三角関数

Trigonometric Functions

三角関数は半径 1 の単位円上を回る点から始まり、回った点の x 座標がコサイン、y 座標がサイン、その比がタンジェントになります。直角三角形を超えてどんな角度でも三角比を定義でき、点がどの象限にあるかで符号が決まります。半径が 1 という一点から sin²θ + cos²θ = 1 という関係も自然に導かれます。このページでは角度スライダーで点を回し、サインとコサインの変化や特殊角の値、象限の符号を目で確かめます。

単位円上の点 — sin, cos の定義

角度 θ45°

💡 単位円が三角関数の出発点

①半径 1 の円上の点 P(cos θ, sin θ)

②cos θ = x 座標（赤）、sin θ = y 座標（青）

③角度を変えると点が円上を回転

特殊角の三角関数値

30°-60°-90° の三角比

sin 30° = 12, cos 30° = √32, tan 30° = 1√3

辺の比 1 : √3 : 2

45° の三角比

sin 45° = √22, cos 45° = √22, tan 45° = 1

正方形の対角線でつくる直角三角形

基本関係

ピタゴラス恒等式

sin²θ + cos²θ = 1

単位円の半径 1 なので x² + y² = 1

タンジェントの定義

tan θ = sin θcos θ

傾き = y/x

逆数関係

sec θ = 1cos θ, csc θ = 1sin θ, cot θ = 1tan θ

各三角関数の逆数

象限別の符号

📐 象限と符号 — ASTC 則

①第1象限（0°~90°）: sin+, cos+, tan+ (All)

②第2象限（90°~180°）: sin+, cos-, tan- (Sin)

③第3象限（180°~270°）: sin-, cos-, tan+ (Tan)

④第4象限（270°~360°）: sin-, cos+, tan- (Cos)

まとめ

三角関数の核心

sin²θ + cos²θ = 1, tan θ = sin θcos θ

単位円上ですべての三角関数を定義

🎯 試験ポイント

①単位円定義：P(cos θ, sin θ)

②30°, 45°, 60° の三角比を暗記

③ピタゴラス恒等式：sin²θ + cos²θ = 1

④象限別符号：ASTC 則

⑤tan θ = sin θ / cos θ（cos θ = 0 で未定義）

例題と過去問

例題 1

sin θ = 3/5 で θ が第1象限の角のとき、cos θ の値を求めよ。

ピタゴラスの恒等式 sin²θ + cos²θ = 1 を使う。

cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (3/5)² = 16/25

第1象限では cos θ > 0 なので正の平方根をとる。

cos θ = √(16/25) = 4/5

▸ cos θ = 4/5

ピタゴラスの恒等式で他の値を求め、象限で符号を決める。

例題 2

tan θ = 1 で θ が第3象限の角のとき、sin θ の値を求めよ。

tan θ = 1 より基準角は 45°、第3象限の角は 225°。

θ = 180° + 45° = 225°

第3象限では sin θ < 0 なので sin 225° = −sin 45°。

sin θ = -√22

▸ sin θ = −√2/2

基準角の三角比を求め、象限の符号(ASTC)を付ける。

2023 修能数学類題

cos θ = −1/2 で 0° < θ < 180° のとき、θ の値は？

①60°

②120°

③135°

④150°

⑤240°

▸ ② 120°

cos θ = −1/2 より基準角は 60°。

cos 60° = 12

0°<θ<180° で cos θ < 0 は第2象限なので θ = 180° − 60°。

θ = 180° - 60° = 120°