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高校2年生 (16-17歳)

数I 常用対数 わかりやすく

Common Logarithm

常用対数は底が10の対数です。正の数 N の常用対数は、整数部分の指標と、0以上1未満の小数部分の仮数に分けられます。 N が10倍になるたびに log N はちょうど1ずつ増えるので、指標は N の桁数を、仮数は数字の並び方を受けもちます。 そのため 2³⁰ のように直接かけ算するのが大変な数でも、log 2 さえわかれば何桁かがわかります。 図で x を動かすと、縦軸の棒が白い部分（指標）と金色の部分（仮数）に分かれます。

10を底とする対数

200
👀 グラフから読み取ること
①常用対数は底の10を省いて log x と書く
②横軸の目盛り 1, 10, 100, 1000 は等間隔で、そこでの対数の値は 0, 1, 2, 3 である
③x が10倍になるたびに、対数の値はちょうど1ずつ増える
④だから 2 ≤ x < 1000 の点の対数の値は、整数の指標と0以上1未満の仮数にきれいに分かれる

指標と仮数

指標と仮数に分ける
log N = (指標) + (仮数), 0 ≤ 仮数 < 1
指標は整数で、仮数は0以上1未満の小数部分である
桁数と指標
整数 N が d 桁 ⇔ 指標 = d − 1 ⇔ 10d-1 ≤ N < 10d
1以上の数 N が d 桁なら、指標は d − 1 である

仮数が同じなら数字の並びも同じ

🔢 10の累乗だけずらした数
①log 200 = log 2 + 2、log 0.02 = log 2 − 2 のように、10の累乗をかけたり割ったりしても変わるのは指標だけである
②だから 2, 20, 200, 2000 の仮数はどれも 0.3010 である
③指標は小数点の位置を決め、仮数は数字がどんな順に並ぶかを決める

例題で確かめる

例題 1
log 2 = 0.3010 のとき log 200 を求めよ。
1
200 を 2 × 10² と表す。
log 200 = log 2 + log 102
2
積の対数は対数の和になり、log 10² = 2 である。
= 0.3010 + 2 = 2.3010
▸ 2.3010（指標 2、仮数 0.3010）
10² をかけても仮数 0.3010 はそのままで、指標だけが0から2に変わる。
例題 2
230 は何桁の整数か。(log 2 = 0.3010)
1
2³⁰ の常用対数をとると、指数30が前に出る。
log 230 = 30 log 2 = 30 × 0.3010 = 9.03
2
対数の値 9.03 の指標は9なので、10⁹ ≤ 2³⁰ < 10¹⁰ である。
指標 9 ⇒ 10 桁
▸ 10 桁
実際に 2³⁰ = 1073741824 で、10桁である。指標が9とは、10⁹ 以上 10¹⁰ 未満ということである。

まとめ

要点
log N = 指標 + 仮数, d 桁 ⇔ 指標 = d − 1
指標は桁数を、仮数は数字の並びを受けもつ
2021 韓国修能 数学 類題
320 は何桁の整数か。(log 3 = 0.4771)
①9 桁
②10 桁
③11 桁
④12 桁
⑤13 桁
▸ ② 10 桁
1
3²⁰ の常用対数を求め、指標を読む。
log 320 = 20 × 0.4771 = 9.542
2
指標が9なので 10⁹ ≤ 3²⁰ < 10¹⁰、つまり10桁である。
指標 9 ⇒ 10 桁
🎯 試験ポイント
①log N = 指標 + 仮数（0 ≤ 仮数 < 1）
②1以上の N が d 桁 ⇔ 指標 = d − 1
③累乗の桁数 = 対数の値の指標 + 1
④仮数が同じ2つの数は数字の並びが同じで、10の累乗倍だけ違う
⑤0 < N < 1 なら指標は負で、指標が −k のとき、小数第 k 位にはじめて0でない数字が現れる
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三角関数

最終更新

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