正規分布

Normal Distribution

身長や体重のように自然界でとてもよくあるデータは、真ん中がふくらんだ釣鐘型に積み上がり、これが正規分布です。平均μは釣鐘の中心の位置を、標準偏差σは釣鐘の幅を決め、中心から±1σ・2σ・3σの中に約68・95・99.7%が入るという規則がいつも成り立ちます。異なる正規分布も標準化すれば、平均0・標準偏差1の標準正規分布Z一つにまとまり、比べられます。平均μと標準偏差σのスライダーで釣鐘が左右に動き、細くなったり広がったりする様子を見て、z値を動かして面積(確率)がどう変わるかを確かめましょう。

ベル型の曲線

🔔 正規分布とは?

①自然・社会現象の多くが従うベル型分布

②平均 μ を中心に左右対称

③σ が小さいと尖り、大きいと平ら

④全体面積 = 1（確率の合計）

N(μ, σ²) 曲線

平均 μ50

標準偏差 σ10

正規分布の確率密度関数

f(x) = 1σ√(2π) e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}

N(μ, σ²) の PDF

📏 68-95-99.7 法則

①μ ± 1σ：≈ 68.3%

②μ ± 2σ：≈ 95.4%

③μ ± 3σ：≈ 99.7%

④σ が大きいほど広がる

標準正規分布 Z

z 値 ×1015

標準化変換

Z = X - μσ

N(μ,σ²) → N(0,1)

💡 標準化の核心

①任意の正規分布も Z 変換で N(0,1) に統一

②標準正規分布表だけで全確率計算

③P(a ≤ X ≤ b) = P(z₁ ≤ Z ≤ z₂)

二項分布と正規分布

二項分布の正規近似

B(n, p) ≈ N(np, np(1−p)) （n が十分大きいとき）

n が大きいと二項分布は正規分布に近づく

実際に解いてみる

例題 1

確率変数 X が正規分布 N(50, 10²) に従うとき、X = 70 を標準化した Z 値を求めよ。

標準化の公式を書く。

Z = (X − m)/σ

m = 50, σ = 10 を代入する。

Z = (70 − 50)/10 = 2

▸ Z = 2

標準化は平均を引き標準偏差で割って N(0, 1) にする。

例題 2

確率変数 X が N(50, 10²) に従うとき、P(50 ≤ X ≤ 70) を求めよ。(ただし P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0.4772)

X = 50 は Z = 0、X = 70 は Z = 2 に標準化する。

P(50 ≤ X ≤ 70) = P(0 ≤ Z ≤ 2)

標準正規分布表の値を読む。

= 0.4772

▸ 0.4772

正規分布の確率は標準化してから標準正規分布表(面積)を読む。

まとめ

正規分布の核心

Z = X-μσ, X ∼ N(μ, σ²)

正規分布と標準化変換

評価院模試数学(確率と統計) 類型

確率変数 X が正規分布 N(60, 8²) に従うとき、P(X ≥ 60) の値は?

①0.1587

②0.3413

③0.5

④0.6587

⑤0.8413

▸ ③ 0.5

正規分布は平均 m に関して左右対称。

P(X ≥ m) = 0.5

m = 60 なのでそのまま 0.5。

P(X ≥ 60) = 0.5

🎯 試験ポイント

①Z = (X−μ)/σ で標準化

②標準正規分布表から P(0≤Z≤z) を読む

③68-95-99.7 法則

④P(Z≥a) = 0.5 − P(0≤Z≤a)

⑤二項分布 → n が大きいと正規近似