seegongsik
高校1年生 (15-16歳)

数I 円の方程式 わかりやすく

Circle Equations

円は、1つの点（中心）から等しい距離（半径）にある点の集まりで、この条件を座標で書き表したものが円の方程式です。 中心が(a, b)、半径がrのとき、円周上の点(x, y)は2点間の距離の公式から(x − a)² + (y − b)² = r²を満たします。 展開してx² + y² + Dx + Ey + F = 0の形になった式も、xとyをそれぞれ平方完成すれば、中心と半径をふたたび読み取れます。 1つ目の図では中心と半径を変えると円と方程式がいっしょに変わり、2つ目の図では中心と直線の距離によって円と直線の交わり方が変わります。

中心と半径で決まる円

円は、中心から等しい距離にある点の集まりである。だから、中心(a, b)と半径rの2つがわかれば、円の方程式はただ1つに決まる。

2
1
3
💡 距離の公式から円の方程式へ
①円周上の点(x, y)と中心(a, b)の距離はrである
②距離の公式で書くと√((x − a)² + (y − b)²) = rとなる
③両辺を2乗すると(x − a)² + (y − b)² = r²となる
④図の緑の点の座標をこの式に代入すると、いつも両辺が等しくなる

標準形と一般形

円の方程式（標準形）
(x − a)² + (y − b)² = r²
中心(a, b)、半径r
円の方程式（一般形）
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
標準形を展開すると D = −2a, E = −2b, F = a² + b² − r²
📐 一般形を標準形に直す
①xをふくむ項をまとめて(x + D/2)²をつくる
②yをふくむ項をまとめて(y + E/2)²をつくる
③すると中心は(−D/2, −E/2)、r² = (D/2)² + (E/2)² − Fとなる
④この値が正なら円、0なら1点を表し、負ならこの方程式を満たす点はない

円と直線の位置関係

円の中心から直線までの距離dと半径rを比べれば、連立方程式を解かなくても、円と直線の共有点がいくつあるかがわかる。

2
円と直線の位置関係
d < r：2点で交わる、d = r：接する、d > r：共有点なし
dは円の中心から直線までの距離

接線の方程式

円周上の点における接線
x1·x + y1·y = r²
円 x² + y² = r² 上の点(x₁, y₁)における接線
傾きがmの接線
y = mx ± r√(1 + m²)
円 x² + y² = r² に接し傾きがmの直線は2本ある

例題と単元テスト

例題 1
中心が(2, −1)、半径が3の円の方程式を求めよ。
1
標準形 (x − a)² + (y − b)² = r² に a = 2, b = −1, r = 3 を代入する。bが負なので、y − (−1) = y + 1 となる。
(x − 2)² + (y + 1)² = 3²
2
右辺を計算する。
(x − 2)² + (y + 1)² = 9
▸ (x − 2)² + (y + 1)² = 9
中心の座標は、式の中では符号が逆になって入る。(y + 1)を見て中心のy座標を1と読まないように気をつける。
例題 2
円 x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 の中心と半径を求めよ。
1
xをふくむ項とyをふくむ項を、それぞれ平方完成する。
(x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0
2
定数を右辺に移して標準形にする。
(x − 3)² + (y + 2)² = 25, 中心 (3, −2), 半径 5
▸ 中心(3, −2)、半径5
公式で確かめると、中心は(−D/2, −E/2) = (3, −2)、r² = 9 + 4 + 12 = 25で、同じ答えになる。

まとめ

円の方程式（標準形）
(x − a)² + (y − b)² = r²
中心と半径がすぐに読み取れる形
接する条件
中心から直線までの距離 d = r
円と直線がただ1点で交わる
高1 校内試験 類型
点 (5, 5) から円 (x − 1)² + (y − 2)² = 9 に引いた接線の長さを求めよ。
①3
②4
③5
④6
⑤7
▸ ② 4
1
まず外部の点と円の中心の距離 d を求める。
d = √((5 − 1)² + (5 − 2)²) = √25 = 5
2
接線の長さは √(d² − r²)。
√(d² − r²) = √(25 − 9) = 4
🎯 よく出るポイント
①一般形は平方完成して標準形に直し、中心と半径を読む
②円を表すには、標準形の右辺（r²）が正でなければならない
③円と直線の位置関係は、dとrを比べるか、代入してできる2次方程式の判別式で調べる
④接線の問題では、接点が円周上にあるのか、円の外の点から引くのかをまず見分ける
⑤2つの円 f₁ = 0, f₂ = 0 の交点を通る直線は f₁ − f₂ = 0 である
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