順列は、選んだものをどの順に並べるかまで区別する選び方です。
同じ 3 人を選んでも、1 位・2 位・3 位に誰が立つかが変われば別の場合として数えます。
だから最初の席は n 通り、次の席は 1 つ減って n − 1 通りが残り、こうして r 席目まで掛けた値が ₙPᵣ になります。
上の n、r のスライダーを動かすと、席ごとに残る選択の数とその積がすぐに見え、円卓のスライダーでは回すと同じになる円順列の数を数えられます。
順序のある選び方
同じ人たちを選んでも、席に順位をつけると場合の数は増える。順列はその席の順序まで区別して数えた数で、ₙPᵣ は n 個のうち r 個の席を前から埋めるとき、席ごとに残る個数を掛けた値である。最初の席は n、次は n − 1 と 1 つずつ減り、r 番目の席まで続く積は n! ÷ (n − r)! に等しい。全員を一列に並べる場合は r = n なので n! で、同じものが混じっていれば区別できない入れ替えの分だけ割る必要がある。円卓では全員が 1 席ずつずれても同じ座り方なので、n 通りの回転を 1 つとみて (n − 1)! になる。0! = 1 と決めるのも、r = n のときにこの公式がそのまま成り立つようにするための約束である。
🎯 順列とは
①異なる n 個から r 個を選び、順序を決めて並べる場合の数を ₙPᵣ と書く
②1 位・2 位・3 位を選ぶときのように、誰がどの席に立つかで結果が変わる
③同じ 3 人でも、並ぶ順序が違えば別の場合である
④順序を考えない組合せは次の章で扱う
席ごとに数える
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n 個から r 個を選んで 1 番目の席から埋めるとき、席ごとに残る選択の数上には番号のついた玉が n 個置かれ、前の r 個だけに色がついている。下には 1 番目から r 番目までの席が並び、席ごとにその席で選べる残りの個数 n、n − 1、… が書かれている。点線は上の玉と下の席を結び、いちばん下の行には ₙPᵣ をその積に分けて書いた式がある。n は 2 から 8、r は 1 から n まで動き、最初の値は n = 5、r = 3 である。円卓の図には人数分の色玉が輪になって座り、席を固定した 1 番の玉に「固定」の印がつく。図の下には一列に並べた数 n! を回転の数 n で割って (n − 1)! になる計算が書かれ、円卓の人数は 3 から 7 まで、最初の値は 4 である。
💡 積の法則
①1 番目の席には n 通り選べる
②2 番目の席では 1 つがすでに使われているので n − 1 通りが残る
③こうして席ごとに 1 つずつ減り、r 番目の席には n − r + 1 通りが残る
④すべて掛けると n × (n − 1) × … × (n − r + 1) になる
順列の数
nPr = n!(n-r)!
n 個から r 個を選び、順に並べる場合の数
特別な順列
円卓に n 人を座らせる数を一列の n! とすると、1 席ずつ回した同じ座り方を n 回ずつ別の場合として数えてしまう。回転で重なる座り方を 1 つにまとめるには、1 人を固定して残りの n − 1 人だけを並べる必要があり、その値が (n − 1)! である。列に並べる問題に順序を消す組合せを使うと、前後が入れ替わった列が抜けて値が小さく出る。隣り合うべき 2 人は、まず 1 つのかたまりにまとめて並べ、かたまりの中で 2 人が入れ替わる 2! まで掛ける。同じものを含む並べ方で分母を落とすと、区別できない入れ替えを別の場合として数えてしまう。
n 個をすべて並べる
nPn = n!
n 個をすべて一列に並べる場合の数
同じものを含む順列
n!p! q! r!
n 個のうち同じものがそれぞれ p、q、r 個ずつあるとき。同じものどうしを入れ替えても変わらないので、その数で割る
円順列
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円卓に n 人が座る円順列と、一列の数を回転の数で割る計算🔄 円順列の要点
①円形に座ると、全員が 1 席ずつずれても同じ座り方である
②そこで 1 人の席を固定し、残りだけを並べる
③n 人の円順列の数は (n − 1)! である
④一列に並べた n! 通りが回転で n 通りずつ重なるので、n! ÷ n = (n − 1)! と考えてもよい
円順列の数
(n−1)!
n 個を円形に並べる場合の数
例題
例題 1
異なる 5 個から 2 個を選んで一列に並べる場合の数 ₅P₂ を求めよ。
11 番目の席の 5 通りと 2 番目の席の 4 通りを掛ける。
₅P₂ = 5 × 4
▸ 20
₅P₂ = 20 は ₅C₂ = 10 の 2 倍である。選んだ 2 個の並べ方が 2! = 2 通りあるからである。
例題 2
5 人を一列に並べるとき、特定の 2 人が隣り合う並べ方は何通りか。
1隣り合う 2 人を 1 つのかたまりにまとめると、4 つを一列に並べる 4! 通りになる。
塊の並べ方 4! × 内部の順序 2!
2かたまりの中で 2 人が入れ替わる 2! を掛ける。
= 24 × 2 = 48
▸ 48
隣り合う条件は、まとめて並べてから、かたまりの中の順序を掛ける。
まとめ
順列の数
nPr = n!(n-r)! = n(n-1)(n-2)···(n-r+1)
順序が結果を変える選び方の場合の数
教育庁 学力評価 類題
5 つの数字 1、2、3、4、5 から異なる 3 つを選んで作れる 3 桁の自然数の個数は？
▸ ④ 60
1異なる 5 個から 3 個を選んで百・十・一の位に並べるので ₅P₃ である。
₅P₃ = 5 × 4 × 3
🎯 試験のポイント
①順序を区別すれば順列、区別しなければ組合せである
②ₙPₙ = n! はすべてを並べる数である
③円順列の数は (n − 1)! である
④同じものを含む順列は、全体の階乗を同じものどうしの階乗で割る
⑤0! = 1 である
最終更新