共通数学›方程式と不等式

複素数

Complex Numbers

虚数単位 i の誕生

x² = -1 の解を必要として i² = -1 の数を作った。i は実数軸から外れて新しい次元を開く。

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💡 i の循環
①i⁰ = 1、i¹ = i、i² = -1、i³ = -i
②i⁴ = 1 に戻る → 4周期循環
③i^n：n を4で割った余りで決まる
複素平面 — 複素数を点で

複素数 z = a + bi は複素平面の点 (a, b) で表す。横軸が実部、縦軸が虚部。

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🔑 複素平面の核心
①z = a + bi → 点 (a, b)
②z̄ = a - bi → 実軸対称 (a, -b)
③|z| = 原点までの距離 = √(a² + b²)
複素数の演算
複素数の加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
実部同士、虚部同士を足す
複素数の乗法
(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
分配後 i² = -1 を適用
共役複素数の積
z · z̄ = (a+bi)(a-bi) = a² + b² = |z|²
結果は常に実数（虚部が消える）
複素数の相等条件
複素数の相等
a + bi = c + di ⟺ a = c, b = d
実部と虚部がそれぞれ等しい
📐 相等条件の活用
①複素数方程式で実部・虚部を比較して未知数を決定
②z = z̄ ⟺ b = 0（純実数条件）
③z = -z̄ ⟺ a = 0（純虚数条件）
まとめ
虚数単位
i² = -1、i の累乗は4周期循環
i⁰=1, i¹=i, i²=-1, i³=-i
絶対値
|z| = |a + bi| = √(a² + b²)
複素平面で原点までの距離
🎯 試験ポイント
①i の累乗：指数を4で割った余り
②複素数の除法：分母の共役を掛けて実数化
③z · z̄ = |z|² は必ず暗記
④相等条件：実部・虚部を別々に比較
⑤複素平面：共役複素数は実軸対称