seegongsik
高校1年生 (15-16歳)

数I 色々な不等式 わかりやすく

Various Inequalities

2次不等式を解くとは、放物線がx軸より下にある区間と上にある区間を見分けることです。 判別式Dの符号で放物線がx軸と交わるかどうかをまず確かめ、交わるなら、2つの解の間か外側かによって答えの範囲が決まります。 絶対値をふくむ不等式|x| < aは、数直線上で原点からの距離がaより小さい点を表し、連立不等式は、それぞれの不等式の解が重なる部分を見つける問題です。 1つ目の図では係数によって解にあたる緑の区間がのび縮みし、Dが負になると消えます。2つ目の図ではaによって数直線上の区間の幅が変わります。

2次不等式：放物線がx軸より下にある区間

2次不等式ax² + bx + c ≤ 0（a > 0）の解は、放物線がx軸より下にあるか、x軸と交わる区間である。判別式Dで、そのような区間があるかどうかをまず調べる。

-2
-3
💡 2次不等式の解の読み方
①x² + px + q ≤ 0の解は2つの解α, βの間、つまりα ≤ x ≤ βである
②x² + px + q ≥ 0の解は2つの解の外側、つまりx ≤ αまたはx ≥ βである
③D = 0なら放物線はx軸に接するので、x² + px + q ≤ 0の解はx = −p/2だけである
④D < 0なら放物線はいつもx軸より上にあるので、x² + px + q ≤ 0の解はなく、x² + px + q > 0はすべての実数で成り立つ
⑤図ではx²の係数を1に固定している

2次不等式の解き方

因数分解して解く
a(x − α)(x − β) ≤ 0, a > 0 → α ≤ x ≤ β
因数分解したあと、それぞれの区間の符号を調べる
D < 0のとき
a > 0ならax² + bx + c > 0、a < 0ならax² + bx + c < 0（すべての実数x）
判別式が負なら、2次式の符号は変わらない
📐 符号表で解く
①f(x)をa(x − α)(x − β)の形に因数分解する
②数直線に2つの解α, βをかく
③3つの区間でf(x)の符号を決める
④不等式が求める符号になる区間が解である

絶対値をふくむ不等式

3
絶対値をふくむ不等式
|x| < a ⟺ −a < x < a
原点からの距離がaより小さい（a > 0）
絶対値をふくむ不等式（逆向き）
|x| > a ⟺ x < −a または x > a
原点からの距離がaより大きい（a > 0）

連立不等式

連立不等式の解
（1つ目の不等式の解）∩（2つ目の不等式の解）
それぞれの不等式の解を求め、重なる部分を見つける
🔑 連立不等式を解く手順
①不等式を1つずつ別々に解く
②それぞれの解を1本の数直線にいっしょにかく
③すべてが重なる区間が連立不等式の解である
④重なる部分がなければ解はない

例題と単元テスト

例題 1
2次不等式x² − x − 6 < 0を解け。
1
左辺を因数分解する。
x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) < 0
2
下に凸の放物線は、2つの解の間でx軸より下にある。
−2 < x < 3
▸ −2 < x < 3
不等号に等号がないので、2つの解−2と3は解にふくまれない。
例題 2
連立不等式2x − 1 > 3, x² − 5x + 4 ≤ 0を解け。
1
2つの不等式を別々に解く。
x > 2 かつ (x − 1)(x − 4) ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤ 4
2
2つの解が重なる範囲を求める。
2 < x ≤ 4
▸ 2 < x ≤ 4
x > 2と1 ≤ x ≤ 4を1本の数直線にかくと、2と4の間でだけ重なる。2は1つ目の不等式を満たさないのでふくまれない。

まとめ

2次不等式
a(x − α)(x − β) ≤ 0, a > 0 → α ≤ x ≤ β
放物線とx軸の位置関係から読む
絶対値をふくむ不等式
|f(x)| < a ⟺ −a < f(x) < a
絶対値をはずすと、両側からはさまれた不等式になる
教育庁 高1 学力評価 類型
すべての実数 x に対して x² − 2x + k > 0 が常に成り立つ定数 k の範囲は？
①k < 1
②k > 1
③k ≤ 1
④k ≥ 1
⑤k > 2
▸ ② k > 1
1
下に凸（二次の係数 1 > 0）なので、常に正の条件は判別式 D < 0。
D = (−2)² − 4·1·k < 0
2
不等式を解く。
4 − 4k < 0 ⇒ k > 1
🎯 よく出るポイント
①2次不等式は、まず判別式Dの符号を確かめる
②a > 0でD < 0なら、ax² + bx + c > 0はすべての実数で成り立つ
③|x − a| < bはa − b < x < a + bで、aを中心に両側にbずつ広がった区間である
④連立不等式は数直線にかいて重なる部分を確かめる
⑤「すべての実数xについて成り立つ」という条件は、D < 0またはD ≤ 0に言いかえて解く
← 前へ
色々な方程式
次へ →
平面座標と直線の方程式

最終更新

このページがお役に立ったなら支援する