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数学Ⅰ
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三角関数
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三角関数の活用
Applications of Trigonometry
正弦定理 — 外接円との関係
外接円上の三角形と正弦定理
頂点 A の位置
50°
正弦定理
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
= 2R
各辺を対角の正弦で割ると外接円の直径に等しい
💡 正弦定理の核心
①「辺/対角の正弦」は常に外接円の直径（2R）に等しい
②2 角と 1 辺が分かれば残りも求まる
③面積：S = (1/2)ab sin C
余弦定理 — 一般化したピタゴラス
2 辺と挟角から残りの辺を求める
辺 a
4
辺 b
3
挟角 C
60°
余弦定理
c² = a² + b² - 2ab cos C
C = 90° のときピタゴラスの定理に還元
三角形の面積
面積公式（2 辺＋挟角）
S =
1
2
ab sin C
2 辺の長さと挟角で面積を計算
ヘロンの公式
S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), s =
a+b+c
2
3 辺の長さのみから面積
📐 どの公式を使う?
①2 辺＋挟角 → S = (1/2)ab sin C
②3 辺のみ → ヘロンの公式
③1 辺＋両端角 → 正弦定理で辺を求めてから面積
実生活への応用
🌍 三角関数が使われる場面
①測量：建物・山の高さ
②航海：2 地点間の距離計算
③物理：力の分解、ベクトル合成
④建築：屋根の勾配、構造設計
まとめ
正弦定理
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
= 2R
辺/対角の正弦 = 外接円の直径
余弦定理
c² = a² + b² - 2ab cos C
ピタゴラスの定理の一般化
🎯 試験ポイント
①正弦定理：角-辺対応（ASA, AAS）
②余弦定理：2 辺＋挟角 or 3 辺（SAS, SSS）
③面積：S = (1/2)ab sin C
④C = 90° で cos C = 0 → ピタゴラス
⑤正弦定理から外接円半径 R も得られる
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