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単語帳
高校2~高校3年生 (16-18歳)

組合せ

Combination

組合せは、順序を気にせずただ選ぶだけの選び方です。 順列では1位・2位・3位を区別しましたが、組合せは「誰が選ばれたか」だけを見るので、順序で重なるr!通りを割ってnCr = nPr / r!になります。 この値を三角形に積むと、上の二つを足すと下になるパスカルの三角形が現れ、左右対称(nCr = nC(n-r))も一目で分かります。 全体の個数nと選ぶ個数rのスライダーで、選んだものが順序なく一つにまとまる様子を見て、行数スライダーで三角形を広げて規則を確かめましょう。

順序なし選択
🧩 組合せとは?
①n 個から r 個を順序を問わずに選ぶ
②(A, B, C) も (C, A, B) も同じ組合せ
③順列を r! で割れば組合せ
nCr の可視化
5
3
組合せ公式
nCr = n!r!(n-r)! = nPrr!
n 個から r 個を順序なしで選ぶ場合の数
💡 順列 → 組合せ
①順列 (nPr) = 選ぶ + 並べる
②組合せ (nCr) = 選ぶだけ
③nPr = nCr × r! → nCr = nPr ÷ r!
④順列の重複を除けば組合せ
パスカルの三角形
6
パスカルの性質
nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr
上の2数の和 = 下の中央
組合せの性質
対称性
nCr = nCn-r
r 個選ぶ = (n−r) 個残す
組合せの和
nC0 + nC1 + ··· + nCn = 2n
n 個元の全部分集合の数
実際に解いてみる
例題 1
異なる 6 個から 2 個を選ぶ場合の数 ₆C₂ を求めよ。
1
組合せは順列を選ぶ個数の階乗で割る。
₆C₂ = (6 × 5)/(2 × 1)
2
計算する。
= 30/2 = 15
15
組合せは順序を区別しないので順列を r! で割る。
例題 2
男子 4 名と女子 3 名から 3 名を選ぶとき、女子がちょうど 1 名含まれる場合の数を求めよ。
1
女子 1 名を ₃C₁、男子 2 名を ₄C₂ で選んで掛ける。
₃C₁ × ₄C₂
2
計算する。
= 3 × 6 = 18
18
条件があればグループごとに選び、積の法則で掛ける。
まとめ
核心公式
nCr = n!r!(n-r)!
順序なしで r 個選ぶ
高2 校内試験 類型
8 名から代表 2 名を選ぶ場合の数は?
16
21
28
36
56
③ 28
1
順序を区別せず 2 名を選ぶので ₈C₂。
₈C₂ = (8 × 7)/(2 × 1)
2
計算する。
= 56/2 = 28
🎯 試験ポイント
①順列 vs 組合せ:順序の有無
②nCr = nPr ÷ r!
③パスカル:上2数の和
④対称:nCr = nC(n−r)
⑤すべての nCk の合計 = 2^n
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順列
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二項定理
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