数学Ⅰ›数列

等差数列

Arithmetic Sequence

等差数列とは — 等間隔の階段

初項 a₁2

公差 d3

項数 n5

💡 等差数列 = 等間隔で増加する数列

①隣接する2項の差が常に同じ（= 公差 d）

②階段の高さが一定なのと同じ

③d > 0 で増加、d < 0 で減少、d = 0 で定数

一般項の公式

等差数列の一般項

a_n = a₁ + (n-1)d

n 番目 = 初項 + (n-1) × 公差

📐 一般項の意味

①a₁ から d を (n-1) 回足す

②直線 y = dx + (a₁ - d) 上の自然数点に対応

③傾き d の1次関数と同じ形

等差数列の和 — 台形の面積

等差数列の和

S_n = n(a₁ + a_n)2

（初項 + 末項）× 項数 / 2

公差で表現

S_n = n2(2a₁ + (n-1)d)

a_n なしで初項と公差から和を計算

💡 ガウスの発見

①1 + 2 + ... + 100 = ?

②先頭と末尾を組む：(1+100) + (2+99) + ... = 101 × 50 = 5050

③これが n(a₁ + a_n)/2 の原理

等差中項

等差中項

b = a + c2

a, b, c が等差数列 → b は a と c の算術平均

📐 等差中項の活用

①3 数 a, b, c が等差数列 ⟺ 2b = a + c

②中央項 = 両端の平均

③等差数列から等間隔で抜いた項も等差数列

まとめ

等差数列の核心公式

a_n = a₁ + (n-1)d, S_n = n(a₁ + a_n)2

一般項と和を一括整理

🎯 試験ポイント

①一般項：a_n = a₁ + (n-1)d

②和：S_n = n(a₁ + a_n)/2 = n(2a₁ + (n-1)d)/2

③等差中項：2b = a + c

④S_n は n の2次式（d ≠ 0）または1次式（d = 0）

⑤a_n = S_n - S_{n-1}（n ≥ 2）で一般項を逆算