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高校2年生 (16-17歳)

数I 等比数列 わかりやすく

Geometric Sequence

等比数列は、前の項にいつも同じ数をかけてつくる数の並びです。 かける数である公比 r が1より大きければ雪だるま式にふくらみ、0と1の間ならだんだん小さくなり、負なら符号が交互に変わります。 第n項は初項に公比を(n − 1)回かけた値で、公比の絶対値が1より小さければ、項を限りなく足しても和は1つの値に近づきます。 1つ目の図では初項と公比によって棒が大きくなったり小さくなったりし、2つ目の図では部分和が極限の値に集まるか、図の外へのびていきます。

等比数列：同じ比でかけていく数列

2
2
5
💡 となり合う2項の比はいつも同じ
①後ろの項を前の項で割ると、いつも公比 r になる
②r > 1 なら1つ進むごとに r 倍にふくらむ
③0 < r < 1 なら1つ進むごとに小さくなり、0に近づく
④r < 0 なら符号が交互に変わる（この図の公比は0.3以上で、負の公比は2つ目の図で選べる）

一般項と和

等比数列の一般項
an = a₁ · rn-1
第n項 = 初項 × 公比ⁿ⁻¹
等比数列の和
Sn = a₁(rn - 1)r - 1 (r ≠ 1)
r = 1 ならすべての項が等しいので Sₙ = na₁ である
📐 和の公式の導き方
①Sₙ = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹ である
②両辺に r をかけると rSₙ = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ
③2つの式を引くと間の項がすべて消え、Sₙ − rSₙ = a₁ − a₁rⁿ だけが残る
④r ≠ 1 なら両辺を 1 − r で割って Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) を得る

無限等比級数：限りなく足した和

0.5
無限等比級数
S = a₁1 - r (|r| < 1)
|r| < 1 のときだけ収束し、|r| ≥ 1 なら発散する。図の初項は1である

等比中項

等比中項
b² = ac (a, b, c が等比数列)
まん中の項の2乗は、両側の2項の積に等しい
📐 等比中項の使い方
①0でない3つの数 a, b, c がこの順に等比数列 ⟺ b² = ac
②b = ±√(ac) なので、b の符号は問題の条件で決める
③等比数列から等間隔にとり出した項も、また等比数列になる

まとめ

等比数列の核心公式
an = a₁rn-1, Sn = a₁(rn - 1)r - 1
一般項と和を並べて
🎯 試験ポイント
①一般項 aₙ = a₁rⁿ⁻¹
②和 Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1)（r ≠ 1）、r = 1 なら Sₙ = na₁
③無限等比級数は |r| < 1 のとき S = a₁/(1 − r)
④等比中項 b² = ac
⑤公比の符号は符号が交互に変わるかを、絶対値は大きくなるか小さくなるかを決める

例題と過去問

例題 1
初項 3、公比 2 の等比数列の第5項を求めよ。
1
一般項 aₙ = a₁rⁿ⁻¹ に n = 5 を代入する。
a5 = 3 × 25-1 = 3 × 24
2
2⁴ = 16 なので、3に16をかける。
= 3 × 16 = 48
▸ a₅ = 48
第5項までに公比をかける回数は4回である。3, 6, 12, 24, 48 と順に書いても同じ値になる。
例題 2
初項 2、公比 3 の等比数列の初項から第4項までの和を求めよ。
1
和の公式 Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1) に a₁ = 2、r = 3、n = 4 を代入する。
S4 = 2(34 - 1)3 - 1
2
3⁴ = 81 なので分子は 2 × 80 で、これを分母の2で割る。
= 2(81 - 1)2 = 80
▸ S₄ = 80
2, 6, 18, 54 を直接足しても80になる。項が多くなるほど、1つずつ足すより公式のほうがずっと速い。
2022 評価院 模試 数学 類題
初項 4、公比 1/2 の無限等比級数の和は？
①8
②4
③2
④6
⑤収束しない
▸ ① 8
1
|r| = 1/2 < 1 なので和は収束し、S = a₁/(1 − r) が使える。
S = a₁1 - r = 41 - 1/2
2
1 − 1/2 = 1/2 なので、4を1/2で割ると8になる。
= 41/2 = 8
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