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単語帳
高校2~高校3年生 (16-18歳)

順列

Permutation

順列は、順序まで区別する選び方です。 同じ3人を選んでも、1位・2位・3位のどの位置に置くかが変われば別の場合として数えるのがポイントです。 最初の席はn通り、次はひとつ減った(n-1)通りと選択肢が一つずつ減っていき、これをr回かけるとnPrになります。 上のスライダーでnとrを動かして席ごとに選択肢が減る様子とnPrの値を確かめ、円卓スライダーでは回転すると同じになる円順列も見てみましょう。

順序ありの選択
🎯 順列とは?
①n 個の異なるものから r 個を選んで「順序通り」に並べる場合の数
②1 位、2 位、3 位を選ぶように、誰をどこに置くかが重要
③同じ 3 人を選んでも並べる順序が違えば別ケース
nPr の可視化
5
3
💡 積の法則
①1 番目:n 通り
②2 番目:(n−1) 通り
③r 番目まで順次減少
④結果:n × (n−1) × … × (n−r+1)
順列公式
nPr = n!(n-r)!
n 個から r 個を順序ありで選ぶ場合の数
特殊な順列
n 個全てを並べる
nPn = n!
n 個全てを並べる場合の数
同じものを含む順列
n!p! q! r!
n 個中、同じものが p, q, r 個ずつ
円順列
4
🔄 円順列の核心
①回転すれば同じ並び
②1 人固定して残りを並べる
③n 人の円順列 = (n−1)!
円順列公式
(n−1)!
n 個を円形に並べる場合の数
実際に解いてみる
例題 1
異なる 5 個から 2 個を選んで一列に並べる場合の数 ₅P₂ を求めよ。
1
順列は大きい数から 1 ずつ減らし、選ぶ個数だけ掛ける。
₅P₂ = 5 × 4
2
計算する。
= 20
20
順列は順序を区別して並べる場合の数。
例題 2
5 人を一列に並べるとき、特定の 2 人が隣り合う場合の数を求めよ。
1
隣り合う 2 人を 1 つの塊と見ると 4 個を並べる(4!)。
塊の並べ方 4! × 内部の順序 2!
2
計算する。
= 24 × 2 = 48
48
隣接条件は塊にして並べ、内部の順序を掛ける。
まとめ
順列の核心公式
nPr = n!(n-r)! = n(n-1)(n-2)···(n-r+1)
順序が重要な選択の場合の数
教育庁 学力評価 類型
5 個の数字 1, 2, 3, 4, 5 から異なる 3 個を選んで作れる 3 桁の自然数の個数は?
10
20
30
60
120
④ 60
1
異なる 5 個から 3 個を選んで並べるので ₅P₃。
₅P₃ = 5 × 4 × 3
2
計算する。
= 60
🎯 試験ポイント
①順列:順序あり/組合せ:順序なし
②_nP_n = n!
③円順列 = (n−1)!
④同じものを含む順列:全体! ÷ 重複!
⑤0! = 1 を忘れずに
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組合せ
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