統計的推定

Statistical Estimation

母集団全体を調べられないとき、一つの標本から母平均がありそうな範囲を推し量るのが統計的推定です。標本平均は母平均の近くをσ/√nの幅で揺れるので、その標本平均を中心に左右へ誤差の限界を付けて信頼区間を作ります。信頼度を95%に上げるとz値が大きくなり区間は広がり、標本を大きくすると区間は狭くなるという交換関係があります。標本サイズnと信頼度のスライダーを動かして区間が広がったり狭まったりする様子を見て、95%が「この区間に母平均がある確率」ではないことも押さえましょう。

母集団と標本

🔬 統計的推定とは?

①母集団全体の調査が困難なとき

②標本を抜き出して母集団を推測

③核心：標本平均で母平均をどれだけ正確に当てられるか?

標本平均の分布

標本の大きさ n25

母標準偏差 σ10

標本平均の分布

X̄ ∼ N(μ, σ²n)

母集団 N(μ,σ²) のとき X̄ の分布

💡 標本サイズの魔法

①n が大きいほど X̄ の分布は狭くなる

②標準誤差 = σ/√n、n を 4 倍にすると誤差は半分

③これが「大数の法則」の核心

信頼区間

標本の大きさ n36

信頼度 (%)95%

母平均の信頼区間

x̄ - z × σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z × σ√n

母標準偏差 σ が既知のときの信頼区間

📐 信頼度と z

①95%：z = 1.96

②99%：z = 2.576

③信頼度↑ → 区間が広い

④n↑ → 区間が狭い

信頼区間の意味

誤差の限界

E = z × σ√n

信頼区間の半幅

必要な標本サイズ

n ≥ (zσE)²

誤差を E 以下にするための最小 n

⚠️ よくある誤解

①「95% 信頼区間」≠「この区間に μ が入る確率 95%」

②正しい解釈：同じ方法で 100 回作れば約 95 回は μ を含む

③μ は固定、区間が確率的に変わる

実際に解いてみる

例題 1

母平均 m = 100、母標準偏差 σ = 20 の母集団から大きさ n = 25 の標本を取るとき、標本平均 X̄ の平均と標準偏差を求めよ。

標本平均の平均は母平均に等しく、標準偏差は σ/√n。

E(X̄) = m, σ(X̄) = σ/√n

代入する。

E(X̄) = 100, σ(X̄) = 20/√25 = 4

▸ E(X̄) = 100, σ(X̄) = 4

標本平均の標準偏差(標準誤差)は標本が大きいほど小さくなる。

例題 2

母標準偏差 σ = 10 の母集団から大きさ n = 25 の標本の標本平均が 50 だった。母平均 m の信頼度 95% の信頼区間を求めよ。(ただし P(|Z| ≤ 1.96) = 0.95)

信頼区間の公式に代入する(σ/√n = 10/5 = 2)。

X̄ − 1.96·σ/√n ≤ m ≤ X̄ + 1.96·σ/√n

1.96 × 2 = 3.92 を足し引きする。

50 − 3.92 ≤ m ≤ 50 + 3.92、すなわち 46.08 ≤ m ≤ 53.92

▸ 46.08 ≤ m ≤ 53.92

信頼区間 = 標本平均 ± (信頼係数 × 標準誤差)。

まとめ

統計的推定の核心

x̄ - z σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z σ√n

σ 既知のときの μ の信頼区間

修能数学(確率と統計) 類型

母標準偏差が σ の母集団から大きさ n = 64 の標本で信頼度 95% で推定した母平均の信頼区間の長さが 4.9 だった。σ を求めよ。(信頼係数は 1.96)

①8

②9

③10

④11

⑤12

▸ ③ 10

信頼区間の長さの公式を書く(√64 = 8)。

L = 2 × 1.96 × σ/√n

代入して σ を求める。

4.9 = 2 × 1.96 × σ/8 = 0.49σ ⇒ σ = 10

🎯 試験ポイント

①X̄ ~ N(μ, σ²/n)

②標準誤差：σ/√n

③95% → z=1.96、99% → z=2.576

④E = zσ/√n

⑤n を 4 倍にすると誤差は半分