数学Ⅰ›数列

等比数列

Geometric Sequence

等比数列 — 同じ比率で掛ける数列

初項 a₁2

公比 r2

項数 n5

💡 等比数列 = 同じ比率で掛ける数列

①隣接2項の比が常に同じ（= 公比 r）

②r > 1 で指数的増加

③0 < r < 1 で指数的減少

④r < 0 で符号が交互に

一般項と和の公式

等比一般項

a_n = a₁ · r^n-1

n 番目 = 初項 × 公比⁽n-1)

等比数列の和

S_n = a₁(rⁿ - 1)r - 1 (r ≠ 1)

r = 1 のとき S_n = na₁

📐 等比和の導出

①S_n = a₁ + a₁r + a₁r² + ... + a₁r^{n-1}

②rS_n = a₁r + a₁r² + ... + a₁r^n

③引くと：S_n − rS_n = a₁ − a₁r^n

④よって S_n(1−r) = a₁(1−r^n)

等比級数 — 無限和の収束

公比 r0.5

無限等比級数

S = a₁1 - r (|r| < 1)

|r| < 1 のときのみ収束、|r| ≥ 1 で発散

等比中項

等比中項

b² = ac (a, b, c が等比数列)

中央項の2乗 = 両端の積

📐 等比中項の活用

①3 数 a, b, c が等比数列 ⟺ b² = ac

②b = ±√(ac) → 符号に注意

③等比数列から等間隔に抽出した項も等比数列

まとめ

等比数列の核心公式

a_n = a₁r^n-1, S_n = a₁(rⁿ - 1)r - 1

一般項と和を一括整理

🎯 試験ポイント

①一般項：a_n = a₁ · r^{n-1}

②和：S_n = a₁(r^n − 1)/(r − 1) (r ≠ 1)

③無限等比級数：|r| < 1 で S = a₁/(1−r)

④等比中項：b² = ac

⑤r の符号と大きさが挙動を決定