確率と統計›確率分布

正規分布

Normal Distribution

ベル型の曲線

🔔 正規分布とは?

①自然・社会現象の多くが従うベル型分布

②平均 μ を中心に左右対称

③σ が小さいと尖り、大きいと平ら

④全体面積 = 1（確率の合計）

N(μ, σ²) 曲線

平均 μ50

標準偏差 σ10

正規分布の確率密度関数

f(x) = 1σ√(2π) e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}

N(μ, σ²) の PDF

📏 68-95-99.7 法則

①μ ± 1σ：≈ 68.3%

②μ ± 2σ：≈ 95.4%

③μ ± 3σ：≈ 99.7%

④σ が大きいほど広がる

標準正規分布 Z

z 値 ×1015

標準化変換

Z = X - μσ

N(μ,σ²) → N(0,1)

💡 標準化の核心

①任意の正規分布も Z 変換で N(0,1) に統一

②標準正規分布表だけで全確率計算

③P(a ≤ X ≤ b) = P(z₁ ≤ Z ≤ z₂)

二項分布と正規分布

二項分布の正規近似

B(n, p) ≈ N(np, np(1−p)) （n が十分大きいとき）

n が大きいと二項分布は正規分布に近づく

まとめ

正規分布の核心

Z = X-μσ, \quad X \sim N(μ, σ²)

正規分布と標準化変換

🎯 試験ポイント

①Z = (X−μ)/σ で標準化

②標準正規分布表から P(0≤Z≤z) を読む

③68-95-99.7 法則

④P(Z≥a) = 0.5 − P(0≤Z≤a)

⑤二項分布 → n が大きいと正規近似