等比数列

Geometric Sequence

等比数列は、前の項に同じ数を掛け続けてできる数の並びです。公比 r が 1 より大きいと雪だるまのように急激に増え、0 と 1 の間なら次第に小さくなり、負なら符号が交互に入れ替わります。どの項も初項 × 公比^(n − 1) で求められ、多くの項の和も一つの公式にまとまり、しかも |r| が 1 より小さければ無限に足しても一つの値に収束します。このページでは初項と公比を変えて、数列が増減する様子と無限和が収束・発散する過程を確かめてみましょう。

等比数列 — 同じ比率で掛ける数列

初項 a₁2

公比 r2

項数 n5

💡 等比数列 = 同じ比率で掛ける数列

①隣接2項の比が常に同じ（= 公比 r）

②r > 1 で指数的増加

③0 < r < 1 で指数的減少

④r < 0 で符号が交互に

一般項と和の公式

等比一般項

a_n = a₁ · r^n-1

n 番目 = 初項 × 公比⁽n-1)

等比数列の和

S_n = a₁(rⁿ - 1)r - 1 (r ≠ 1)

r = 1 のとき S_n = na₁

📐 等比和の導出

①S_n = a₁ + a₁r + a₁r² + ... + a₁r^{n-1}

②rS_n = a₁r + a₁r² + ... + a₁r^n

③引くと：S_n − rS_n = a₁ − a₁r^n

④よって S_n(1−r) = a₁(1−r^n)

等比級数 — 無限和の収束

公比 r0.5

無限等比級数

S = a₁1 - r (|r| < 1)

|r| < 1 のときのみ収束、|r| ≥ 1 で発散

等比中項

b² = ac (a, b, c が等比数列)

中央項の2乗 = 両端の積

📐 等比中項の活用

①3 数 a, b, c が等比数列 ⟺ b² = ac

②b = ±√(ac) → 符号に注意

③等比数列から等間隔に抽出した項も等比数列

まとめ

等比数列の核心公式

a_n = a₁r^n-1, S_n = a₁(rⁿ - 1)r - 1

一般項と和を一括整理

🎯 試験ポイント

①一般項：a_n = a₁ · r^{n-1}

②和：S_n = a₁(r^n − 1)/(r − 1) (r ≠ 1)

③無限等比級数：|r| < 1 で S = a₁/(1−r)

④等比中項：b² = ac

⑤r の符号と大きさが挙動を決定

例題と過去問

例題 1

初項 3、公比 2 の等比数列の第5項を求めよ。

一般項 a_n = a₁ · r^n-1 に代入する。

a₅ = 3 × 2^5-1 = 3 × 2⁴

計算する。

= 3 × 16 = 48

▸ 第5項 = 48

等比数列の一般項は初項に公比を (n−1) 回掛けた値。

例題 2

初項 2、公比 3 の等比数列の初項から第4項までの和を求めよ。

和の公式 S_n = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) に代入する。

S₄ = 2(3⁴ - 1)3 - 1

計算する。

= 2(81 - 1)2 = 80

▸ 和 = 80

等比数列の和は a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) (ただし r ≠ 1)。

2022 評価院模試数学類題

初項 4、公比 1/2 の無限等比級数の和は？

①8

②4

③2

④6

⑤収束しない

▸ ① 8

|r| = 1/2 < 1 なので収束し、S = a₁/(1 − r) を使う。

S = a₁1 - r = 41 - 1/2

計算する。

= 41/2 = 8