共通数学›方程式と不等式

色々な方程式

Various Equations

三次方程式 — グラフで解を見つける

三次方程式 x³ + px + q = 0 の解はグラフが x 軸と交わる点です。係数を変えて解の個数の変化を観察しよう。

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💡 三次方程式の解
①三次方程式は少なくとも1つの実数解を持つ
②|p| が大きく曲がりが強ければ実数解3つも可能
③因数定理で1つの解を見つけ → 組立除法で2次に下げる
三次・四次方程式の解法戦略
因数分解戦略
整数解候補 → 組立除法 → 2次式に縮小
定数項の約数を代入して解を探す
置換の活用
x⁴ + ax² + b = 0 → t = x² で置換
4次式が2次式に変換
🔑 解法の順序
①共通因数を確認
②整数解候補（定数項の約数）を代入
③組立除法で次数を下げる
④残った2次式に解の公式を適用
連立方程式 — グラフの交点

連立方程式の解は2グラフの交点です。1次と2次の連立は代入法で解ける。

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📐 連立方程式の解法
①一方を他方に代入して1変数方程式に変換
②x² = kx + 1 → x² − kx − 1 = 0
③判別式で交点の個数を判断
④交点座標 = 連立方程式の解
特殊な方程式
絶対値方程式
|f(x)| = g(x) → f(x) = ±g(x)
2 通りに分けて解く（g(x) ≥ 0 確認）
無理方程式
√(f(x)) = g(x) → f(x) = g(x)², g(x) ≥ 0
両辺2乗後に必ず検算
まとめ
高次方程式の解法の核心
因数定理 + 組立除法 → 次数を下げる
三次・四次を二次に分解
🎯 試験ポイント
①三次：必ず1つ以上の実数解
②四次：t = x² 置換を試す（偶数次のみのとき）
③連立：代入法で1変数化
④無理方程式：両辺2乗後に必ず検算（無縁解!)
⑤絶対値：場合分け後にそれぞれの条件を確認