共通数学›図形の方程式

図形の移動

Geometric Transformation

平行移動 — 形は維持、位置だけ変更
📦 宅配の箱を動かすのと同じ
①箱の形・大きさ・向きはそのまま
②位置だけ変わる — これが「平行移動」
③数学的にはすべての点に同じベクトル (a, b) を加える
④図形全体が「滑るように」移動する
2
1
点の平行移動
(x, y) → (x + a, y + b)
すべての点に同じベクトル (a, b) を加える
方程式の平行移動 — なぜ符号が逆?
図形の方程式の平行移動
f(x, y) = 0 → f(x − a, y − b) = 0
点は +a, +b だが方程式には −a, −b を代入
🤔 核心：なぜ引き算?
①移動後の点を (X, Y) とする
②この点は元の (X−a, Y−b) にあった
③元の図形は f(x,y)=0 を満たすので
④f(X−a, Y−b) = 0 が移動後の方程式
⑤つまり「新座標から移動量を引けば元の位置」
例：円の平行移動
x² + y² = r² → (x−a)² + (y−b)² = r²
原点中心 → (a, b) 中心へ
例：放物線の平行移動
y = x² → y − b = (x − a)²
頂点が (0,0) から (a,b) へ
対称移動 — 鏡に映った姿

対称移動公式

📋4種の対称移動
x軸対称
y座標のみ符号反転
(x, y) → (x, −y)
y軸対称
x座標のみ符号反転
(x, y) → (−x, y)
原点対称
x, y 両方反転
(x, y) → (−x, −y)
y=x 対称
x と y を交換
(x, y) → (y, x)
💡 対称の原理
①x軸対称：x軸を鏡 → 上下入替 → y 反転
②y軸対称：y軸を鏡 → 左右入替 → x 反転
③原点対称：原点を中心に180°回転 → 両方反転
④y=x 対称：45°対角の鏡 → x と y が入れ替わる（逆関数!）
移動の合成 — 順序は重要?
🔗 合成変換のルール
①平行移動+平行移動：ベクトルを加えれば良い（順序無関係）
②対称+対称：x軸対称後y軸対称 = 原点対称
③平行移動+対称：順序で結果が変わる!
④試験：「(2,3) を x軸対称後 (1,−2) 平行移動」→ 順番に1ステップずつ!

合成対称

📊対称移動合成の結果
合成結果同値変換
x軸 → y軸(x,y)→(−x,−y)原点対称
y軸 → x軸(x,y)→(−x,−y)原点対称
x軸 → y=x(x,y)→(−y,x)90°反時計回転
y=x → x軸(x,y)→(y,−x)90°時計回転
まとめ
点の移動
(x+a, y+b)
点は加える
方程式の移動
f(x−a, y−b)=0
方程式は引く
🎯 試験ポイント
①点：(x+a, y+b)／方程式：f(x−a, y−b)=0 — 符号が逆!
②x軸対称 → y に −y 代入／y軸対称 → x に −x 代入
③y=x 対称 → x↔y 交換（逆関数の核心!）
④円の平行移動：中心座標に移動ベクトルを加える
⑤合成：順番に1ステップずつ（順序を変えると結果が違う!）