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高校2~高校3年生 (16-18歳)

数A 独立試行の確率 わかりやすく

Independent Trials

コインを何回か投げると表が出る回数は毎回違いますが、回数ごとの確率にははっきりした規則があります。 成功確率が p の同じ試行を、互いに影響しないように n 回くり返すことを独立試行といい、そのうち成功がちょうど r 回である確率は、成功の位置を選ぶ数 C(n, r) に成功の確率 pʳ と失敗の確率 (1 − p)ⁿ⁻ʳ を掛けた値です。 この確率を成功回数ごとに並べると、真ん中が盛り上がった二項分布の形が現れます。 成功回数 r のスライダーを動かすと、成功の位置の並べ方の一例と対応する棒が一緒に変わり、図の下には 3 つの部分を掛ける計算がそのまま書かれます。

同じ試行をくり返す

2
👀 図の読み方
①独立試行は、1 回の結果が次の結果に影響しない同じ試行をくり返すことである
②上の 6 つの丸が 6 回の試行で、塗った丸が成功である。成功 r 回が入る位置は C(6, r) 通りある
③並べ方 1 つの確率は (1/3)ʳ(2/3)⁶⁻ʳ なので、棒の高さは並べ方の数にこの値を掛けたものである
④成功回数ごとの棒を集めると二項分布の形になり、この図では r = 2 がいちばん高い

独立試行の確率の公式

独立試行の確率
P(X=r) = C(n,r) pr (1−p)n-r
n 回のうち成功が r 回である確率。C(n, r) は成功の位置を選ぶ場合の数で、次の章では同じ式を ₙCₖ で書く
3 つの部分の積
C(n,r) × pr × (1−p)n-r
①位置を選ぶ C(n, r) ②成功 r 回 pʳ ③失敗 n − r 回 (1 − p)ⁿ⁻ʳ

独立な事象とどこが違うか

🔁 くり返す回数が鍵
①独立な事象とは、2 つの事象がともに起こる確率が P(A ∩ B) = P(A)P(B) になる関係である
②独立試行は、同じ試行を n 回くり返したときの成功回数の確率を扱う
③問題にくり返しの回数 n と成功回数 r が出てきたら、独立試行の確率を使う

例題

例題 1
コインを 4 回投げるとき、表がちょうど 2 回出る確率を求めよ。
1
n = 4、p = 1/2、r = 2 を公式に代入する。
C(4,2) (1/2)2 (1/2)2
2
3 つの部分を掛ける。
= 6 × 116 = 38
▸ 3/8
p = 1/2 なら pʳ(1 − p)ⁿ⁻ʳ はいつも (1/2)ⁿ なので、結局 C(n, r) だけを比べればよい。
例題 2
サイコロを 3 回投げるとき、6 の目がちょうど 1 回出る確率を求めよ。
1
n = 3、p = 1/6、r = 1 である。
C(3,1) (1/6)1 (5/6)2
2
3 つの部分を掛ける。
= 3 × 16 × 2536 = 2572
▸ 25/72
6 以外の目が出る確率 5/6 の 2 乗を落とすと、1/2 と誤って計算してしまう。

まとめ

要点
P(X=r) = C(n,r) pr (1−p)n-r
n 回中 r 回成功する確率は、位置・成功・失敗の 3 つの部分の積である
2020 韓国修能 数学 類題
1 発の命中率が 1/3 の射撃を 5 回行うとき、ちょうど 2 回命中する確率は？
①40/243
②80/243
③10/243
④40/81
⑤8/81
▸ ② 80/243
1
n = 5、p = 1/3、r = 2 を公式に代入する。
C(5,2) (1/3)2 (2/3)3
2
3 つの部分を掛ける。
= 10 × 19 × 827 = 80243
🎯 試験ポイント
①P(X = r) = C(n, r) pʳ(1 − p)ⁿ⁻ʳ
②C(n, r) は成功が入る位置を選ぶ数である
③失敗の確率 (1 − p) の累乗を落とさない
④「ちょうど r 回」と「少なくとも r 回」を区別し、「少なくとも」は余事象で計算すると早いことが多い
⑤2 つの事象の積 P(A)P(B) を扱う独立な事象と、くり返しを扱う独立試行を区別する
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条件付き確率
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確率分布

最終更新

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