Permutation
順列は、順序まで区別する選び方です。 同じ3人を選んでも、1位・2位・3位のどの位置に置くかが変われば別の場合として数えるのがポイントです。 最初の席はn通り、次はひとつ減った(n-1)通りと選択肢が一つずつ減っていき、これをr回かけるとnPrになります。 上のスライダーでnとrを動かすと席ごとに選択肢が減り nPr の値が見え、円卓スライダーでは回転すると同じになる円順列が見えます。
同じ人を選んでも、席を付けると場合の数が増えます。 順列はその席の順まで区別して数える名前で、記号 nPr は n 個から r 席を前から埋めるとき残りの個数を掛けた値です。 最初の席は n、次は n − 1 と r 席目まで減る積が、公式 n! / (n − r)! と同じです。 円卓では全体を回しても同じ座り方になるので、n 通りの回転を一つと見て (n − 1)! になります。 全員を一列に並べると r = n なので n! で、同じものが混ざっていれば全体をその繰り返しの階乗で割ります。 0! = 1 なのも、これらの公式が空の積を 1 と置くからです。
上の図には全体 n 個の球が番号付きで置いてあり、前から r 個だけ色が付いています。 下には r 個の枠が1番目から並び、枠ごとに残りの選び方 n, n − 1, … が書いてあります。 点線は上の球と下の枠をつなぎ、一番下には nPr をその積で展開した式があります。 n は 2 から 8、r は 1 から n までで、最初の値は n = 5, r = 3 です。 円卓の図には選んだ人数ぶんの色球が円の上にあり、一番上の席のそばに「固定」と書いてあります。 下の式は (n − 1)! の値を示し、円卓の人数は 3 から 7 まで、最初の値は 4 です。
円卓に n 人を座らせるのを一列の n! と同じに書くと、一周回した座り方を別の場合として二重に数えます。 回転して同じに見える席を一つにまとめるには、一人を固定して残りだけを並べ、その値が (n − 1)! です。 列に並ぶ問題で、順だけ違う組を一つと見る記号を使うと、前後が入れ替わった列を除いてしまって値が小さくなります。 隣同士でなければならない二人は、まず一塊と見てから、塊の中の前後も積に入れます。 同じものがある並べ方で分母を落とすと、区別できない席を別の場合として数えることになります。