常用対数

Common Logarithm

常用対数は底が 10 の対数で、正の数に対して取ると整数部分の指標と 0 以上 1 未満の小数部分の仮数に分かれます。指標はその数が何桁かを、仮数は数字の並びを表すので、2 の 30 乗のような巨大な数でも直接計算せずに桁数がすぐ分かります。 x が 10 倍になるたびに対数の値は 1 ずつ増えます。このページではスライダーで x を動かし、対数の値が指標と仮数に分かれる様子を目で確かめます。

10 を底とする対数

真数 x200

👀 目で見る

①常用対数は底が 10 の対数 log x = log_{10} x

②正の数の常用対数は整数部分(指標)と 0 以上 1 未満の小数部分(仮数)に分かれる

③x が 10 倍になるたびに対数の値は 1 ずつ増える

指標と仮数

指標 + 仮数の分解

log N = (指標) + (仮数), 0 ≤ 仮数 < 1

指標は整数、仮数は 0 以上 1 未満 — 桁数と数字の並びを別々に持つ

桁数と指標

整数 N が d 桁 ⇔ 指標 = d − 1 ⇔ 10^d-1 ≤ N < 10^d

指標が d−1 なら N は d 桁の整数

仮数が同じなら数字の並びも同じ

🔢 10 の累乗だけずれる

①仮数が同じ二数は数字の並びが同じで、10 の累乗だけ異なる

②例:log 2 と log 200 は仮数が同じ

③指標は小数点の位置(桁数)を、仮数は数字そのものを決める

直接求めてみる

例題 1

log 2 = 0.3010 のとき log 200 を求めよ。

200 = 2 × 100 = 2 × 10² に分解する。

log 200 = log 2 + log 10²

log 10² = 2 を足す。

= 0.3010 + 2 = 2.3010

▸ 2.3010 (指標 2, 仮数 0.3010)

10 の累乗は指標だけを変え、仮数(0.3010)はそのまま。

例題 2

2³⁰ は何桁の整数か。(log 2 = 0.3010)

常用対数をとる。

log 2³⁰ = 30 log 2 = 30 × 0.3010 = 9.03

指標が 9 なので桁数は 9 + 1。

指標 9 ⇒ 10 桁

▸ 10 桁

累乗の桁数は対数の指標 + 1 ですぐ出る。

まとめ

中心となる結果

log N = 指標 + 仮数, d 桁 ⇔ 指標 = d − 1

指標は桁数、仮数は数字の並び — 二つを分けて扱うのが核心

2021 修能数学類題

3²⁰ は何桁の整数か。(log 3 = 0.4771)

①9 桁

②10 桁

③11 桁

④12 桁

⑤13 桁

▸ ② 10 桁

常用対数をとり指標を求める。

log 3²⁰ = 20 × 0.4771 = 9.542

指標が 9 なので桁数 = 9 + 1。

指標 9 ⇒ 10 桁

🎯 試験ポイント

①log N = 指標 + 仮数 (0 ≤ 仮数 < 1)

②d 桁の整数 ⇔ 指標 = d − 1

③累乗の桁数 = 対数の指標 + 1

④仮数が同じなら数字の並びも同じ

⑤0<N<1 なら指標は負(最初の 0 でない小数位)