数列の和

Sum of Series

総和記号 Σ は、たくさんの項を順に足し合わせるという指示を短く書いたものです。 1 から n まで足すとき、自然数の和や平方の和のようによく出てくる和は、一つずつ計算しなくても簡単な公式で一度に求められます。公式がどこから来るのかが分かれば、複雑に見える数列の和も k, k², k³ の和に分けて解けます。このページでは棒グラフで部分和が積み上がる様子をスライダーで動かし、三角形の点の並びで和の公式が成り立つ理由を目で確かめます。

シグマ（Σ）記号の意味

項数 n5

💡 Σ は「すべて足せ」という命令

①Σ(k=1 to n) a_k = a₁ + a₂ + ... + a_n

②下：開始、上：終了、右：規則

③各棒の高さの合計が Σ の値

自然数の和 — 三角数

自然数の和

n(n+1)2

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

核心公式3つ

Σk

n(n+1)2

1 + 2 + ... + n

Σk²

n(n+1)(2n+1)6

1² + 2² + ... + n²

Σk³

[n(n+1)2]² = (Σk)²

1³ + 2³ + ... + n³ = (1+2+...+n)²

🔗 驚きの関係

①Σk³ = (Σk)² — 3乗の和は和の2乗!

②この3つでほとんどの和問題が解ける

③複雑な式は k, k², k³ に分解

Σ の性質

線形性

Σ(ca_k + b_k) = c·Σa_k + Σb_k

定数は外へ、和は分離可

一般項の逆算

a_n = S_n - S_n-1 (n ≥ 2)

和から一般項を求める

⚠️ a_n 逆算の注意

①n ≥ 2：a_n = S_n − S_{n-1}

②n = 1：a₁ = S₁（別途確認!)

③両者が一致するか必ず検証

まとめ

数列の和 3公式

Σk = n(n+1)2, Σk² = n(n+1)(2n+1)6, Σk³ = [n(n+1)2]²

自然数、平方数、3乗数の和

🎯 試験ポイント

①Σk = n(n+1)/2 — 基本

②Σk² = n(n+1)(2n+1)/6

③Σk³ = [n(n+1)/2]² = (Σk)²

④Σ の線形性：定数分離、和の分離

⑤a_n = S_n − S_{n-1} (n ≥ 2)、a₁ = S₁ 別途確認

例題と過去問

例題 1

1 + 2 + 3 + ... + 10 の値を求めよ。

自然数の和の公式 Σk = n(n+1)/2 に n = 10 を代入する。

Σk = 10 × 112

計算する。

= 1102 = 55

▸ 55

1から n までの自然数の和は n(n+1)/2。

例題 2

1² + 2² + 3² + 4² の値を求めよ。

平方の和の公式 Σk² = n(n+1)(2n+1)/6 に n = 4 を代入する。

Σk² = 4 × 5 × 96

計算する。

= 1806 = 30

▸ 30

平方の和は n(n+1)(2n+1)/6。

2023 修能数学類題

Σ(k=1 to n) (2k + 1) を n の式で表すと？

①n(n+2)

②n(n+1)

③n²

④2n+1

⑤n²+1

▸ ① n(n+2)

線形性で分ける。Σ(2k+1) = 2Σk + Σ1。

Σ(2k+1) = 2 × n(n+1)2 + n

整理する。

= n(n+1) + n = n² + 2n = n(n+2)