三角関数のグラフ

Graphs of Trigonometric Functions

三角関数のグラフは、同じ形が果てしなく繰り返される波の模様です。円周上を回る点の高さがそのままサイン曲線になるので、振り子や波、音のように周期的に繰り返す現象を表すのにぴったりです。式の前の係数は波の高さ（振幅）を、x に掛ける数はどれだけ細かく繰り返すか（周期）を決め、加える定数はグラフを上下・左右に動かします。このページでは振幅と周期、移動量をスライダーで変えながら、曲線がどう変わるかを確かめます。

sin, cos, tan の基本グラフ

💡 3 関数の核心差

①sin x：原点対称（奇関数）、周期 2π

②cos x：y 軸対称（偶関数）、周期 2π

③tan x：原点対称（奇関数）、周期 π、漸近線あり

振幅と周期の調整

振幅 A1

周期6.28

位相移動 C0

垂直移動 D0

周期と振幅の公式

一般形

y = A sin(Bx + C) + D

A=振幅、2π/B=周期、-C/B=位相移動、D=垂直移動

周期の公式

周期 T = 2π|B|

B が大きいほど周期は短い（速い振動）

📐 各パラメータの役割

①A（振幅）：縦のスケール

②B（角振動数）：周期決定（T = 2π/|B|）

③C（位相）：左右移動

④D（垂直移動）：中心線位置

まとめ

三角関数グラフの核心

y = A sin(Bx + C) + D → 振幅 |A|、周期 2π|B|

4 つの媒介変数ですべての正弦波を表現

🎯 試験ポイント

①sin, cos 周期 2π / tan 周期 π

②振幅 |A|、周期 2π/|B| を必ず記憶

③位相移動：−C/B 方向

④最大 A + D、最小 -A + D

⑤sin と cos の関係：cos x = sin(x + π/2)

例題と過去問

例題 1

関数 y = 3 sin 2x の振幅と周期を求めよ。

一般形 y = A sin(Bx) では振幅は |A|。

振幅 = |A| = |3| = 3

周期は 2π/|B| で求める。

周期 = 2π|2| = π

▸ 振幅 3, 周期 π

振幅は |A|、周期は 2π/|B| とそのまま読む。

例題 2

関数 y = 2 cos x + 1 の最大値と最小値を求めよ。

cos x の値域は −1 ≤ cos x ≤ 1。

-1 ≤ cos x ≤ 1

両端の値を代入して最大・最小を求める。

最大値 = 2(1)+1 = 3, 最小値 = 2(-1)+1 = -1

▸ 最大値 3, 最小値 −1

最大値 = |A| + D、最小値 = −|A| + D とすぐ求まる。

2022 評価院模試数学類題

関数 y = 4 sin(2x − π) + 1 の周期と最大値は？

①周期 π, 最大値 5

②周期 2π, 最大値 5

③周期 π, 最大値 4

④周期 π/2, 最大値 5

⑤周期 2π, 最大値 4

▸ ① 周期 π, 最大値 5

周期は 2π/|B|、ここで B = 2。

周期 = 2π2 = π

最大値は |A| + D。

最大値 = |4| + 1 = 5