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高校2年生 (16-17歳)

数I 数列の和 わかりやすく

Sum of Series

シグマ記号 Σ は、同じ規則でつくった項を順にすべて足すという約束を短く書いたものです。 1から n までの自然数の和、平方の和、立方の和のようによく出てくる和は、1つずつ足さなくても公式1つですぐに求められます。 公式がどこから出てくるかがわかれば、複雑に見える和も k, k², k³ の和と定数の和に分けて解けます。 1つ目の図では棒の高さをすべて足した値が Σ の値になり、2つ目の図では点の階段2つを合わせると長方形になるので、自然数の和がなぜ n(n + 1)/2 になるのかがわかります。

シグマ（Σ）記号の意味

5
💡 Σ は「すべて足す」という約束
①Σ の下の k = 1 ははじめの番号、上の n は終わりの番号、右の式は足す項の規則である
②だから k = 1 から n まで aₖ を足した Σ は a₁ + a₂ + … + aₙ である
③図でぬった棒の高さをすべて足すと上の Σ の値になり、右の行の公式の値といつも一致する
④奇数 1, 3, 5, … を n 個足すと n² になる

自然数の和：点の階段2つ

5
自然数の和
n(n+1)2
1 + 2 + 3 + … + n は、点 n × (n + 1) 個でできた長方形の半分である

基本の公式3つ

Σk
n(n+1)2
1 + 2 + … + n
Σk²
n(n+1)(2n+1)6
1² + 2² + … + n²
Σk³
[n(n+1)2]² = (Σk)²
1³ + 2³ + … + n³ = (1 + 2 + … + n)²
🔗 3つの公式の関係
①立方の和は、自然数の和を2乗したものに等しい。たとえば 1³ + 2³ + 3³ = 36 = 6² である
②この3つの公式と定数の和 n で、多項式の形の項の和はほとんど求められる
③複雑な式は、まず展開して k³, k², k, 定数の項に分ける

Σ の性質

線形性
Σ(cak + bk) = c·Σak + Σbk
定数倍は Σ の外に出し、和は分けて計算できる
和から一般項をとりもどす
an = Sn - Sn-1 (n ≥ 2)
和 Sₙ がわかれば、n ≥ 2 のときこの式で一般項を求める
⚠️ 一般項をとりもどすときの注意
①n ≥ 2 なら aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ である
②n = 1 のときは別に a₁ = S₁ で求める
③2つの結果が1つの式でつながるかを確かめ、ちがえば初項だけ別に書く

まとめ

数列の和の基本公式3つ
Σk = n(n+1)2, Σk² = n(n+1)(2n+1)6, Σk³ = [n(n+1)2]²
自然数・平方数・立方数の和
🎯 試験ポイント
①Σk = n(n + 1)/2
②Σk² = n(n + 1)(2n + 1)/6
③Σk³ = {n(n + 1)/2}²
④定数倍は外に出し、和は分けて計算する
⑤aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁（n ≥ 2）で、a₁ = S₁ は別に確かめる

例題と過去問

例題 1
1 + 2 + 3 + ... + 10 の値を求めよ。
1
自然数の和の公式 n(n + 1)/2 に n = 10 を代入する。
Σk = 10 × 112
2
10 × 11 = 110 を2で割る。
= 1102 = 55
▸ 55
1と10、2と9のように前後で組にすると、和が11の組が5つできるので、和は55である。公式 n(n + 1)/2 は、この組み合わせを式に書いたものである。
例題 2
1² + 2² + 3² + 4² の値を求めよ。
1
平方の和の公式 n(n + 1)(2n + 1)/6 に n = 4 を代入する。
Σk² = 4 × 5 × 96
2
4 × 5 × 9 = 180 を6で割る。
= 1806 = 30
▸ 30
1 + 4 + 9 + 16 を直接足しても30になる。項が多くなるほど、公式のほうがずっと速い。
2023 韓国修能 数学 類題
k = 1 から n まで (2k + 1) を足した和を n の式で表すと？
①n(n+2)
②n(n+1)
③n²
④2n+1
⑤n²+1
▸ ① n(n+2)
1
Σ の性質で分けると Σ(2k + 1) = 2Σk + Σ1 で、Σ1 は1を n 回足した n である。
Σ(2k+1) = 2 × n(n+1)2 + n
2
n(n + 1) + n を整理すると n² + 2n = n(n + 2) である。
= n(n+1) + n = n² + 2n = n(n+2)
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