三角方程式と不等式

Trigonometric Equations

三角方程式 sin x = k は、波打つ曲線 y = sin x と高さ k の水平線が交わる場所を探す問題です。交点の x 座標がそのまま解になり、水平線を上下させると一周期の中で解が二つ、一つ、あるいは無しへと変わります。方程式は基準角と符号に合う象限で解き、不等式は曲線が直線より上か下かを読んで区間として答えます。このページでは水平線 y = k を動かして、交点の数が変わる様子を確かめてみましょう。

交点が解

水平線 y = k0.5

👀 目で見る

①方程式 sin x = k の解は y=sin x と y=k の交点の x 座標

②k を上下させると一周期の解が 0·1·2 個に変わる

③不等式はグラフが直線より上(または下)の区間

基準角と象限

三角方程式の解法

sin x = k ⇒ 基準角を求め象限ごとに解を集める

[0,2π) で sin·cos は普通 2 個、境界値(±1, 0)で 1 個

tan の方程式

tan x = k ⇒ 周期 π ごとに解が一つ

tan は周期 π なので [0,2π) に解は 2 個

不等式は区間で

📐 上下を読む

①sin x > k は曲線が直線 y=k より上にある x 区間

②まず sin x = k の解(境界)を求める

③境界の間で上下を確認し区間を定める

直接解いてみる

例題 1

0 ≤ x < 2π で方程式 sin x = 1/2 の解をすべて求めよ。

基準角は π/6 (sin(π/6)=1/2)。

sin が正の第1·2象限で解を集める。

x = π/6, 5π/6

▸ x = π/6, 5π/6

基準角を先に決め、符号に合う象限だけ選べば速い。

例題 2

0 ≤ x < 2π で不等式 cos x < 1/2 を解け。

境界 cos x = 1/2 の解は x = π/3, 5π/3。

その間で cos は 1/2 より小さい。

π/3 < x < 5π/3

▸ π/3 < x < 5π/3

不等式は境界(等式の解)を先に求め、間の符号を確認する。

まとめ

中心となる戦略

方程式: 基準角+象限 / 不等式: 境界の後に区間

グラフと単位円で解の位置を先に描くのが最も安全

2022 評価院模試数学類題

0 ≤ x < 2π で方程式 2 sin x = √3 のすべての解の和は?

①π/2

②2π/3

③π

④4π/3

⑤3π/2

▸ ③ π

sin x = √3/2 で基準角は π/3。

第1·2象限の解は x = π/3, 2π/3 なので和は

π/3 + 2π/3 = π

🎯 試験ポイント

①解はグラフ·単位円の交点で可視化

②sin·cos は一周期で普通 2 解、tan は周期 π

③不等式は境界の解を先に → 間の区間を判定

④[0,2π) など定義域を必ず確認

⑤√3/2, 1/2, √2/2 など特殊角の値を暗記