数学Ⅰ›数列

数列の和

Sum of Series

シグマ（Σ）記号の意味

項数 n5

💡 Σ は「すべて足せ」という命令

①Σ(k=1 to n) a_k = a₁ + a₂ + ... + a_n

②下：開始、上：終了、右：規則

③各棒の高さの合計が Σ の値

自然数の和 — 三角数

n5

自然数の和

n(n+1)2

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

核心公式3つ

Σk

n(n+1)2

1 + 2 + ... + n

Σk²

n(n+1)(2n+1)6

1² + 2² + ... + n²

Σk³

\left[n(n+1)2\right]² = (Σk)²

1³ + 2³ + ... + n³ = (1+2+...+n)²

🔗 驚きの関係

①Σk³ = (Σk)² — 3乗の和は和の2乗!

②この3つでほとんどの和問題が解ける

③複雑な式は k, k², k³ に分解

Σ の性質

線形性

Σ(ca_k + b_k) = c·Σa_k + Σb_k

定数は外へ、和は分離可

一般項の逆算

a_n = S_n - S_n-1 (n ≥ 2)

和から一般項を求める

⚠️ a_n 逆算の注意

①n ≥ 2：a_n = S_n − S_{n-1}

②n = 1：a₁ = S₁（別途確認!)

③両者が一致するか必ず検証

まとめ

数列の和 3公式

Σk = n(n+1)2, Σk² = n(n+1)(2n+1)6, Σk³ = [n(n+1)2]²

自然数、平方数、3乗数の和

🎯 試験ポイント

①Σk = n(n+1)/2 — 基本

②Σk² = n(n+1)(2n+1)/6

③Σk³ = [n(n+1)/2]² = (Σk)²

④Σ の線形性：定数分離、和の分離

⑤a_n = S_n − S_{n-1} (n ≥ 2)、a₁ = S₁ 別途確認