図形の移動

Geometric Transformation

図形の移動とは、形と大きさはそのままに、位置や向きだけを変える操作です。平行移動はすべての点に同じベクトル (a, b) を加えて図形を滑らせますが、方程式では逆に x, y へ −a, −b を代入する点に注意します。対称移動は x軸・y軸・原点・直線 y=x という鏡に図形を映すもので、座標の符号が変わったり x と y が入れ替わったりします。このページではスライダーで三角形を動かし、ボタンで4種の対称を切り替えて規則を目で確かめましょう。

平行移動 — 形は維持、位置だけ変更

📦 宅配の箱を動かすのと同じ

①箱の形・大きさ・向きはそのまま

②位置だけ変わる — これが「平行移動」

③数学的にはすべての点に同じベクトル (a, b) を加える

④図形全体が「滑るように」移動する

x方向移動 a2

y方向移動 b1

点の平行移動

(x, y) → (x + a, y + b)

すべての点に同じベクトル (a, b) を加える

方程式の平行移動 — なぜ符号が逆?

図形の方程式の平行移動

f(x, y) = 0 → f(x − a, y − b) = 0

点は +a, +b だが方程式には −a, −b を代入

🤔 核心：なぜ引き算?

①移動後の点を (X, Y) とする

②この点は元の (X−a, Y−b) にあった

③元の図形は f(x,y)=0 を満たすので

④f(X−a, Y−b) = 0 が移動後の方程式

⑤つまり「新座標から移動量を引けば元の位置」

例：円の平行移動

x² + y² = r² → (x−a)² + (y−b)² = r²

原点中心 → (a, b) 中心へ

例：放物線の平行移動

y = x² → y − b = (x − a)²

頂点が (0,0) から (a,b) へ

対称移動 — 鏡に映った姿

対称移動公式

List4種の対称移動

x軸対称

y座標のみ符号反転

(x, y) → (x, −y)

y軸対称

x座標のみ符号反転

(x, y) → (−x, y)

原点対称

x, y 両方反転

(x, y) → (−x, −y)

y=x 対称

x と y を交換

(x, y) → (y, x)

💡 対称の原理

①x軸対称：x軸を鏡 → 上下入替 → y 反転

②y軸対称：y軸を鏡 → 左右入替 → x 反転

③原点対称：原点を中心に180°回転 → 両方反転

④y=x 対称：45°対角の鏡 → x と y が入れ替わる（逆関数!）

移動の合成 — 順序は重要?

🔗 合成変換のルール

①平行移動+平行移動：ベクトルを加えれば良い（順序無関係）

②対称+対称：x軸対称後y軸対称 = 原点対称

③平行移動+対称：順序で結果が変わる!

④試験：「(2,3) を x軸対称後 (1,−2) 平行移動」→ 順番に1ステップずつ!

合成対称

Chart対称移動合成の結果

合成	結果	同値変換
x軸 → y軸	(x,y)→(−x,−y)	原点対称
y軸 → x軸	(x,y)→(−x,−y)	原点対称
x軸 → y=x	(x,y)→(−y,x)	90°反時計回転
y=x → x軸	(x,y)→(y,−x)	90°時計回転

実際に解いてみる

例題 1

点 (3, −2) を x 軸方向に 4、y 軸方向に −5 だけ平行移動した点の座標を求めよ。

平行移動は座標に移動量をそのまま足す。

(3 + 4, −2 + (−5))

計算する。

(7, −7)

▸ (7, −7)

点の平行移動は座標に移動量を足すだけ。

例題 2

直線 y = 2x + 1 を x 軸方向に 3 だけ平行移動した直線の方程式を求めよ。

図形を x 軸方向に 3 動かすと、式の x に x − 3 を代入する。

y = 2(x − 3) + 1

展開して整理する。

y = 2x − 6 + 1 = 2x − 5

▸ y = 2x − 5

図形の平行移動は点と逆に x へ x − a を入れる点に注意。

まとめ

点の移動

(x+a, y+b)

点は加える

方程式の移動

f(x−a, y−b)=0

方程式は引く

高1 校内試験類型

点 (4, −3) を直線 y = x に関して対称移動した点の座標は?

①(−4, 3)

②(3, −4)

③(−3, 4)

④(4, 3)

⑤(−4, −3)

▸ ③ (−3, 4)

直線 y = x に関する対称移動は x 座標と y 座標を入れ替える。

(a, b) → (b, a)

座標を入れ替える。

(4, −3) → (−3, 4)

🎯 試験ポイント

①点：(x+a, y+b)／方程式：f(x−a, y−b)=0 — 符号が逆!

②x軸対称 → y に −y 代入／y軸対称 → x に −x 代入

③y=x 対称 → x↔y 交換（逆関数の核心!）

④円の平行移動：中心座標に移動ベクトルを加える

⑤合成：順番に1ステップずつ（順序を変えると結果が違う!）