色々な不等式

Various Inequalities

二次不等式を解くとは、結局その放物線が x 軸より下にあるか上にあるかを見分けることです。判別式 D の符号でまず解の有無を確かめ、答えは2つの解の間か外かに分かれます。絶対値不等式 |x| < a は原点からの距離が a より近い区間を意味し、連立不等式は各不等式の解が重なる共通部分を求める問題です。係数スライダーを動かして緑の解の領域が伸び縮みし、D が負のとき解が消える瞬間を、そして数直線上の絶対値不等式の区間を確かめてみましょう。

二次不等式 — 放物線の上下領域

二次不等式 ax² + bx + c ≤ 0 の解は放物線が x 軸より下にある区間。まず判別式 D で解の有無を判断する。

p（x の係数）-2

q（定数項）-3

💡 二次不等式の解

①x² + px + q ≤ 0：2解の間（α ≤ x ≤ β）

②x² + px + q ≥ 0：2解の外（x ≤ α または x ≥ β）

③D < 0 かつ a > 0：x² + px + q > 0 は常に成立

二次不等式の体系

二次不等式の解法

f(x) = a(x − α)(x − β) ≤ 0（a > 0 なら α ≤ x ≤ β）

因数分解後に符号判定

D < 0 のとき

a > 0：常に正、a < 0：常に負

判別式が負なら符号は変わらない

📐 符号表の方法

①f(x) を a(x − α)(x − β) に因数分解

②数直線に解 α, β を記す

③各区間で符号を決定

④求める符号の区間が解

絶対値不等式

a の値3

絶対値不等式

|x| < a ⟺ -a < x < a

原点からの距離が a 未満

絶対値不等式（逆）

|x| > a ⟺ x < -a または x > a

原点からの距離が a 超

連立不等式

連立不等式の解

A ∩ B（2 不等式の解の共通部分）

各不等式の解を求めた上で共通部分

🔑 解法戦略

①各不等式を別々に解く

②数直線に各解を表示

③重なる区間（共通部分）が連立の解

④重ならない場合は「解なし」

実際に解いてみる

例題 1

二次不等式 x² − x − 6 < 0 を解け。

左辺を因数分解する。

x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) < 0

下に凸の二次式は二つの解の間で負。

−2 < x < 3

▸ −2 < x < 3

下に凸の二次式が 0 より小さい区間は二つの解の間。

例題 2

連立不等式 2x − 1 > 3, x² − 5x + 4 ≤ 0 の解を求めよ。

各不等式を別々に解く。

x > 2 かつ (x − 1)(x − 4) ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤ 4

二つの解の共通範囲を求める。

2 < x ≤ 4

▸ 2 < x ≤ 4

連立不等式は各解の共通部分（積集合）を求める。

まとめ

二次不等式

a(x − α)(x − β) ≤ 0, a > 0 → α ≤ x ≤ β

放物線と x 軸の位置関係

絶対値不等式

|f(x)| < a ⟺ -a < f(x) < a

絶対値を外すと両側不等式

教育庁高1 学力評価類型

すべての実数 x に対して x² − 2x + k > 0 が常に成り立つ定数 k の範囲は?

①k < 1

②k > 1

③k ≤ 1

④k ≥ 1

⑤k > 2

▸ ② k > 1

下に凸（二次の係数 1 > 0）なので、常に正の条件は判別式 D < 0。

D = (−2)² − 4·1·k < 0

不等式を解く。

4 − 4k < 0 ⇒ k > 1

🎯 試験ポイント

①二次不等式：D の符号を先に確認

②a > 0 かつ D < 0 → 常に > 0

③絶対値：|x − a| < b → a − b < x < a + b（中心 a、半径 b）

④連立：数直線で共通部分を確認

⑤「すべての実数 x について」 → D ≤ 0 を活用