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高校2年生 (16-17歳)

数I 三角関数の活用 わかりやすく

Applications of Trigonometry

三角形の3つの辺と3つの角はたがいに結びついているので、そのうちいくつかがわかれば残りを計算できます。 正弦定理は、各辺を向かい合う角の正弦で割った値がどれも外接円の直径 2R に等しいという関係で、余弦定理 c² = a² + b² − 2ab cos C は、間の角が直角なら三平方の定理になる式です。 さらに面積の公式 S = (1/2)ab sin C を加えると、測量や航海のように直接はかれない距離や角も求められます。 1つ目の図では直径 BA′ を引いて a = 2R sin A となる理由がわかり、2つ目の図では2辺と間の角を変えるたびに3つ目の辺 c が計算し直されます。

正弦定理：外接円の直径

50°
正弦定理
asin A = bsin B = csin C = 2R
各辺を向かい合う角の正弦で割ると、どれも外接円の直径に等しい
💡 a = 2R sin A となる理由
①B から中心を通る直径 BA′ を引くと、半円に対する円周角なので ∠BCA′ = 90° である
②同じ弧 BC に対する円周角なので ∠A′ = ∠A である
③直角三角形 A′BC で BC = BA′ × sin A′ なので、a = 2R sin A となる
④角 A が鈍角のときは ∠A′ = 180° − A になるが、正弦の値は同じなので同じ式が成り立つ

余弦定理：すべての三角形での三平方の定理

4
3
60°
余弦定理
c² = a² + b² − 2ab cos C
C = 90° なら cos C = 0 なので三平方の定理になる

三角形の面積

2辺とその間の角で求める面積
S = 12 ab sin C
辺 a を底辺とみると高さは b sin C なので、面積は (1/2) × a × b sin C である
ヘロンの公式
S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = a+b+c2
3辺の長さだけがわかっているときに使う
📐 どの公式を使うか
①2辺とその間の角がわかれば S = (1/2)ab sin C
②3辺だけがわかれば、余弦定理で1つの角の余弦を求めてから面積を求めるか、ヘロンの公式を使う
③1辺とその両端の2角がわかれば、正弦定理でほかの辺を求めてから面積を求める

くらしの中での使われ方

🌍 三角関数が使われる場面
①測量：登れない建物や山の高さを角と距離からはかる
②航海：2地点ではかった方向から船の位置と距離を求める
③物理：力を2つの向きに分けたり、1つに合わせたりする
④建築：屋根の傾きや部材の長さを決める

まとめ

正弦定理
asin A = bsin B = csin C = 2R
辺 ÷ 向かい合う角の正弦 = 外接円の直径
余弦定理
c² = a² + b² − 2ab cos C
三平方の定理をすべての三角形に広げた式
🎯 試験ポイント
①正弦定理：2角と1辺がわかるとき、または外接円の半径を求めるとき
②余弦定理：2辺とその間の角、または3辺がわかるとき
③面積 S = (1/2)ab sin C
④C = 90° なら cos C = 0 で三平方の定理になる
⑤a/sin A = 2R から外接円の半径 R を求める

例題と過去問

例題 1
三角形 ABC で a = 8, sin A = 1/2 のとき、外接円の半径 R を求めよ。
1
正弦定理より、a/sin A は外接円の直径 2R に等しい。
2R = asin A = 81/2
2
8を1/2で割ると16なので、2R = 16 である。
2R = 16, R = 8
▸ R = 8
sin A = 1/2 なら A は30°か150°だが、どちらでも外接円の半径は8で同じである。正弦定理は角が鋭角でも鈍角でも成り立つ。
例題 2
2辺 a = 5, b = 3 と挟む角 C = 60° のとき、余弦定理で辺 c を求めよ。
1
2辺とその間の角がわかっているので、余弦定理を使う。
c² = 5² + 3² - 2(5)(3) cos 60°
2
cos 60° = 1/2 なので、2 × 5 × 3 × 1/2 = 15 を引く。
c² = 25 + 9 - 30 × 12 = 19, c = √19
▸ c = √19
C が90°より小さければ c² は a² + b² より小さく、90°より大きければ a² + b² より大きい。cos C の符号がその違いを生む。
2023 韓国修能 数学 類題
2辺 a = 4, b = 6 と挟む角 C = 30° の三角形の面積は？
①6
②12
③6√3
④3
⑤12√3
▸ ① 6
1
2辺4, 6 とその間の角30°を面積の公式 S = (1/2)ab sin C に代入する。
S = 12 × 4 × 6 × sin 30°
2
sin 30° = 1/2 なので、12 × 1/2 = 6 である。
S = 12 × 12 = 6
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