二次方程式は最高次が2次の方程式で、判別式 D = b² − 4ac ひとつで、解く前に実数解の個数が分かります。
D が正なら異なる二つの実数解、0 なら重解、負なら虚数解となり、放物線と x 軸の交わり方でそのまま見えます。
さらに解と係数の関係を使えば、二つの解を直接求めずに和と積を係数だけで求められます。
このページでは係数をスライダーで変え、放物線と解がどう変わるかを確かめます。
判別式 — 解の個数を先に知る
二次方程式 ax² + bx + c = 0 の判別式 D = b² − 4ac で実数解の有無がすぐ分かる。放物線と x 軸の交わり方で直観をつかもう。
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判別式 D による放物線と x 軸の関係 💡 判別式の意味
①D > 0：放物線が x 軸と2点で交わる → 異なる2実数解
②D = 0：x 軸に接する → 重解
③D < 0：x 軸と交わらない → 虚数解
解の公式
解の公式
x = -b ± √(b² - 4ac) 2a
ax² + bx + c = 0 の解
判別式
D = b² − 4ac
D > 0：2実数、D = 0：重解、D < 0：虚数
📐 解の公式の導出直観
①平方完成：(x + b/2a)² = (b²−4ac)/4a²
②両辺の平方根：x + b/2a = ±√D / 2a
③x について整理
解と係数の関係
2解 α, β を直接求めずとも和と積 は係数だけで分かる。
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x² + px + q = 0 の2解と和・積 解と係数の関係公式
解と係数の関係
α + β = - b a , αβ = c a
ax² + bx + c = 0 の2解の和と積
2解から二次式復元
x² − (α+β)x + αβ = 0
和と積から方程式が作れる
🔑 活用例
①α² + β² = (α+β)² − 2αβ
②1/α + 1/β = (α+β) / αβ
③|α − β| = √((α+β)² − 4αβ) = √D / |a|
実際に解いてみる
例題 1
二次方程式 x² − 5x + 6 = 0 の二つの解を求めよ。
1 左辺を因数分解する。
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0
2 各因数を 0 とおく。
x = 2 または x = 3
▸ x = 2 または x = 3
因数分解できれば解の公式より速い。
例題 2
二次方程式 x² − 7x + 10 = 0 の二つの解を α, β とするとき、α² + β² の値を求めよ。
1 解と係数の関係から和と積を求める。
α + β = 7, αβ = 10
2 α² + β² = (α + β)² − 2αβ に代入する。
= 7² − 2·10 = 49 − 20 = 29
▸ α² + β² = 29
解を直接求めず、和と積で対称式を計算する。
まとめ
解の公式
x = -b ± √(b² - 4ac) 2a
二次方程式の万能解法
解と係数の関係
α + β = - b a , αβ = c a
解を求めず和・積を計算
教育庁 高1 学力評価 類型
二次方程式 x² − 4x + k = 0 が重解をもつとき、定数 k の値は?
▸ ④ 4
1 重解の条件は判別式 D = 0。
D = b² − 4ac = (−4)² − 4·1·k
2 D = 0 を解いて k を求める。
16 − 4k = 0 ⇒ k = 4
🎯 試験ポイント
①判別式 D で解の有無を先に判断
②D = 0 → 接線・重解関連
③解と係数で対称式の値計算
④2解の和・積 → 新たな二次方程式作成
⑤虚数解は共役対 — 一方が分かれば他方も決まる