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高校1年生 (15-16歳)

数I 図形の移動 わかりやすく

Geometric Transformation

図形の移動は、形や大きさはそのままで、位置や向きだけを変えることです。 平行移動は図形のすべての点に同じ量(a, b)を加えて、すべらせるように動かすことですが、図形の方程式ではx, yのところに逆にx − a, y − bを入れるので、まちがえやすいところです。 対称移動は、x軸、y軸、原点、直線y = xを鏡にして図形を映すことで、座標の符号が変わったり、xとyが入れかわったりします。 1つ目の図では移動量によって三角形が動き、2つ目の図では4つの対称移動で頂点の座標がどう変わるかを並べて比べられます。

平行移動：形はそのまま、位置だけが変わる

📦 机の上の箱をすべらせるのと同じ
①机の上の箱をすべらせて動かしても、形、大きさ、向きはそのままである
②変わるのは位置だけで、これが平行移動である
③数学では、図形のすべての点に同じ量(a, b)を加える
④だから、3つの頂点はどれも同じ向きに同じ距離だけ動く
2
1
点の平行移動
(x, y) → (x + a, y + b)
すべての点に同じ量(a, b)を加える

方程式の平行移動：なぜ引き算になるのか

図形の方程式の平行移動
f(x, y) = 0 → f(x − a, y − b) = 0
点にはa, bを加えるが、方程式にはx − a, y − bを入れる
🤔 符号が逆になるわけ
①移動したあとの図形上の点を(X, Y)とする
②この点は、移動する前は(X − a, Y − b)にあった
③移動前の点はもとの図形上にあるので、f(X − a, Y − b) = 0を満たす
④だから、移動した図形の方程式はf(x − a, y − b) = 0である
⑤新しい座標から移動量を引けば、もとの位置にさかのぼれるということである
例：円の平行移動
x² + y² = r² → (x − a)² + (y − b)² = r²
中心が原点から(a, b)へ移る
例：放物線の平行移動
y = x² → y − b = (x − a)²
頂点が(0, 0)から(a, b)へ移る

対称移動：鏡に映した姿

対称移動の公式

4つの対称移動
x軸に関する対称移動
y座標の符号だけが変わる
(x, y) → (x, −y)
y軸に関する対称移動
x座標の符号だけが変わる
(x, y) → (−x, y)
原点に関する対称移動
x, yの両方の符号が変わる
(x, y) → (−x, −y)
直線y = xに関する対称移動
x座標とy座標が入れかわる
(x, y) → (y, x)
💡 対称移動のしくみ
①x軸に関する対称移動は、x軸を鏡にして上下が逆になるので、yの符号が変わる
②y軸に関する対称移動は、y軸を鏡にして左右が逆になるので、xの符号が変わる
③原点に関する対称移動は、原点を中心に180°回転するのと同じで、両方の符号が変わる
④直線y = xに関する対称移動は、ななめの直線を鏡にしてxとyが入れかわる。関数とその逆関数のグラフはこの関係にある

移動を続けて行うと

🔗 移動を組み合わせるときのきまり
①平行移動を2回続けると、移動量を足したものと同じで、順序は関係ない
②x軸に関する対称移動のあとy軸に関する対称移動をすると、原点に関する対称移動と同じになる
③平行移動と対称移動をまぜると、順序によって結果が変わることがある
④「点(2, 3)をx軸に関して対称移動したあと、x軸方向に1、y軸方向に−2だけ平行移動する」のような問題は、書かれた順に1段階ずつ行う

対称移動の組み合わせ

2つの対称移動を続けた結果
順序座標の変化同じ移動
x軸 → y軸(x,y)→(−x,−y)原点対称
y軸 → x軸(x,y)→(−x,−y)原点対称
x軸 → y = x(x,y)→(−y,x)原点を中心に反時計回りに90°回転
y = x → x軸(x,y)→(y,−x)原点を中心に時計回りに90°回転

例題と単元テスト

例題 1
点(3, −2)をx軸方向に4、y軸方向に−5だけ平行移動した点の座標を求めよ。
1
点の平行移動は、座標に移動量をそのまま加える。
(3 + 4, −2 + (−5))
2
計算する。
(7, −7)
▸ (7, −7)
y軸方向に−5だけ移動するとは、下に5だけ動かすということである。
例題 2
直線y = 2x + 1をx軸方向に3だけ平行移動した直線の方程式を求めよ。
1
図形をx軸方向に3だけ動かすときは、方程式のxのところにx − 3を入れる。
y = 2(x − 3) + 1
2
展開して整理する。
y = 2x − 6 + 1 = 2x − 5
▸ y = 2x − 5
もとの直線上の点(0, 1)は(3, 1)に移る。実際、y = 2x − 5にx = 3を入れるとy = 1になる。

まとめ

点の平行移動
(x + a, y + b)
点は移動量を足す
方程式の平行移動
f(x − a, y − b) = 0
方程式は移動量を引く
高1 校内試験 類型
点 (4, −3) を直線 y = x に関して対称移動した点の座標は？
①(−4, 3)
②(3, −4)
③(−3, 4)
④(4, 3)
⑤(−4, −3)
▸ ③ (−3, 4)
1
直線 y = x に関する対称移動は x 座標と y 座標を入れ替える。
(a, b) → (b, a)
2
座標を入れ替える。
(4, −3) → (−3, 4)
🎯 よく出るポイント
①点は(x + a, y + b)に移り、図形の方程式はf(x − a, y − b) = 0になる。符号が逆である
②x軸に関する対称移動はyの代わりに−yを、y軸に関する対称移動はxの代わりに−xを入れる
③直線y = xに関する対称移動はxとyを入れかえる。逆関数のグラフにつながる
④円を平行移動すると、中心の座標に移動量が加わり、半径は変わらない
⑤移動を何回か行うときは、与えられた順に1段階ずつ行う。順序を変えると結果が変わることがある
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円の方程式
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集合と命題

最終更新

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