seegongsik
高校1年生 (15-16歳)

数I 無理関数 わかりやすく

Irrational Function

無理関数は根号の中に変数をふくむ関数で、面積がSの正方形の1辺が√Sになるように、平方根を求めるところから自然に出てきます。 いちばん基本のy = √xは2次関数y = x²（x ≥ 0）の逆関数なので、2つのグラフは直線y = xに関して対称です。根号の中は0以上でなければならないので、定義域と値域はそれぞれ片側にかぎられます。 y = √(ax + b) + cのグラフは根号の中を0にする点(−b/a, c)から始まります。無理方程式を解くときに両辺を2乗すると、もとの式に合わない解がまぎれこむことがあるので、必ず確かめが必要です。 1つ目の図ではy = √xとy = x²を重ねて対称性を確かめ、2つ目の図ではa, b, cによって始点とのびる向きが変わります。

無理関数はどこから来たのか

📐 正方形の1辺を求める
①面積がSの正方形の1辺の長さは√Sである
②面積が1, 4, 9なら、1辺は1, 2, 3ときれいに求まる
③ところが面積が2だと、1辺は√2 = 1.414…で無理数になる
④このように変数が根号の中に入っている関数を無理関数という
🪞 逆関数の関係
①y = x²（x ≥ 0）のxとyを入れかえるとx = y²となる
②y ≥ 0のほうだけをとるとy = √xである
③だから、y = √xは、y = x²のx ≥ 0の部分の逆関数である
④逆関数どうしは直線y = xに関して対称なので、2つのグラフも対称になる
⑤図では、(4, 2)と(2, 4)のように座標を入れかえた点が組になっている

y = √xの性質

いちばん基本の無理関数
y = √x
定義域 x ≥ 0、値域 y ≥ 0、原点から始まる

y = √xの性質

基本形の特徴
定義域
根号の中は0以上でなければならないから
x ≥ 0
値域
平方根はつねに0以上だから
y ≥ 0
増加・減少
xが大きくなるとyも大きくなる
つねに増加
増え方
yを1増やすのに、xは1から4へ3、4から9へ5増やす必要がある
だんだんゆるやかになる

y = √(ax + b) + cのグラフ

1
0
0
無理関数の一般形
y = √(ax + b) + c
始点(−b/a, c)から、a > 0なら右へ、a < 0なら左へのびる
🔑 始点をすばやく見つける
①根号の中を0にするxを求める：ax + b = 0からx = −b/a
②そのときy = √0 + c = cである
③だから始点は(−b/a, c)である
④a > 0なら定義域はx ≥ −b/aで右へ、a < 0ならx ≤ −b/aで左へのびる
⑤どちらの場合も、値域はy ≥ cである

無理関数と直線の交点

交点の求め方
√(ax + b) + c = mx + n → 両辺を2乗して解く
2乗して出た解は、必ずもとの式に代入して確かめる
⚠️ 両辺を2乗するときの落とし穴
①√x = x − 2を解くため、両辺を2乗する
②x = (x − 2)² = x² − 4x + 4なので、x² − 5x + 4 = 0
③x = 1またはx = 4が出る
④x = 1を代入すると、左辺は√1 = 1、右辺は1 − 2 = −1で合わない。このような解を無縁解という
⑤x = 4を代入すると√4 = 2、4 − 2 = 2で合うので、解はx = 4だけである
⑥2乗すると−1も1も同じ1になって符号の情報が消えるので、もとの式で確かめる必要がある

無理方程式の解き方

無理方程式を解く手順
段階すること注意すること
1段階根号の部分を片方にまとめる√(…) = （式）の形に
2段階両辺を2乗する（式） ≥ 0という条件を書いておく
3段階整理して方程式を解くたいてい2次方程式になる
4段階もとの式に代入して確かめる合わない解（無縁解）はすてる

例題と単元テスト

例題 1
無理関数y = √(2x − 6) + 1の定義域を求めよ。
1
根号の中の式が0以上でなければならない。
2x − 6 ≥ 0
2
不等式を解く。
x ≥ 3
▸ {x | x ≥ 3}
このグラフは始点(3, 1)から右へのび、値域は{y | y ≥ 1}である。
例題 2
無理関数y = √(x − 2) + 3のグラフは、y = √xのグラフをどのように平行移動したものか答え、始点を求めよ。
1
xのかわりにx − 2が入っていればx軸方向に2、全体に3を足していればy軸方向に3だけ平行移動したものである。
y = √x → y = √(x − 2) + 3
2
始点は(0, 0)を同じだけ動かした点である。
(0, 0) → (2, 3)
▸ x軸方向に2、y軸方向に3だけ平行移動したもので、始点は(2, 3)
2つ目の図でa = 1, b = −2, c = 3にすると、同じグラフになる。

まとめ

基本形
y = √x
定義域 x ≥ 0、値域 y ≥ 0
一般形
y = √(ax + b) + c
始点(−b/a, c)
高1 校内試験 類型
無理関数 y = √(x + 1) と直線 y = x − 1 の交点の x 座標を求めよ。
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
二式を連立し、両辺を 2 乗する（ただし x − 1 ≥ 0）。
√(x + 1) = x − 1 ⇒ x + 1 = (x − 1)²
2
整理すると x² − 3x = 0、x = 0 または 3。条件 x ≥ 1 より x = 3。
x² − 3x = 0 ⇒ x = 3 (x = 0 は無縁解)
🎯 よく出るポイント
①根号の中が0以上という条件で定義域を決める
②始点は(−b/a, c)で、a > 0なら右へ、a < 0なら左へのびる
③y = √xはy = x²（x ≥ 0）の逆関数なので、直線y = xに関して対称である
④無理方程式は両辺を2乗して解いたあと、もとの式に代入して無縁解を取りのぞく
⑤グラフは始点から出発し、だんだんゆるやかになりながらのびていく
← 前へ
有理関数
次へ →
指数と対数

最終更新

このページがお役に立ったなら支援する