高校2年生 (16-17歳)

数I 等差数列わかりやすく

Arithmetic Sequence

等差数列は、前の項にいつも同じ数を加えてつくる数の並びです。 2, 5, 8, 11は3ずつ増えるので公差は3で、第n項は初項に公差を(n − 1)回加えた値なので、何番目の項でもすぐに求められます。和は、初項と末項、2番目の項と後ろから2番目の項というように組にすると、どの組も和が等しくなることから導かれます。初項と公差を変えると、1つ目の図の階段の高さと2つ目の図の長方形の大きさがいっしょに変わります。

等差数列：同じ高さで上る階段

初項 a₁2

公差 d3

項数 n5

💡 となり合う2項の差はいつも同じ

①後ろの項から前の項を引くと、いつも公差 d になる

②だから棒の上端を結ぶと1本の直線上に並ぶ

③d > 0 なら増え、d < 0 なら減り、d = 0 ならすべての項が等しい

一般項：公差を何回加えたか

等差数列の一般項

a_n = a₁ + (n-1)d

第n項 = 初項 + (n − 1) × 公差

📐 一般項の読み方

①a₁ から出発して d を(n − 1)回加える

②点 (n, aₙ) は傾き d の直線 y = dx + (a₁ − d) 上にある

③だから等差数列は、自然数でだけ値をとる1次関数と見ることができる

和：逆向きに重ねて長方形をつくる

等差数列の和

S_n = n(a₁ + a_n)2

（初項 + 末項） × 項数 ÷ 2

公差で表した和

S_n = n2(2a₁ + (n-1)d)

末項 aₙ がわからないときは、初項と公差だけで計算する

💡 ガウスの組み合わせ

①1 + 2 + … + 100 で、1と100、2と99を組にすると、どの組も和が101になる

②組は50個なので、和は 101 × 50 = 5050 である

③数列を逆向きにもう一度書いて列ごとに足すと、n列すべてが a₁ + aₙ になり、もとの和はその半分である

等差中項

b = a + c2

a, b, c がこの順に等差数列なら、b は a と c の平均である

📐 等差中項の使い方

①3つの数 a, b, c がこの順に等差数列 ⟺ 2b = a + c

②まん中の項は両どなりの2項の平均である

③等差数列から等間隔にとり出した項も、また等差数列になる

④和 Sₙ がわかれば、n ≥ 2 のとき aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ で一般項がもとにもどる

まとめ

等差数列の基本公式

a_n = a₁ + (n-1)d, S_n = n(a₁ + a_n)2

一般項と和を並べて

🎯 試験ポイント

①一般項 aₙ = a₁ + (n − 1)d

②和 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n{2a₁ + (n − 1)d}/2

③等差中項 2b = a + c

④d ≠ 0 なら Sₙ は定数項のない n の2次式である

⑤aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2)、a₁ = S₁

例題と過去問

例題 1

初項が3、公差が2の等差数列の第10項を求めよ。

一般項 aₙ = a₁ + (n − 1)d に n = 10 を代入する。

a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 2

第1項から第10項までに2を9回加えるので、18だけ増える。

= 3 + 18 = 21

▸ a₁₀ = 21

第10項までに公差を加える回数は10回ではなく9回である。初項ははじめから列の先頭に立っているからだ。

例題 2

初項が2、公差が3の等差数列で、初項から第10項までの和を求めよ。

和の公式には末項が入るので、まず第10項を求める。

a₁₀ = 2 + (10 − 1) × 3 = 29

初項と末項の和31に項数10をかけ、2で割る。

S₁₀ = 10(2 + 29)2 = 155

▸ S₁₀ = 155

2と29、5と26、8と23のように前と後ろから1つずつ組にすると、どの組も和が31になる。10項なら5組なので、和は31 × 5 = 155である。

2023 韓国修能数学類題

ある等差数列で a₃ = 7、a₇ = 19 のとき、初項 a₁ と公差 d は？

①a₁ = 1, d = 3

②a₁ = 3, d = 2

③a₁ = 1, d = 4

④a₁ = 2, d = 3

⑤a₁ = 7, d = 3

▸ ① a₁ = 1, d = 3

第3項は初項に公差を2回、第7項は6回加えた値である。

a₁ + 2d = 7, a₁ + 6d = 19

2つの項は4つ離れていて差は 19 − 7 = 12 なので d = 3、すると a₁ = 7 − 2 × 3 = 1 である。

4d = 12 ⟹ d = 3, a₁ = 1

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等比数列

最終更新 2026-10-17

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