seegongsik
高校2~高校3年生 (16-18歳)

数A 組合せ わかりやすく

Combination

組合せは、並べる順序を考えずに何を選んだかだけを見る選び方です。 順列は A、B、C を選んだあと並べる順序まで数えるので、同じ 3 つが 3! = 6 回も別の場合として数えられます。だから順列の数を r! で割ると組合せの数になります。 この値を段ごとに積むと、上の 2 数の和が下の数になるパスカルの三角形ができ、左右対称な形から ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ もすぐに読み取れます。 全体の個数 n と選ぶ個数 r のスライダーを動かすと、選んだ玉のいくつもの順序が 1 つの組合せにまとまる様子とその個数が見え、段数のスライダーでは三角形を下へ伸ばせます。

順序のない選び方

🧩 組合せとは
①異なる n 個から順序を考えずに r 個を選ぶことを組合せといい、その数を ₙCᵣ と書く
②A、B、C を選んでも C、A、B を選んでも同じ組合せである
③代表 2 人を選ぶのは組合せで、会長と副会長を選ぶのは役目が違うので順列である

順列から組合せへ

5
3
組合せの数
nCr = n!r!(n-r)! = nPrr!
n 個から順序を考えずに r 個を選ぶ場合の数
💡 なぜ r! で割るのか
①順列 ₙPᵣ は、選んだあと並べるところまで数える
②選んだ r 個の並べ方は r! 通りなので、1 つの組合せが順列では r! 回数えられる
③したがって ₙPᵣ = ₙCᵣ × r! で、ₙCᵣ = ₙPᵣ ÷ r! である
④図では、選んだ玉の順序の一覧がすべてかっこの中の 1 つのまとまりに集まる

パスカルの三角形

6
パスカルの三角形の性質
nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr
上の段で隣り合う 2 数の和が、その間の下の数になる

組合せの性質

対称性
nCr = nCn-r
r 個を選ぶことは、残す n − r 個を選ぶことと同じ
組合せの和
nC0 + nC1 + ··· + nCn = 2n
要素が n 個の集合の部分集合の個数。要素ごとに入れるか入れないかの 2 通りなので 2ⁿ になる

例題

例題 1
異なる 6 個から 2 個を選ぶ場合の数 ₆C₂ を求めよ。
1
₆P₂ を 2! で割る。
₆C₂ = (6 × 5)/(2 × 1)
2
分子と分母を計算する。
= 30/2 = 15
▸ 15
6 × 5 = 30 は順序まで数えた数で、2 個の並べ方 2 通りで割ると順序を消した 15 になる。
例題 2
男子 4 人と女子 3 人から 3 人を選ぶとき、女子がちょうど 1 人含まれる選び方は何通りか。
1
女子 1 人は ₃C₁ 通り、男子 2 人は ₄C₂ 通りで選び、2 つの選び方が同時に起こるので掛ける。
₃C₁ × ₄C₂
2
それぞれの組合せの数を計算して掛ける。
= 3 × 6 = 18
▸ 18
条件があるときは、グループごとに分けて選んでから積の法則で掛ける。

まとめ

組合せの数
nCr = n!r!(n-r)!
順序を考えずに r 個を選ぶ場合の数
高2 校内試験 類型
8 人から代表 2 人を選ぶ方法は何通りか。
①16
②21
③28
④36
⑤56
▸ ③ 28
1
順序を区別せずに 2 人を選ぶので ₈C₂ である。
₈C₂ = (8 × 7)/(2 × 1)
2
分子と分母を計算する。
= 56/2 = 28
🎯 試験のポイント
①順列と組合せを分けるのは、順序が結果を変えるかどうかである
②ₙCᵣ = ₙPᵣ ÷ r! である
③パスカルの三角形では、上の段の 2 数の和が下の数になる
④ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ なので、r が n の半分より大きいときは n − r に置き換えると計算が楽になる
⑤ₙC₀ から ₙCₙ まですべて足すと 2ⁿ になる
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順列
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二項定理

最終更新

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