平面座標と直線の方程式

Plane Coordinates & Line Equations

座標平面では、横と縦の差でできる直角三角形の斜辺がそのまま2点間の距離になり、これはピタゴラスの定理そのものです。 2点のちょうど真ん中である中点は、x座標どうしとy座標どうしを平均すれば求まります。また直線は、傾きとy切片という二つの値だけで完全に決まります。点Bを動かして距離と直角三角形の変化を見て、傾きと切片を変えて直線が回転し上下する様子を確かめましょう。

2点間の距離と中点

座標平面で2点の距離はピタゴラス、中点は座標の平均で求める。

B の x座標4

B の y座標3

💡 距離と中点の直観

①距離 = 直角三角形の斜辺（ピタゴラス）

②中点 = 2座標の平均

③Δx, Δy の直角三角形で考えると明確

距離・中点公式

2点間の距離

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

ピタゴラスの座標版

中点の座標

M = (x₁ + x₂2, y₁ + y₂2)

各座標の算術平均

直線の方程式 — 傾きと y切片

傾き m2

y切片 b-1

傾き-切片形

y = mx + b

m：傾き（Δy/Δx）、b：y切片

1点と傾き

y - y₁ = m(x - x₁)

点 (x₁, y₁) を通り傾き m の直線

直線の諸形式と点と直線の距離

一般形

ax + by + c = 0

すべての直線を含む（鉛直線含む）

点と直線の距離

d = |ax₁ + by₁ + c|√(a² + b²)

点 (x₁, y₁) から直線 ax + by + c = 0 まで

📐 2直線の関係

①平行：m₁ = m₂

②垂直：m₁ · m₂ = -1

③一致：傾き・切片ともに同じ

実際に解いてみる

例題 1

2 点 A(1, 2), B(7, 8) を 2 : 1 に内分する点 P の座標を求めよ。

内分点の公式に m : n = 2 : 1 を当てはめる。

P = ( (2·7 + 1·1)/3, (2·8 + 1·2)/3 )

計算する。

P = (15/3, 18/3) = (5, 6)

▸ P(5, 6)

比 m : n では遠い端点に m、近い端点に n を掛ける。

例題 2

2 点 A(−1, 3), B(3, −1) について線分 AB の長さと中点 M の座標を求めよ。

距離の公式と中点の公式を使う。

AB = √((3 − (−1))² + (−1 − 3)²) = √(16 + 16)

整理する。

AB = √32 = 4√2、M = ((−1 + 3)/2, (3 + (−1))/2) = (1, 1)

▸ AB = 4√2、中点 M(1, 1)

距離と中点は座標をそのまま公式に代入する。

まとめ

距離公式

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

座標平面の基本ツール

点と直線の距離

d = |ax₀ + by₀ + c|√(a² + b²)

垂線の足までの最短距離

高1 校内試験類型

点 (2, 3) と直線 3x − 4y + 1 = 0 の距離を求めよ。

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ① 1

点と直線の距離の公式を使う。

d = |a·x₁ + b·y₁ + c| / √(a² + b²)

値を代入する。

d = |3·2 − 4·3 + 1| / √(9 + 16) = |−5| / 5 = 1

🎯 試験ポイント

①距離公式：ルート内に座標差の2乗の和

②中点：内分点の特別な場合（1:1 内分）

③傾き：tanθ で解釈 — 傾きの角度

④点と直線の距離：分子の絶対値、分母のルート注意

⑤垂直条件 m₁m₂ = -1 は頻出