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単語帳
高校1年生 (15-16歳)

色々な方程式

Various Equations

色々な方程式では、二次を超える三次・四次方程式や連立方程式を扱います。 三次方程式の解はグラフが x 軸と交わる点なので、因数定理で一つの解を見つけ、組立除法で二次式まで下げて解きます。 連立方程式の解は二つのグラフの交点で、絶対値や無理式を含む方程式は場合分けや、両辺を2乗してから検算して解きます。 このページでは係数を変え、三次関数の実数解の個数や二曲線の交点がどう変わるかを観察します。

三次方程式 — グラフで解を見つける

三次方程式 x³ + px + q = 0 の解はグラフが x 軸と交わる点です。係数を変えて解の個数の変化を観察しよう。

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2
💡 三次方程式の解
①三次方程式は少なくとも1つの実数解を持つ
②|p| が大きく曲がりが強ければ実数解3つも可能
③因数定理で1つの解を見つけ → 組立除法で2次に下げる
三次・四次方程式の解法戦略
因数分解戦略
整数解候補 → 組立除法 → 2次式に縮小
定数項の約数を代入して解を探す
置換の活用
x⁴ + ax² + b = 0 → t = x² で置換
4次式が2次式に変換
🔑 解法の順序
①共通因数を確認
②整数解候補(定数項の約数)を代入
③組立除法で次数を下げる
④残った2次式に解の公式を適用
連立方程式 — グラフの交点

連立方程式の解は2グラフの交点です。1次と2次の連立は代入法で解ける。

2
📐 連立方程式の解法
①一方を他方に代入して1変数方程式に変換
②x² = kx + 1 → x² − kx − 1 = 0
③判別式で交点の個数を判断
④交点座標 = 連立方程式の解
特殊な方程式
絶対値方程式
|f(x)| = g(x) → f(x) = ±g(x)
2 通りに分けて解く(g(x) ≥ 0 確認)
無理方程式
√(f(x)) = g(x) → f(x) = g(x)², g(x) ≥ 0
両辺2乗後に必ず検算
実際に解いてみる
例題 1
三次方程式 x³ − 8 = 0 の実数解を求めよ。
1
立方の差の公式で因数分解する。
x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4) = 0
2
x − 2 = 0 から実数解、x² + 2x + 4 = 0 は判別式 D = 4 − 16 < 0 で虚数解。
x = 2 (x² + 2x + 4 = 0 は虚数解)
実数解は x = 2
三次式は因数分解後、判別式で実数解と虚数解を見分ける。
例題 2
連立方程式 x + y = 5, x² + y² = 13 を解け。
1
x + y = 5 から y = 5 − x を第二式に代入する。
x² + (5 − x)² = 13
2
整理すると x² − 5x + 6 = 0、すなわち (x − 2)(x − 3) = 0。
x² − 5x + 6 = 0 ⇒ (x, y) = (2, 3) または (3, 2)
(x, y) = (2, 3) または (3, 2)
一次式を一文字について整理し、二次式に代入する(代入法)。
まとめ
高次方程式の解法の核心
因数定理 + 組立除法 → 次数を下げる
三次・四次を二次に分解
教育庁 高1 学力評価 類型
三次方程式 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 の三つの実数解の和を求めよ。
3
4
5
6
7
④ 6
1
三次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 の三つの解の和は −b/a。
α + β + γ = −b/a
2
a = 1, b = −6 を代入する。
α + β + γ = −(−6)/1 = 6
🎯 試験ポイント
①三次:必ず1つ以上の実数解
②四次:t = x² 置換を試す(偶数次のみのとき)
③連立:代入法で1変数化
④無理方程式:両辺2乗後に必ず検算(無縁解!)
⑤絶対値:場合分け後にそれぞれの条件を確認
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