確率と統計›統計

統計的推定

Statistical Estimation

母集団と標本

🔬 統計的推定とは?

①母集団全体の調査が困難なとき

②標本を抜き出して母集団を推測

③核心：標本平均で母平均をどれだけ正確に当てられるか?

標本平均の分布

標本の大きさ n25

母標準偏差 σ10

標本平均の分布

X̄ \sim N(μ, σ²n)

母集団 N(μ,σ²) のとき X̄ の分布

💡 標本サイズの魔法

①n が大きいほど X̄ の分布は狭くなる

②標準誤差 = σ/√n、n を 4 倍にすると誤差は半分

③これが「大数の法則」の核心

信頼区間

標本の大きさ n36

信頼度 (%)95%

母平均の信頼区間

x̄ - z × σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z × σ√n

母標準偏差 σ が既知のときの信頼区間

📐 信頼度と z

①95%：z = 1.96

②99%：z = 2.576

③信頼度↑ → 区間が広い

④n↑ → 区間が狭い

信頼区間の意味

誤差の限界

E = z × σ√n

信頼区間の半幅

必要な標本サイズ

n ≥ (zσE)²

誤差を E 以下にするための最小 n

⚠️ よくある誤解

①「95% 信頼区間」≠「この区間に μ が入る確率 95%」

②正しい解釈：同じ方法で 100 回作れば約 95 回は μ を含む

③μ は固定、区間が確率的に変わる

まとめ

統計的推定の核心

x̄ - z σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z σ√n

σ 既知のときの μ の信頼区間

🎯 試験ポイント

①X̄ ~ N(μ, σ²/n)

②標準誤差：σ/√n

③95% → z=1.96、99% → z=2.576

④E = zσ/√n

⑤n を 4 倍にすると誤差は半分