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高校2年生 (16-17歳)

数I 三角関数 わかりやすく

Trigonometric Functions

三角関数は、半径1の単位円の上を回る点から始まります。角 θ だけ回った点の x 座標がコサイン、y 座標がサインで、y 座標を x 座標で割った値がタンジェントです。 そのため、直角三角形の鋭角でしか使えなかった三角比をどんな角でも定義でき、点がどの象限にあるかで値の符号が決まります。 半径が1だという1つの事実から、sin²θ + cos²θ = 1 という関係もすぐに出てきます。 1つ目の図で角を変えると点が円にそって回り、赤い線（cos）と青い線（sin）の長さが変わります。2つ目の図には特別な角の位置が集めてあります。

単位円上の点：sin, cos の定義

45°
💡 単位円が三角関数の出発点
①半径1の円の上で角 θ だけ回った点は P(cos θ, sin θ) である
②cos θ は x 座標（赤い線）、sin θ は y 座標（青い線）である
③x 座標や y 座標が負になる象限では、cos θ や sin θ も負である
④θ = 90°, 270° では cos θ = 0 なので、tan θ は定義されない

特別な角の三角関数の値

30°と60°の三角比
sin 30° = 12, cos 30° = √32, tan 30° = 1√3
角が30°, 60°, 90°の直角三角形の3辺の比は 1 : √3 : 2 である
45°の三角比
sin 45° = √22, cos 45° = √22, tan 45° = 1
正方形を対角線で切った直角三角形で、3辺の比は 1 : 1 : √2 である

三角関数の基本の関係

三平方の定理による関係
sin²θ + cos²θ = 1
点 P(cos θ, sin θ) は半径1の円の上にあるので x² + y² = 1 である
タンジェントの定義
tan θ = sin θcos θ
原点と点 P を結ぶ半径の傾き y/x に等しい
逆数の関係
sec θ = 1cos θ, csc θ = 1sin θ, cot θ = 1tan θ
3つの三角関数の逆数にもそれぞれ名前がついている

象限による符号

📐 象限と符号
①第1象限（0° < θ < 90°）：sin, cos, tan はすべて正
②第2象限（90° < θ < 180°）：sin だけが正
③第3象限（180° < θ < 270°）：tan だけが正
④第4象限（270° < θ < 360°）：cos だけが正
⑤順に「すべて、sin、tan、cos」と覚えておくと迷わない

まとめ

三角関数の要点
sin²θ + cos²θ = 1, tan θ = sin θcos θ
すべての三角関数は単位円上の1つの点で定義される
🎯 試験ポイント
①単位円で P(cos θ, sin θ)
②特別な角30°, 45°, 60°の三角比
③sin²θ + cos²θ = 1
④象限による符号：すべて、sin、tan、cos の順に正
⑤tan θ = sin θ / cos θ は cos θ = 0 のとき定義されない

例題と過去問

例題 1
sin θ = 3/5 で θ が第1象限の角のとき、cos θ の値を求めよ。
1
sin²θ + cos²θ = 1 から cos²θ を求める。
cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (3/5)² = 16/25
2
第1象限では cos θ > 0 なので、正の平方根を選ぶ。
cos θ = √(16/25) = 4/5
▸ cos θ = 4/5
斜辺5、高さ3の直角三角形を思い浮かべると底辺は4なので、cos θ = 4/5 である。相互関係で大きさを求め、象限で符号を決める。
例題 2
tan θ = 1 で θ が第3象限の角のとき、sin θ の値を求めよ。
1
tan θ = 1 なので基準の角は45°で、第3象限の角は225°である。
θ = 180° + 45° = 225°
2
第3象限では sin θ < 0 なので、sin 225° = −sin 45° である。
sin θ = -√22
▸ sin θ = −√2/2
第3象限の点は x 座標も y 座標も負なので、その比である tan θ は正になる。だから tan θ = 1 は第3象限でも起こりうる。
2023 韓国修能 数学 類題
cos θ = −1/2 で 0° < θ < 180° のとき、θ の値は？
①60°
②120°
③135°
④150°
⑤240°
▸ ② 120°
1
cos 60° = 1/2 なので、基準の角は60°である。
cos 60° = 12
2
0° < θ < 180° で cos θ < 0 となるのは第2象限なので、θ = 180° − 60° である。
θ = 180° - 60° = 120°
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