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高校1年生 (15-16歳)

数I 複素数 わかりやすく

Complex Numbers

実数は2乗すると0以上になるので、x² = −1を満たす実数はありません。そこで、2乗すると−1になる新しい数iを取り入れて数の範囲を広げたのが複素数です。 複素数はa + bi（a, bは実数）の形で書き、aを実部、bを虚部といいます。こう広げると、判別式が負の2次方程式も解をもつようになります。 a + biとa − biはたがいに共役な複素数で、2つをかけるとa² + b²という実数になります。複素数の割り算はこの性質を使います。 1つ目の図ではiを累乗したときの値が4つの位置を回り、2つ目の図では複素数a + biとその共役な複素数が平面上の点として表されます。

虚数単位i

x² = −1を満たす数が必要なので、i² = −1となる数iを新しく定めた。iを使うと、数は実数の直線を飛び出して新しい方向へ広がることができる。

5
💡 iの累乗は4つずつくり返す
①i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −iである
②i⁴ = i² × i² = 1となってはじめにもどるので、値は4つを周期としてくり返す
③だから、iⁿの値はnを4で割った余りだけで決まる
④図の下の割り算が、まさにこの余りを求める計算である

複素数を平面上の点で表す

複素数z = a + biを複素数平面上の点(a, b)で表すと、横軸が実部を、縦軸が虚部を表す。

3
2
🔑 複素数平面で読み取ること
①z = a + biは点(a, b)である
②共役な複素数z̄ = a − biは点(a, −b)で、実軸に関してzと対称である
③|z|は原点から点(a, b)までの距離なので√(a² + b²)である
④z · z̄ = a² + b² = |z|²はいつも実数なので、割り算では分母と共役な複素数を分子と分母にかけて、分母を実数にする

複素数の計算

足し算
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
実部どうし、虚部どうしを足す
かけ算
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
分配法則で展開してから i² = −1 を使う
共役な複素数どうしの積
z · z̄ = (a + bi)(a − bi) = a² + b² = |z|²
虚部が消えて、いつも実数になる

2つの複素数が等しい条件

複素数の相等
a + bi = c + di ⟺ a = c, b = d
a, b, c, dが実数のとき、実部どうし、虚部どうしがそれぞれ等しい
📐 相等の条件の使い方
①複素数をふくむ方程式は、両辺の実部と虚部をそれぞれ比べて未知数を求める
②z = z̄ならb = 0なので、zは実数である
③z = −z̄ならa = 0なので、zは0または純虚数である

例題と単元テスト

例題 1
(2 + 3i)(1 − 2i)をa + biの形で表せ。ただし、iは虚数単位とする。
1
分配法則で展開する。
2 − 4i + 3i − 6i²
2
i² = −1を代入し、実部と虚部を整理する。
2 − i + 6 = 8 − i
▸ 8 − i
−6i²が+6になるところが、複素数のかけ算のかなめである。この符号を見落とすと−4 − iというまちがった答えになる。
例題 2
i + i² + i³ + … + i¹⁰の値を求めよ。
1
iの累乗はi, −1, −i, 1の4つを周期にくり返し、続く4項の和は0である。
i + i² + i³ + i⁴ = 0
2
i¹からi⁸までの和は0なので、i⁹ + i¹⁰だけが残る。
i⁹ + i¹⁰ = i + (−1) = −1 + i
▸ −1 + i
9 ÷ 4の余りは1、10 ÷ 4の余りは2なので、i⁹ = i、i¹⁰ = i² = −1である。上の1つ目の図でnを9、10にして確かめられる。

まとめ

虚数単位
i² = −1、iの累乗は4つを周期にくり返す
i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i
複素数の絶対値
|z| = |a + bi| = √(a² + b²)
複素数平面での原点からの距離
高1 校内試験 類型
複素数 z = 3 − 4i について z·z̄ の値は？（z̄ は z の共役複素数）
①5
②7
③25
④−7
⑤−25
▸ ③ 25
1
共役複素数は z̄ = 3 + 4i なので、二つを掛ける。
z·z̄ = (3 − 4i)(3 + 4i)
2
和と差の積の公式で整理する。
= 3² − (4i)² = 9 + 16 = 25
🎯 よく出るポイント
①iⁿは指数nを4で割った余りで計算する
②複素数の割り算は、分母と共役な複素数を分子と分母にかけて分母を実数にする
③z · z̄ = |z|²は必ず覚える
④複素数の相等は、実部と虚部を別々に比べる
⑤複素数平面では、共役な複素数は実軸に関して対称である
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