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高校2年生 (16-17歳)

数I 三角関数のグラフ わかりやすく

Graphs of Trigonometric Functions

三角関数のグラフは、同じ形が一定の間隔で限りなくくり返される波の形です。 単位円の上を回る点の高さをたどるとサインの曲線になるので、振り子や波、音のように周期的にくり返す現象を表すのにぴったりです。 y = A sin(Bx + C) + D で、A は波の高さである振幅を、B は1回分のくり返しの長さである周期を決め、C と D はグラフを左右と上下に動かします。 1つ目の図では sin, cos, tan の形を比べ、2つ目の図では4つの数を変えながら、曲線がのびたり縮んだり移ったりするようすを見ることができます。

sin, cos, tan の基本のグラフ

💡 3つの関数の違い
①y = sin x は原点に関して対称で、周期は 2π である
②y = cos x は y 軸に関して対称で、周期は 2π であり、y = sin x を左へ π/2 だけ移した形である
③y = tan x は原点に関して対称で、周期は π であり、x = π/2 + nπ に漸近線をもつ
④sin と cos の値は −1 と1の間にあるが、tan の値はすべての実数である

振幅と周期、平行移動

1
6.28
0
0

周期と振幅の公式

一般形
y = A sin(Bx + C) + D
振幅 |A|、周期 2π/|B|、左右の移動 −C/B、上下の移動 D
周期の公式
周期 T = 2π|B|
|B| が大きいほど周期が短くなり、波がつまる
📐 4つの数の役割
①A：波の高さ（振幅 |A|）を決め、負なら上下が逆になる
②B：周期 2π/|B| を決める
③C：グラフを x 軸方向に −C/B だけ動かす
④D：中心線を y = D に上げ下げする

まとめ

三角関数グラフの核心
y = A sin(Bx + C) + D → 振幅 |A|、周期 2π|B|
4つの数 A, B, C, D で、サインの曲線の高さ・間隔・位置をすべて決める
🎯 試験ポイント
①sin, cos の周期は 2π、tan の周期は π
②y = A sin(Bx + C) + D の振幅は |A|、周期は 2π/|B|
③Bx + C = B(x + C/B) なので左右の移動は −C/B
④最大値は |A| + D、最小値は −|A| + D
⑤cos x = sin(x + π/2)

例題と過去問

例題 1
関数 y = 3 sin 2x の振幅と周期を求めよ。
1
y = A sin Bx の形で、振幅は |A| なので3である。
振幅 = |A| = |3| = 3
2
周期は 2π/|B| で、ここでは B = 2 である。
周期 = 2π|2| = π
▸ 振幅 3、周期 π
x に2をかけると同じ波が2倍の速さで通り過ぎるので、周期は半分の π になる。振幅は前の3が決める。
例題 2
関数 y = 2 cos x + 1 の最大値と最小値を求めよ。
1
cos x は −1 以上1以下の値をとる。
-1 ≤ cos x ≤ 1
2
両端の値1と −1 を代入して、最大値と最小値を求める。
最大値 = 2(1)+1 = 3, 最小値 = 2(-1)+1 = -1
▸ 最大値 3、最小値 −1
2は波の高さを2倍にし、+ 1 は中心線を1だけ上げる。だから最大値は 2 + 1、最小値は −2 + 1 である。
2022 評価院 模試 数学 類題
関数 y = 4 sin(2x − π) + 1 の周期と最大値は？
①周期 π, 最大値 5
②周期 2π, 最大値 5
③周期 π, 最大値 4
④周期 π/2、最大値 5
⑤周期 2π, 最大値 4
▸ ① 周期 π, 最大値 5
1
周期は 2π/|B| で、ここでは B = 2 である。
周期 = 2π2 = π
2
最大値は |A| + D で、ここでは A = 4、D = 1 である。
最大値 = |4| + 1 = 5
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