複素数

Complex Numbers

複素数は、2乗すると −1 になる新しい数 i を導入して実数の世界を広げた数です。負の数の平方根は実数では表せませんが、i を使えばすべての二次方程式が必ず解を持ちます。 a + bi の形で書き、実部と虚部からなり、共役複素数を掛けると再び実数に戻ります。このページでは複素数を複素平面上の点として表し、加法と乗法がどんな動きになるかを確かめます。

虚数単位 i の誕生

x² = -1 の解を必要として i² = -1 の数を作った。i は実数軸から外れて新しい次元を開く。

i の累乗5

💡 i の循環

①i⁰ = 1、i¹ = i、i² = -1、i³ = -i

②i⁴ = 1 に戻る → 4周期循環

③i^n：n を4で割った余りで決まる

複素平面 — 複素数を点で

複素数 z = a + bi は複素平面の点 (a, b) で表す。横軸が実部、縦軸が虚部。

実部 a3

虚部 b2

🔑 複素平面の核心

①z = a + bi → 点 (a, b)

②z̄ = a - bi → 実軸対称 (a, -b)

③|z| = 原点までの距離 = √(a² + b²)

複素数の演算

複素数の加法

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

実部同士、虚部同士を足す

複素数の乗法

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

分配後 i² = -1 を適用

共役複素数の積

z · z̄ = (a+bi)(a-bi) = a² + b² = |z|²

結果は常に実数（虚部が消える）

複素数の相等条件

複素数の相等

a + bi = c + di ⟺ a = c, b = d

実部と虚部がそれぞれ等しい

📐 相等条件の活用

①複素数方程式で実部・虚部を比較して未知数を決定

②z = z̄ ⟺ b = 0（純実数条件）

③z = -z̄ ⟺ a = 0（純虚数条件）

実際に解いてみる

例題 1

(2 + 3i)(1 − 2i) を a + bi の形で表せ。(i は虚数単位)

分配法則で展開する。

2 − 4i + 3i − 6i²

i² = −1 を代入して整理する。

2 − i + 6 = 8 − i

▸ 8 − i

i² = −1 を代入する瞬間が複素数の積の核心。

例題 2

i + i² + i³ + … + i¹⁰ の値を求めよ。

i の累乗は i, −1, −i, 1 が周期 4 で繰り返し、連続する 4 項の和は 0。

i + i² + i³ + i⁴ = 0

i¹ から i⁸ までの和は 0 で、残るのは i⁹ + i¹⁰。

i⁹ + i¹⁰ = i + (−1) = −1 + i

▸ −1 + i

累乗は指数を 4 で割った余りで判断する。

まとめ

虚数単位

i² = -1、i の累乗は4周期循環

i⁰=1, i¹=i, i²=-1, i³=-i

絶対値

|z| = |a + bi| = √(a² + b²)

複素平面で原点までの距離

高1 校内試験類型

複素数 z = 3 − 4i について z·z̄ の値は?(z̄ は z の共役複素数)

①5

②7

③25

④−7

⑤−25

▸ ③ 25

共役複素数は z̄ = 3 + 4i なので、二つを掛ける。

z·z̄ = (3 − 4i)(3 + 4i)

和と差の積の公式で整理する。

= 3² − (4i)² = 9 + 16 = 25

🎯 試験ポイント

①i の累乗：指数を4で割った余り

②複素数の除法：分母の共役を掛けて実数化

③z · z̄ = |z|² は必ず暗記

④相等条件：実部・虚部を別々に比較

⑤複素平面：共役複素数は実軸対称