共通数学›方程式と不等式

二次方程式

Quadratic Equations

判別式 — 解の個数を先に知る

二次方程式 ax² + bx + c = 0 の判別式 D = b² − 4acで実数解の有無がすぐ分かる。放物線と x 軸の交わり方で直観をつかもう。

b（x の係数）-2

c（定数項）-3

💡 判別式の意味

①D > 0：放物線が x 軸と2点で交わる → 異なる2実数解

②D = 0：x 軸に接する → 重解

③D < 0：x 軸と交わらない → 虚数解

解の公式

x = -b ± √(b² - 4ac)2a

ax² + bx + c = 0 の解

判別式

D = b² − 4ac

D > 0：2実数、D = 0：重解、D < 0：虚数

📐 解の公式の導出直観

①平方完成：(x + b/2a)² = (b²−4ac)/4a²

②両辺の平方根：x + b/2a = ±√D / 2a

③x について整理

解と係数の関係

2解 α, β を直接求めずとも和と積は係数だけで分かる。

p（x の係数）-5

q（定数項）6

解と係数の関係公式

解と係数の関係

α + β = -ba, αβ = ca

ax² + bx + c = 0 の2解の和と積

2解から二次式復元

x² − (α+β)x + αβ = 0

和と積から方程式が作れる

🔑 活用例

①α² + β² = (α+β)² − 2αβ

②1/α + 1/β = (α+β) / αβ

③|α − β| = √((α+β)² − 4αβ) = √D / |a|

まとめ

解の公式

x = -b ± √(b² - 4ac)2a

二次方程式の万能解法

解と係数の関係

α + β = -ba, αβ = ca

解を求めず和・積を計算

🎯 試験ポイント

①判別式 D で解の有無を先に判断

②D = 0 → 接線・重解関連

③解と係数で対称式の値計算

④2解の和・積 → 新たな二次方程式作成

⑤虚数解は共役対 — 一方が分かれば他方も決まる