N(0, 1) 1 つにまとまる
③だから標準正規分布表 1 枚で、すべての正規分布の確率を計算できる
④P(a ≤ X ≤ b) = P((a − μ)/σ ≤ Z ≤ (b − μ)/σ) である
⑤図の 2 行目のように左右対称なので P(−z ≤ Z ≤ z) は P(0 ≤ Z ≤ z) の 2 倍で、z = 1 なら約 0.6826 となり 68.3% の規則と合う

二項分布と正規分布

二項分布の正規分布による近似
B(n, p) ≈ N(np, np(1−p)) （n が十分大きいとき）
n が十分大きいと、二項分布 B(n, p) は平均 np、分散 np(1 − p) の正規分布に近づく

例題

例題 1
確率変数 X が正規分布 N(50, 10²) にしたがうとき、X = 70 を標準化した Z の値を求めよ。
1
標準化の式を書く。
Z = (X − μ)/σ
2
μ = 50、σ = 10 を代入する。
Z = (70 − 50)/10 = 2
▸ Z = 2
Z = 2 は、70 が平均 50 より標準偏差 2 つ分大きいという意味である。
例題 2
確率変数 X が N(50, 10²) にしたがうとき、P(50 ≤ X ≤ 70) を求めよ。ただし P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0.4772 とする。
1
X = 50 は Z = 0 に、X = 70 は Z = 2 に変える。
P(50 ≤ X ≤ 70) = P(0 ≤ Z ≤ 2)
2
標準正規分布表から値を読む。
= 0.4772
▸ 0.4772
正規分布の確率は、標準化してから標準正規分布表の面積として読む。

まとめ

正規分布の要点
Z = X-μσ, X ∼ N(μ, σ2)
正規分布と標準化
評価院 模試 数学（確率と統計） 類題
確率変数 X が正規分布 N(60, 8²) にしたがうとき、P(X ≥ 60) の値は？
①0.1587
②0.3413
③0.5
④0.6587
⑤0.8413
▸ ③ 0.5
1
正規分布は平均 μ について左右対称である。
P(X ≥ μ) = 0.5
2
μ = 60 なので、P(X ≥ 60) は右半分の面積 0.5 である。
P(X ≥ 60) = 0.5
🎯 試験のポイント
①Z = (X − μ)/σ で標準化する
②標準正規分布表で P(0 ≤ Z ≤ z) を読む
③68・95・99.7 の規則を覚えておく
④a > 0 のとき、対称性を使って P(Z ≥ a) = 0.5 − P(0 ≤ Z ≤ a) と書き直す
⑤n が大きいときは二項分布を正規分布で近似する
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統計的推定

最終更新

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