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高校1年生 (15-16歳)

数I 平面座標と直線の方程式 わかりやすく

Plane Coordinates & Line Equations

座標平面では、2点の座標がわかれば2点間の距離を計算できます。横の差と縦の差を2辺とする直角三角形をかくと、斜辺がそのまま2点間の距離になるので、三平方の定理を使えばよいのです。 2点のまん中にある中点は、x座標どうし、y座標どうしの平均をとって求めます。 直線は、どれだけかたむいているかを表す傾きと、y軸と交わるy切片の2つの値を決めれば、ただ1つに決まります。 1つ目の図で点Bを動かすと直角三角形と距離、中点がいっしょに変わり、2つ目の図で傾きとy切片を変えると直線が回ったり上下に動いたりします。

2点間の距離と中点

座標平面上の2点間の距離は三平方の定理で、2点の中点は座標の平均で求める。

4
3
💡 距離と中点の見方
①2点間の距離は、横の差Δxと縦の差Δyを2辺とする直角三角形の斜辺である
②だから距離は√(Δx² + Δy²)である
③中点は、2点のx座標どうし、y座標どうしをそれぞれ足して2でわった点である
④図ではAは(1, 1)に固定され、Bだけが動く

距離と中点の公式

2点間の距離
d = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²)
三平方の定理を座標で書いたもの
中点の座標
M = (x1 + x22, y1 + y22)
x座標、y座標をそれぞれ平均する

直線の方程式：傾きとy切片

2
-1
傾きとy切片で表した直線
y = mx + b
mは傾き（xが1増えたときのyの増加量）、bはy切片
1点と傾きで表した直線
y − y1 = m(x − x1)
点(x₁, y₁)を通り、傾きがmの直線

直線の一般形と、点と直線の距離

直線の一般形
ax + by + c = 0
y軸に平行な直線（x = k）もふくめ、すべての直線を表せる
点と直線の距離
d = |ax1 + by1 + c|√(a² + b²)
点(x₁, y₁)から直線ax + by + c = 0まで
📐 2直線の位置関係
①2直線の傾きが等しく、y切片がちがえば平行である
②傾きもy切片も等しければ一致する
③傾きの積が−1、つまりm₁m₂ = −1なら垂直である

例題と単元テスト

例題 1
2点A(1, 2), B(7, 8)を結ぶ線分ABを2 : 1に内分する点Pの座標を求めよ。
1
AP : PB = m : nのとき、内分点はP = ((m·x₂ + n·x₁)/(m + n), (m·y₂ + n·y₁)/(m + n))である。これにm : n = 2 : 1を代入する。
P = ( (2·7 + 1·1)/3, (2·8 + 1·2)/3 )
2
計算する。
P = (15/3, 18/3) = (5, 6)
▸ P(5, 6)
比の前の数mはBの座標に、うしろの数nはAの座標に、たすきにかける。PがB寄りになっているか確かめると、まちがいを減らせる。
例題 2
2点A(−1, 3), B(3, −1)について、線分ABの長さと中点Mの座標を求めよ。
1
距離の公式と中点の公式を使う。
AB = √((3 − (−1))² + (−1 − 3)²) = √(16 + 16)
2
整理する。
AB = √32 = 4√2, M = ((−1 + 3)/2, (3 + (−1))/2) = (1, 1)
▸ AB = 4√2、M(1, 1)
横の差も縦の差も4なので、線分ABは1辺が4の正方形の対角線と同じ長さである。

まとめ

2点間の距離
d = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²)
座標平面でいちばん基本になる道具
点と直線の距離
d = |ax0 + by0 + c|√(a² + b²)
点から直線に下ろした垂線の長さ、つまりいちばん短い距離
高1 校内試験 類型
点 (2, 3) と直線 3x − 4y + 1 = 0 の距離を求めよ。
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ① 1
1
点と直線の距離の公式を使う。
d = |a·x₁ + b·y₁ + c| / √(a² + b²)
2
値を代入する。
d = |3·2 − 4·3 + 1| / √(9 + 16) = |−5| / 5 = 1
🎯 よく出るポイント
①距離の公式は、座標の差の2乗を足して平方根をとる
②中点は線分を1 : 1に内分する点である
③傾きmは、直線がx軸の正の向きとなす角θを使ってm = tan θと表せる
④点と直線の距離では、分子の絶対値と分母の平方根を忘れない
⑤2直線が垂直になる条件m₁m₂ = −1はよく出る
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