seegongsik
高校2年生 (16-17歳)

三角方程式と不等式

Trigonometric Equations

交点が解
0.5
👀 目で見る
①方程式 sin x = k の解は y=sin x と y=k の交点の x 座標
②k を上下させると一周期の解が 0·1·2 個に変わる
③不等式はグラフが直線より上(または下)の区間
基準角と象限
三角方程式の解法
sin x = k ⇒ 基準角を求め象限ごとに解を集める
[0,2π) で sin·cos は普通 2 個、境界値(±1, 0)で 1 個
tan の方程式
tan x = k ⇒ 周期 π ごとに解が一つ
tan は周期 π なので [0,2π) に解は 2 個
不等式は区間で
📐 上下を読む
①sin x > k は曲線が直線 y=k より上にある x 区間
②まず sin x = k の解(境界)を求める
③境界の間で上下を確認し区間を定める
直接解いてみる
例題 1
0 ≤ x < 2π で方程式 sin x = 1/2 の解をすべて求めよ。
1
基準角は π/6 (sin(π/6)=1/2)。
2
sin が正の第1·2象限で解を集める。
x = π/6, 5π/6
▸ x = π/6, 5π/6
基準角を先に決め、符号に合う象限だけ選べば速い。
例題 2
0 ≤ x < 2π で不等式 cos x < 1/2 を解け。
1
境界 cos x = 1/2 の解は x = π/3, 5π/3。
2
その間で cos は 1/2 より小さい。
π/3 < x < 5π/3
▸ π/3 < x < 5π/3
不等式は境界(等式の解)を先に求め、間の符号を確認する。
まとめ
中心となる戦略
方程式: 基準角+象限 / 不等式: 境界の後に区間
グラフと単位円で解の位置を先に描くのが最も安全
2022 評価院 模試 数学 類題
0 ≤ x < 2π で方程式 2 sin x = √3 のすべての解の和は?
①π/2
②2π/3
③π
④4π/3
⑤3π/2
▸ ③ π
1
sin x = √3/2 で基準角は π/3。
2
第1·2象限の解は x = π/3, 2π/3 なので和は
π/3 + 2π/3 = π
🎯 試験ポイント
①解はグラフ·単位円の交点で可視化
②sin·cos は一周期で普通 2 解、tan は周期 π
③不等式は境界の解を先に → 間の区間を判定
④[0,2π) など定義域を必ず確認
⑤√3/2, 1/2, √2/2 など特殊角の値を暗記
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