等差数列

Arithmetic Sequence

等差数列は、前の項に一定の数を足し続けてできる数の並びです。 2, 5, 8, 11 のように公差 3 ずつ増える規則が分かれば、何番目の項でも初項 + (n − 1) × 公差ですぐ求められます。さらに初項と末項を組にして足すガウスの発想で、たくさんの項の和も簡単な公式にまとまります。このページでは初項と公差を変えながら、数列とその和がどう変わるかを確かめてみましょう。

等差数列とは — 等間隔の階段

初項 a₁2

公差 d3

項数 n5

💡 等差数列 = 等間隔で増加する数列

①隣接する2項の差が常に同じ（= 公差 d）

②階段の高さが一定なのと同じ

③d > 0 で増加、d < 0 で減少、d = 0 で定数

一般項の公式

等差数列の一般項

a_n = a₁ + (n-1)d

n 番目 = 初項 + (n-1) × 公差

📐 一般項の意味

①a₁ から d を (n-1) 回足す

②直線 y = dx + (a₁ - d) 上の自然数点に対応

③傾き d の1次関数と同じ形

等差数列の和 — 台形の面積

等差数列の和

S_n = n(a₁ + a_n)2

（初項 + 末項）× 項数 / 2

公差で表現

S_n = n2(2a₁ + (n-1)d)

a_n なしで初項と公差から和を計算

💡 ガウスの発見

①1 + 2 + ... + 100 = ?

②先頭と末尾を組む：(1+100) + (2+99) + ... = 101 × 50 = 5050

③これが n(a₁ + a_n)/2 の原理

等差中項

b = a + c2

a, b, c が等差数列 → b は a と c の算術平均

📐 等差中項の活用

①3 数 a, b, c が等差数列 ⟺ 2b = a + c

②中央項 = 両端の平均

③等差数列から等間隔で抜いた項も等差数列

まとめ

等差数列の核心公式

a_n = a₁ + (n-1)d, S_n = n(a₁ + a_n)2

一般項と和を一括整理

🎯 試験ポイント

①一般項：a_n = a₁ + (n-1)d

②和：S_n = n(a₁ + a_n)/2 = n(2a₁ + (n-1)d)/2

③等差中項：2b = a + c

④S_n は n の2次式（d ≠ 0）または1次式（d = 0）

⑤a_n = S_n - S_{n-1}（n ≥ 2）で一般項を逆算

例題と過去問

例題 1

初項 3、公差 2 の等差数列の第10項を求めよ。

一般項 a_n = a₁ + (n−1)d に代入する。

a₁₀ = 3 + (10-1) × 2

計算する。

= 3 + 18 = 21

▸ 第10項 = 21

一般項は初項に公差を (n−1) 回足した値。

例題 2

初項 2、公差 3 の等差数列の初項から第10項までの和を求めよ。

まず第10項を求める。a₁₀ = 2 + 9 × 3 = 29。

a₁₀ = 2 + (10-1) × 3 = 29

和の公式 S_n = n(a₁ + a_n)/2 に代入する。

S₁₀ = 10(2 + 29)2 = 155

▸ 和 = 155

等差数列の和は (初項 + 末項) × 項数 ÷ 2。

2023 修能数学類題

等差数列 {a_n} で a₃ = 7, a₇ = 19 のとき、初項 a₁ と公差 d は？

①a₁ = 1, d = 3

②a₁ = 3, d = 2

③a₁ = 1, d = 4

④a₁ = 2, d = 3

⑤a₁ = 7, d = 3

▸ ① a₁ = 1, d = 3

a₃ = a₁ + 2d = 7, a₇ = a₁ + 6d = 19 の2式を立てる。

a₁ + 2d = 7, a₁ + 6d = 19

差をとると 4d = 12、よって d = 3, a₁ = 1。

4d = 12 ⟹ d = 3, a₁ = 1