円とは、ある1点（中心）から同じ距離（半径）にある点をすべて集めた図形です。
中心が (a, b)、半径が r の円は (x − a)² + (y − b)² = r² と書け、これは2点間の距離公式から自然に導かれます。
展開された一般形も、平方完成すれば中心と半径がすぐ読み取れます。
このページでは中心と半径を動かし、式と円の形の対応を確かめましょう。
円の方程式 — 中心と半径
円は中心から等距離にある点の集合です。中心 (a, b) と半径 r が分かれば方程式が決まる。
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円：中心 (a,b) から半径 r の点集合💡 円の方程式の導出
①円上の点 (x, y) と中心 (a, b) の距離 = r
②√((x-a)² + (y-b)²) = r
③両辺2乗 → (x-a)² + (y-b)² = r²
標準形と一般形
円の標準形
(x - a)² + (y - b)² = r²
中心 (a, b)、半径 r
円の一般形
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
展開すると D=-2a, E=-2b, F=a²+b²-r²
📐 一般形 → 標準形
①x項：(x + D/2)²
②y項：(y + E/2)²
③r² = (D/2)² + (E/2)² - F
④r² > 0 で円が存在
円と直線の位置関係
円の中心から直線までの距離 dと半径 r の大小で位置を判断する。
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中心から直線までの距離 d と半径 r の関係円と直線の位置関係
d < r：2点、d = r：接線、d > r：交わらない
d = 中心から直線までの距離
接線の方程式
円上の点での接線
x1·x + y1·y = r²
原点中心の円 x²+y²=r² 上の点 (x₁,y₁) で
傾き m の接線
y = mx ± r√(1 + m²)
原点中心の円に傾き m で接する直線
実際に解いてみる
例題 1
中心が (2, −1)、半径が 3 の円の方程式を求めよ。
1標準形 (x − a)² + (y − b)² = r² に a = 2, b = −1, r = 3 を代入する。b が負なので (y + 1) となる。
(x − 2)² + (y + 1)² = 3²
2右辺を計算する。
(x − 2)² + (y + 1)² = 9
▸ (x − 2)² + (y + 1)² = 9
中心の座標は式の中で符号が反転して入る。
例題 2
円 x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 の中心と半径を求めよ。
1x と y についてそれぞれ平方完成する。
(x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0
2定数を右辺へ移して標準形にする。
(x − 3)² + (y + 2)² = 25、中心 (3, −2)、半径 5
▸ 中心 (3, −2)、半径 5
一般形は平方完成で標準形に直す。
まとめ
円の標準形
(x - a)² + (y - b)² = r²
中心と半径が見える形
接線判定
中心から直線までの距離 d = r
接線条件
高1 校内試験 類型
点 (5, 5) から円 (x − 1)² + (y − 2)² = 9 に引いた接線の長さを求めよ。
▸ ② 4
1まず外部の点と円の中心の距離 d を求める。
d = √((5 − 1)² + (5 − 2)²) = √25 = 5
2接線の長さは √(d² − r²)。
√(d² − r²) = √(25 − 9) = 4
🎯 試験ポイント
①一般形 → 平方完成で標準形へ
②r² > 0 を確認（円が存在）
③円と直線：連立 → 判別式 D でも判断可
④接線：円上の点接線 vs 外部点接線を区別
⑤2円の交点を通る直線：f₁ - f₂ = 0