共通数学›図形の方程式

円の方程式

Circle Equations

円の方程式 — 中心と半径

円は中心から等距離にある点の集合です。中心 (a, b) と半径 r が分かれば方程式が決まる。

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💡 円の方程式の導出
①円上の点 (x, y) と中心 (a, b) の距離 = r
②√((x-a)² + (y-b)²) = r
③両辺2乗 → (x-a)² + (y-b)² = r²
標準形と一般形
円の標準形
(x - a)² + (y - b)² = r²
中心 (a, b)、半径 r
円の一般形
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
展開すると D=-2a, E=-2b, F=a²+b²-r²
📐 一般形 → 標準形
①x項：(x + D/2)²
②y項：(y + E/2)²
③r² = (D/2)² + (E/2)² - F
④r² > 0 で円が存在
円と直線の位置関係

円の中心から直線までの距離 dと半径 r の大小で位置を判断する。

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円と直線の位置関係
d < r：2点、d = r：接線、d > r：交わらない
d = 中心から直線までの距離
接線の方程式
円上の点での接線
x1·x + y1·y = r²
原点中心の円 x²+y²=r² 上の点 (x₁,y₁) で
傾き m の接線
y = mx ± r√(1 + m²)
原点中心の円に傾き m で接する直線
まとめ
円の標準形
(x - a)² + (y - b)² = r²
中心と半径が見える形
接線判定
中心から直線までの距離 d = r
接線条件
🎯 試験ポイント
①一般形 → 平方完成で標準形へ
②r² > 0 を確認（円が存在）
③円と直線：連立 → 判別式 D でも判断可
④接線：円上の点接線 vs 外部点接線を区別
⑤2円の交点を通る直線：f₁ - f₂ = 0