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高校2~高校3年生 (16-18歳)

数A 統計的推定 わかりやすく

Statistical Estimation

母集団全体を調べられないとき、1 つの標本から得た値で母平均がありそうな範囲を見積もることを統計的推定といいます。 標本平均は母平均のまわりで標準偏差 σ/√n だけゆれるので、標本平均を真ん中に置いて両側に誤差の限界 z × σ/√n をつけ、信頼区間をつくります。 信頼度を上げると z が大きくなって区間は広がり、標本を大きくすると σ/√n が小さくなって区間は狭まるという、引きかえの関係があります。 標本の大きさと信頼度のスライダーを動かすと、同じ縮尺の上で区間が実際に広がったり狭まったりし、下には標本を 8 回取り直してつくった区間のうちいくつが母平均を含むかも示されます。

母集団と標本

🔬 統計的推定とは
①母集団全体を調べるのが難しいとき、一部を取り出した標本から母集団を推し量る
②標本から計算した標本平均で母平均を見積もる
③大事な問いは、標本平均が母平均にどれくらい近いか、その誤差をどれだけと見るかである

標本平均の分布

25
10
標本平均の分布
X̄ ∼ N(μ, σ2n)
母集団が N(μ, σ²) のとき、大きさ n の標本の平均 X̄ の分布
💡 標本の大きさの効果
①n が大きくなるほど X̄ の分布は狭まる
②その標準偏差 σ/√n を標準誤差といい、n を 4 倍にすると標準誤差は半分になる
③σ が大きいと、母集団の分布と標本平均の分布がそろって広がる
④大数の法則とは、n が大きくなるほど標本平均が母平均に近づくということである

信頼区間

36
95%
母平均の信頼区間
x̄ - z × σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z × σ√n
母標準偏差 σ が分かっているときの母平均 μ の信頼区間
📐 信頼度と z の値
①信頼度 90% なら z = 1.645 である
②信頼度 95% なら z = 1.96 である
③信頼度 99% なら z = 2.576 である
④信頼度を上げると区間は広がり、n を大きくすると区間は狭まる
⑤図の下の 8 つの区間では、信頼度を上げるほど μ を含むものが増える

信頼区間の意味

誤差の限界
E = z × σ√n
信頼区間の幅の半分
必要な標本の大きさ
n ≥ (zσE)2
誤差の限界を E 以下にするのに必要な最小の標本の大きさ
⚠️ よくある誤解を正す
①「信頼度 95% の信頼区間」は「この区間に μ がある確率が 95%」という意味ではない
②同じ方法で何度も区間をつくると、そのうち約 95% が μ を含むという意味である
③μ は決まった値で、標本によって変わるのは区間のほうである

例題

例題 1
母平均 μ = 100、母標準偏差 σ = 20 の母集団から大きさ n = 25 の標本を取るとき、標本平均 X̄ の平均と標準偏差を求めよ。
1
標本平均の平均は母平均に等しく、標準偏差は σ/√n である。
E(X̄) = μ, σ(X̄) = σ/√n
2
μ = 100、σ = 20、n = 25 を代入する。
E(X̄) = 100, σ(X̄) = 20/√25 = 4
▸ E(X̄) = 100、σ(X̄) = 4
標本平均の標準偏差（標準誤差）は、標本が大きいほど小さくなる。
例題 2
母標準偏差 σ = 10 の母集団から取った大きさ n = 25 の標本の標本平均が 50 だった。母平均 μ の信頼度 95% の信頼区間を求めよ。ただし P(|Z| ≤ 1.96) = 0.95 とする。
1
標準誤差は σ/√n = 10/5 = 2 である。
X̄ − 1.96·σ/√n ≤ μ ≤ X̄ + 1.96·σ/√n
2
誤差の限界 1.96 × 2 = 3.92 を標本平均から引き、また足す。
50 − 3.92 ≤ μ ≤ 50 + 3.92、すなわち 46.08 ≤ μ ≤ 53.92
▸ 46.08 ≤ μ ≤ 53.92
信頼区間は、標本平均 ±（信頼度に合う z × 標準誤差）である。

まとめ

統計的推定の要点
x̄ - z σ√n ≤ μ ≤ x̄ + z σ√n
母標準偏差 σ が分かっているときの母平均の信頼区間
韓国修能 数学（確率と統計） 類題
母標準偏差が σ の母集団から大きさ n = 64 の標本を取り、信頼度 95% で推定した母平均の信頼区間の長さが 4.9 だった。信頼係数を 1.96 として σ を求めよ。
①8
②9
③10
④11
⑤12
▸ ③ 10
1
信頼区間の長さは誤差の限界の 2 倍である（√64 = 8）。
L = 2 × 1.96 × σ/√n
2
値を代入して σ を求める。
4.9 = 2 × 1.96 × σ/8 = 0.49σ ⇒ σ = 10
🎯 試験のポイント
①X̄ は N(μ, σ²/n) にしたがう
②標準誤差は σ/√n である
③信頼度 95% は z = 1.96、99% は z = 2.576 である
④誤差の限界は E = zσ/√n である
⑤n を 4 倍にすると誤差の限界は半分になる
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標本平均の分布

最終更新

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