共通数学›方程式と不等式

色々な不等式

Various Inequalities

二次不等式 — 放物線の上下領域

二次不等式 ax² + bx + c ≤ 0 の解は放物線が x 軸より下にある区間。まず判別式 D で解の有無を判断する。

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💡 二次不等式の解
①x² + px + q ≤ 0：2解の間（α ≤ x ≤ β）
②x² + px + q ≥ 0：2解の外（x ≤ α または x ≥ β）
③D < 0 かつ a > 0：x² + px + q > 0 は常に成立
二次不等式の体系
二次不等式の解法
f(x) = a(x − α)(x − β) ≤ 0（a > 0 なら α ≤ x ≤ β）
因数分解後に符号判定
D < 0 のとき
a > 0：常に正、a < 0：常に負
判別式が負なら符号は変わらない
📐 符号表の方法
①f(x) を a(x − α)(x − β) に因数分解
②数直線に解 α, β を記す
③各区間で符号を決定
④求める符号の区間が解
絶対値不等式
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絶対値不等式
|x| < a ⟺ -a < x < a
原点からの距離が a 未満
絶対値不等式（逆）
|x| > a ⟺ x < -a または x > a
原点からの距離が a 超
連立不等式
連立不等式の解
A ∩ B（2 不等式の解の共通部分）
各不等式の解を求めた上で共通部分
🔑 解法戦略
①各不等式を別々に解く
②数直線に各解を表示
③重なる区間（共通部分）が連立の解
④重ならない場合は「解なし」
まとめ
二次不等式
a(x − α)(x − β) ≤ 0, a > 0 → α ≤ x ≤ β
放物線と x 軸の位置関係
絶対値不等式
|f(x)| < a ⟺ -a < f(x) < a
絶対値を外すと両側不等式
🎯 試験ポイント
①二次不等式：D の符号を先に確認
②a > 0 かつ D < 0 → 常に > 0
③絶対値：|x − a| < b → a − b < x < a + b（中心 a、半径 b）
④連立：数直線で共通部分を確認
⑤「すべての実数 x について」 → D ≤ 0 を活用