共通数学›集合・命題・関数

無理関数

Irrational Function

無理関数はどこから?
📐 正方形の1辺を求める
①面積 S の正方形の1辺は?
②1辺 = √S — 面積の平方根!
③面積1→1, 面積4→2, 面積9→3
④しかし面積2→√2≈1.414…（無理数!)
⑤このような平方根を含む関数が「無理関数」
🪞 逆関数の核心
①y = x²（x≥0）で x と y を入れ替えると
②x = y² → y = √x（正の値のみ）
③y = √x は y = x² の「半分」の逆関数
④2つのグラフは y = x に対して対称
⑤これが無理関数の正体 — 2次関数の逆!
基本形 y = √x の性質
基本無理関数
y = √x
定義域: x ≥ 0 / 値域: y ≥ 0 / 原点出発

y = √x の核心性質

📋基本形の特徴
定義域
根号内が 0 以上である必要があるため
x ≥ 0
値域
平方根は常に 0 以上
y ≥ 0
増減
x が大きくなると y も大きくなる（ただし徐々に緩やか）
常に増加
増加速度
1→4: y +1 / 4→9: y +1 / 間隔が広がる
徐々に遅くなる
一般形 y = √(ax + b) + c
1
0
0
一般形無理関数
y = √(ax + b) + c
始点：(−b/a, c) → a > 0 で右へ、a < 0 で左へ伸びる
🔑 始点をすぐ見つけるコツ
①根号内 = 0 となる x を探す：ax + b = 0 → x = −b/a
②このとき y = √0 + c = c
③始点は (−b/a, c)
④a > 0 なら x ≥ −b/a（右へ増加）
⑤a < 0 なら x ≤ −b/a（左へ増加）
無理関数と直線の交点
交点を求める
√(ax+b) + c = mx + n → 両辺2乗して判別
両辺2乗時は「無縁根」の検証が必須!
⚠️ 両辺2乗の罠 — 無縁根
①√x = x − 2 を解くため両辺2乗
②x = (x−2)² = x²−4x+4 → x²−5x+4=0
③x = 1 または x = 4
④検証：x=1 → √1 = 1, 1−2 = −1 → 1 ≠ −1（無縁根!)
⑤x=4 → √4 = 2, 4−2 = 2 → ✓
⑥2乗は不等号情報を失うので必ず元の式に代入検証!

交点の解法

📊無理方程式の解法手順
段階内容注意
第1段階√ 部分を一方に整理√(…) = (式)
第2段階両辺を2乗(式) ≥ 0 を確認
第3段階整理して方程式を解く2次方程式になる
第4段階元の式に代入して検証無縁根を必ず除く!
まとめ
基本形
y = √x
定義域 x≥0、値域 y≥0
一般形
y = √(ax+b)+c
始点 (−b/a, c)
🎯 試験ポイント
①根号内 ≥ 0 → 定義域の核心条件
②始点 (−b/a, c)：a > 0 で右、a < 0 で左
③y = √x は y = x²（x≥0）の逆関数 — y = x に対称
④無理方程式：両辺2乗後は必ず元の式に代入検証（無縁根!)
⑤グラフ：始点から徐々に緩やかに増加