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高校1年生 (15-16歳)

数I 色々な方程式 わかりやすく

Various Equations

いろいろな方程式では、2次をこえる3次方程式・4次方程式と、未知数が2つの連立方程式をあつかいます。 3次方程式の実数解はグラフがx軸と交わる点のx座標なので、因数定理で解を1つ見つけ、組立除法で次数を下げれば、残った2次方程式で解けます。 連立方程式の解は2つのグラフが交わる点で、1次式と2次式からなる連立方程式は、一方の式をもう一方に代入して未知数が1つの方程式にして解きます。 1つ目の図ではp, qによって3次関数がx軸と交わる点の個数が、2つ目の図では傾きkによって放物線と直線の交点が変わります。

3次方程式の解をグラフで見つける

3次方程式x³ + px + q = 0の実数解は、グラフがx軸と交わる点のx座標である。係数を変えると、実数解の個数が1個、2個、3個と変わる。

-3
2
💡 3次方程式の実数解
①3次関数のグラフは左下から右上へとのびるので、x軸と少なくとも1回は交わる。だから3次方程式は実数解を少なくとも1つもつ
②pが負でその絶対値が大きいと、グラフが大きく波打ってx軸と3回交わることがある
③グラフがx軸に接するところは重解である。はじめの図のx³ − 3x + 2 = (x − 1)²(x + 2)はx = 1で接している
④解くときは、因数定理で解を1つ見つけ、組立除法で2次式に下げる

3次方程式・4次方程式の解き方

因数定理を使う
整数解の候補 → 組立除法 → 2次式に下げる
定数項の約数を代入して0になる値を見つける
置き換えを使う
x⁴ + ax² + b = 0 → x² = tとおく
4次方程式がtの2次方程式になる
🔑 解く手順
①まず共通因数がないか見る
②定数項の約数を代入して解を1つ見つける
③組立除法で次数を1つ下げる
④残った2次方程式は因数分解か解の公式で解く

連立方程式と2つのグラフの交点

連立方程式の解は、2つのグラフが交わる点の座標である。1次式と2次式からなる連立方程式は、一方の式をもう一方に代入して解く。

2
📐 連立方程式の解き方
①一方の式をもう一方に代入して、未知数が1つの方程式にする
②x² = kx + 1を整理するとx² − kx − 1 = 0になる
③この2次方程式の判別式はD = k² + 4で、kによらずいつも正なので、図の直線は放物線といつも2点で交わる
④2つの交点の座標が連立方程式の解である

特別な方程式

絶対値をふくむ方程式
|f(x)| = g(x) → f(x) = g(x) または f(x) = −g(x)
g(x) ≥ 0を確かめながら、2つの場合に分けて解く
無理方程式
√(f(x)) = g(x) → f(x) = g(x)², g(x) ≥ 0
両辺を2乗したあと、必ずもとの式に代入して確かめる

例題と単元テスト

例題 1
3次方程式x³ − 8 = 0の実数解を求めよ。
1
3乗の差の公式で因数分解する。
x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4) = 0
2
x − 2 = 0から実数解が得られる。x² + 2x + 4 = 0は判別式が4 − 16 < 0なので虚数解をもつ。
x = 2 （x² + 2x + 4 = 0の2つの解は虚数解）
▸ x = 2
x³ − 8 = 0の解は全部で3つあるが、そのうち実数解は1つだけである。グラフy = x³ − 8もx軸と1回しか交わらない。
例題 2
連立方程式x + y = 5, x² + y² = 13を解け。
1
x + y = 5からy = 5 − xとし、2つ目の式に代入する。
x² + (5 − x)² = 13
2
整理すると2x² − 10x + 12 = 0、つまりx² − 5x + 6 = 0なので、(x − 2)(x − 3) = 0である。
x² − 5x + 6 = 0 ⇒ (x, y) = (2, 3) または (3, 2)
▸ (x, y) = (2, 3) または (3, 2)
円x² + y² = 13と直線x + y = 5が、2点(2, 3), (3, 2)で交わるということでもある。

まとめ

高次方程式を解くかなめ
因数定理 + 組立除法 → 次数を下げる
3次・4次方程式を2次以下に分解する
教育庁 高1 学力評価 類型
三次方程式 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 の三つの実数解の和を求めよ。
①3
②4
③5
④6
⑤7
▸ ④ 6
1
三次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 の三つの解の和は −b/a。
α + β + γ = −b/a
2
a = 1, b = −6 を代入する。
α + β + γ = −(−6)/1 = 6
🎯 よく出るポイント
①3次方程式は実数解を少なくとも1つもつ
②x²とx⁴のように偶数次の項だけの4次方程式は、x² = tとおいてみる
③連立方程式は代入して未知数が1つの方程式にする
④無理方程式は両辺を2乗したあと、無縁解を取りのぞく
⑤絶対値をふくむ方程式は場合分けし、それぞれの条件を確かめる
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最終更新

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