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高校2年生 (16-17歳)

数I 三角方程式と不等式 わかりやすく

Trigonometric Equations

三角方程式 sin x = k は、上がり下がりする曲線 y = sin x と、高さ k の水平な直線が交わる場所を探す問題です。 交点の x 座標がそのまま解で、0 ≤ x < 2π では直線を上げ下げすると、解は2つから1つへ、さらに1つもない状態へと変わります。 方程式は基準の角を先に決めて符号の合う象限を選んで解き、不等式は境目となる解を先に求めてから、曲線が直線より上にある区間を読みとって答えます。 図で水平な直線 y = k を動かすと、交点ごとに解の値が書かれ、いちばん上に解の個数が出ます。

交点がそのまま解

0.5
👀 グラフから読みとる解
①sin x = k の解は、y = sin x と y = k の交点の x 座標である
②−1 < k < 1 なら解は2つ、k = ±1 なら山の頂上か谷の底に接して1つ、|k| > 1 なら解はない
③k が0, ±1/2, ±1 なら解は π の分数できれいに表せ、それ以外では図に近似値だけが書かれる
④不等式 sin x > k の解は、曲線が水平な直線より上にある区間である

基準の角と象限

三角方程式の解き方
sin x = k ⇒ 基準の角を決め、符号の合う象限で解を集める
0 ≤ x < 2π で sin x = k の解は、−1 < k < 1 なら2つ、k = ±1 なら1つである
tan の方程式
tan x = k ⇒ 周期 π ごとに解が1つずつ
tan は周期が π なので、0 ≤ x < 2π では解はいつも2つである

不等式は区間で

📐 曲線が上か下かを読む
①sin x > k の解は、曲線が直線 y = k より上にある x の区間である
②まず sin x = k の解を求めて区間の境目にする
③境目の間の1点を代入して、曲線が上か下かを確かめる

例題で確かめる

例題 1
0 ≤ x < 2π で方程式 sin x = 1/2 の解をすべて求めよ。
1
sin(π/6) = 1/2 なので、基準の角は π/6 である。
2
sin が正になる第1象限と第2象限で解を集める。
x = π/6, 5π/6
▸ x = π/6, 5π/6
第2象限の解は π − π/6 = 5π/6 である。基準の角を先に決め、符号の合う象限だけを選ぶと速い。
例題 2
0 ≤ x < 2π で不等式 cos x < 1/2 を解け。
1
境目となる cos x = 1/2 の解は x = π/3, 5π/3 である。
2
2つの境目の間では cos x は1/2より小さい。
π/3 < x < 5π/3
▸ π/3 < x < 5π/3
間の点 x = π を代入すると cos π = −1 < 1/2 なので、2つの境目の間が答えである。不等式は境目を先に求め、間の1点で確かめる。

まとめ

解き方の方針
方程式：基準の角 + 象限 / 不等式：境目を求めてから区間
グラフや単位円に解の位置を先にかいておくのがいちばん確かである
2022 評価院 模試 数学 類題
0 ≤ x < 2π で方程式 2 sin x = √3 のすべての解の和は？
①π/2
②2π/3
③π
④4π/3
⑤3π/2
▸ ③ π
1
両辺を2で割ると sin x = √3/2 で、基準の角は π/3 である。
2
第1象限と第2象限の解は x = π/3, 2π/3 なので、和は次のようになる。
π/3 + 2π/3 = π
🎯 試験ポイント
①解はグラフや単位円の交点として探す
②0 ≤ x < 2π で sin, cos の方程式はふつう解が2つで、tan は周期が π である
③不等式は境目の解を先に求め、間の区間を判定する
④x の範囲がどこまでかを先に確かめる
⑤特別な角の値 1/2, √2/2, √3/2 がすぐ思い浮かぶようにしておく
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