高校2~高校3年生 (16-18歳)

独立試行の確率

Independent Trials

同じ試行を繰り返す

成功回数 r2

👀 目で見る

①独立試行は同じ試行を毎回独立に繰り返すこと

②n 回中 r 回成功の確率は棒一本の高さ

③成功回数ごとの確率を集めると二項分布の形になる

独立試行の確率の公式

独立試行の確率

P(X=r) = C(n,r) p^r (1−p)^n-r

n 回中 r 回成功 — C(n,r) は成功の位置を選ぶ場合の数

三つの積

C(n,r) × p^r × (1−p)^n-r

①位置選択 C(n,r) ②r 回成功 pʳ ③(n−r) 回失敗 (1−p)ⁿ⁻ʳ

独立事象と何が違うか

🔁 繰り返し回数が核心

①独立事象は二つの事象の同時発生 P(A∩B)=P(A)P(B)

②独立試行は同じ試行を n 回繰り返した結果の分布

③繰り返し回数 n と成功回数 r が出れば独立試行

直接求めてみる

例題 1

コインを 4 回投げて表がちょうど 2 回出る確率を求めよ。

1

n=4, p=1/2, r=2 を公式に入れる。

C(4,2) (1/2)² (1/2)²

2

計算する。

= 6 × 116 = 38

▸ 3/8

p=1/2 なら (1/2)ⁿ が共通なので係数 C(n,r) だけ見ればよい。

例題 2

サイコロを 3 回投げて 6 の目がちょうど 1 回出る確率を求めよ。

1

n=3, p=1/6, r=1。

C(3,1) (1/6)¹ (5/6)²

2

計算する。

= 3 × 16 × 2536 = 2572

▸ 25/72

失敗確率 (1−p)=5/6 の累乗を落とさないこと。

まとめ

中心となる結果

P(X=r) = C(n,r) p^r (1−p)^n-r

n 回中 r 回成功 — 位置·成功·失敗の三つの積

2020 修能数学類題

一発の命中率が 1/3 の射撃を 5 回行うとき、ちょうど 2 回命中する確率は?

①40/243

②80/243

③10/243

④40/81

⑤8/81

▸ ② 80/243

1

n=5, p=1/3, r=2 を公式に入れる。

C(5,2) (1/3)² (2/3)³

2

計算する。

= 10 × 19 × 827 = 80243

🎯 試験ポイント

①P(X=r)=C(n,r)pʳ(1−p)ⁿ⁻ʳ

②C(n,r) は成功の位置選択

③失敗確率 (1−p) の累乗が必須

④「ちょうど r 回」と「少なくとも r 回」(余事象)を区別

⑤独立事象 P(A)P(B) と独立試行(繰り返し)を区別

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