数I 二次方程式 わかりやすく
Quadratic Equations
2次方程式は最高次の項が2次の方程式で、判別式D = b² − 4acを1つ計算するだけで、解を求める前に実数解がいくつあるかがわかります。
Dが正なら異なる2つの実数解、0なら重解、負なら異なる2つの虚数解で、これは放物線y = ax² + bx + cがx軸と2点で交わるか、接するか、交わらないかとぴったり一致します。
解と係数の関係を使えば、2つの解を求めなくても、解の和と積を係数だけで知ることができます。
1つ目の図ではb, cによって放物線とx軸の交わり方が、2つ目の図ではp, qによって2つの解とその和と積が変わります。
判別式で解の個数がわかる
2次方程式ax² + bx + c = 0は、判別式D = b² − 4acの符号を見るだけで、実数解がいくつあるかがわかる。放物線とx軸の交わり方といっしょに見ると、そのわけがはっきりする。
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判別式Dの符号によって、放物線y = x² + bx + cがx軸と2点で交わる、接する、交わらないようす💡 判別式からわかること
①D > 0なら放物線はx軸と2点で交わり、方程式は異なる2つの実数解をもつ
②D = 0なら放物線はx軸に接し、方程式は重解をもつ
③D < 0なら放物線はx軸と交わらず、方程式は異なる2つの虚数解をもつ
④図ではa = 1に固定しているので、D = b² − 4cである
解の公式
2次方程式の解の公式
x = -b ± √(b² - 4ac)2a
ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）の解
判別式
D = b² − 4ac
D > 0：異なる2つの実数解、D = 0：重解、D < 0：異なる2つの虚数解
📐 解の公式はどう出てくるか
①両辺をaで割って平方完成すると、(x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²)となる
②両辺の平方根をとると、x + b/(2a) = ±√D/(2a)となる
③xについて整理すると解の公式になる
④√Dがふくまれるので、Dの符号が解の種類を決める
解と係数の関係
2つの解α, βを求めなくても、解の和と積は係数だけでわかる。
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x² + px + q = 0の2つの解α, βを数直線上に表し、和α + βと積αβを書いた図解と係数の関係の公式
解と係数の関係
α + β = -ba, αβ = ca
ax² + bx + c = 0の2つの解α, βの和と積
2つの解から2次方程式をつくる
x² − (α + β)x + αβ = 0
和と積がわかれば、x²の係数が1の2次方程式がすぐに書ける
🔑 こう使う
①α² + β² = (α + β)² − 2αβ
②1/α + 1/β = (α + β)/(αβ)
③実数解のとき、|α − β| = √((α + β)² − 4αβ) = √D/|a|
④2つ目の図で、D < 0で数直線上に解がないときも、和と積はそのまま計算される。虚数解もこの関係を満たすからである
例題と単元テスト
例題 1
2次方程式x² − 5x + 6 = 0の2つの解を求めよ。
1左辺を因数分解する。
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0
2それぞれの因数を0とおく。
x = 2 または x = 3
▸ x = 2 または x = 3
2つの解の和5と積6は、それぞれ−(−5)/1、6/1と等しく、解と係数の関係でも確かめられる。
例題 2
2次方程式x² − 7x + 10 = 0の2つの解をα, βとするとき、α² + β²の値を求めよ。
1解と係数の関係で和と積を求める。
α + β = 7, αβ = 10
2α² + β² = (α + β)² − 2αβに代入する。
= 7² − 2·10 = 49 − 20 = 29
▸ α² + β² = 29
実際に2つの解は2と5なので、2² + 5² = 29となる。解を求めなくても同じ答えにたどり着く。
まとめ
解の公式
x = -b ± √(b² - 4ac)2a
どんな2次方程式にも使える解き方
解と係数の関係
α + β = -ba, αβ = ca
解を求めずに和と積を計算する
教育庁 高1 学力評価 類型
二次方程式 x² − 4x + k = 0 が重解をもつとき、定数 k の値は？
▸ ④ 4
1重解の条件は判別式 D = 0。
D = b² − 4ac = (−4)² − 4·1·k
2D = 0 を解いて k を求める。
16 − 4k = 0 ⇒ k = 4
🎯 よく出るポイント
①判別式Dで、まず解の種類を判断する
②D = 0という条件は、接線や重解の問題でよく使う
③解と係数の関係で、α² + β²のような対称式の値を求める
④2つの解の和と積から新しい2次方程式をつくる
⑤係数が実数の2次方程式の虚数解はたがいに共役な複素数なので、1つがわかればもう1つも決まる
最終更新