数I 無理関数わかりやすく

Irrational Function

無理関数は根号の中に変数を含む関数で、面積 S の正方形の1辺 √S のように平方根から自然に現れます。基本形 y = √x は2次関数 y = x²（x ≥ 0）の逆関数なので、2つのグラフは直線 y = x に関して対称になり、根号の中は0以上でなければなりません。一般形 y = √(ax + b) + c は根号の中が0になる始点 (−b/a, c) から出発し、直線との交点では両辺を2乗するため無縁根が生じやすく検算が必要です。 y = x² を切り替えて a・b・c を動かすと、始点と方向の変化が見えます。

無理関数はどこから?

📐 正方形の1辺を求める

①面積 S の正方形の1辺は?

②1辺 = √S — 面積の平方根!

③面積1→1, 面積4→2, 面積9→3

④しかし面積2→√2≈1.414…（無理数!)

⑤このような平方根を含む関数が「無理関数」

🪞 逆関数の核心

①y = x²（x≥0）で x と y を入れ替えると

②x = y² → y = √x（正の値のみ）

③y = √x は y = x² の「半分」の逆関数

④2つのグラフは y = x に対して対称

⑤これが無理関数の正体 — 2次関数の逆!

基本形 y = √x の性質

基本無理関数

y = √x

定義域: x ≥ 0 / 値域: y ≥ 0 / 原点出発

y = √x の核心性質

基本形の特徴

定義域

根号内が 0 以上である必要があるため

x ≥ 0

値域

平方根は常に 0 以上

y ≥ 0

増減

x が大きくなると y も大きくなる（ただし徐々に緩やか）

常に増加

増加速度

1→4: y +1 / 4→9: y +1 / 間隔が広がる

徐々に遅くなる

一般形 y = √(ax + b) + c

a（符号で方向決定）1

b（始点移動）0

c（上下移動）0

一般形無理関数

y = √(ax + b) + c

始点：(−b/a, c) → a > 0 で右へ、a < 0 で左へ伸びる

🔑 始点をすぐ見つけるコツ

①根号内 = 0 となる x を探す：ax + b = 0 → x = −b/a

②このとき y = √0 + c = c

③始点は (−b/a, c)

④a > 0 なら x ≥ −b/a（右へ増加）

⑤a < 0 なら x ≤ −b/a（左へ増加）

無理関数と直線の交点

交点を求める

√(ax+b) + c = mx + n → 両辺2乗して判別

両辺2乗時は「無縁根」の検証が必須!

⚠️ 両辺2乗の罠 — 無縁根

①√x = x − 2 を解くため両辺2乗

②x = (x−2)² = x²−4x+4 → x²−5x+4=0

③x = 1 または x = 4

④検証：x=1 → √1 = 1, 1−2 = −1 → 1 ≠ −1（無縁根!)

⑤x=4 → √4 = 2, 4−2 = 2 → ✓

⑥2乗は不等号情報を失うので必ず元の式に代入検証!

交点の解法

無理方程式の解法手順

段階	内容	注意
第1段階	√ 部分を一方に整理	√(…) = (式)
第2段階	両辺を2乗	(式) ≥ 0 を確認
第3段階	整理して方程式を解く	2次方程式になる
第4段階	元の式に代入して検証	無縁根を必ず除く!

実際に解いてみる

例題 1

無理関数 y = √(2x − 6) + 1 の定義域を求めよ。

根号の中の式が 0 以上でなければならない。

2x − 6 ≥ 0

不等式を解く。

x ≥ 3

▸ 定義域は {x | x ≥ 3}

無理関数は根号の中 ≥ 0 の条件で定義域をまず決める。

例題 2

無理関数 y = √(x − 2) + 3 が y = √x をどう平行移動したものか、および始点を求めよ。

x が x − 2 なら x 軸 +2、全体に +3 なら y 軸 +3 の平行移動。

y = √x → y = √(x − 2) + 3

始点は (0, 0) を同じだけ動かした点。

(0, 0) → (2, 3)

▸ x 軸方向 2、y 軸方向 3 の平行移動、始点 (2, 3)

y = √(x − p) + q の始点は (p, q)。

まとめ

基本形

y = √x

定義域 x≥0、値域 y≥0

一般形

y = √(ax+b)+c

始点 (−b/a, c)

高1 校内試験類型

無理関数 y = √(x + 1) と直線 y = x − 1 の交点の x 座標を求めよ。

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ③ 3

二式を連立し、両辺を 2 乗する（ただし x − 1 ≥ 0）。

√(x + 1) = x − 1 ⇒ x + 1 = (x − 1)²

整理すると x² − 3x = 0、x = 0 または 3。条件 x ≥ 1 より x = 3。

x² − 3x = 0 ⇒ x = 3 (x = 0 は無縁解)

🎯 試験ポイント

①根号内 ≥ 0 → 定義域の核心条件

②始点 (−b/a, c)：a > 0 で右、a < 0 で左

③y = √x は y = x²（x≥0）の逆関数 — y = x に対称

④無理方程式：両辺2乗後は必ず元の式に代入検証（無縁根!)

⑤グラフ：始点から徐々に緩やかに増加

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