数I 指数と対数 わかりやすく Exponents & Logarithms
対数は、指数を逆向きにたずねる問いです。2を何回かければ8になるかと問えば答えは3で、これを log₂ 8 = 3 と書きます。
つまり 2³ = 8 と log₂ 8 = 3 は、同じ事実を2つの向きから書いた式です。
対数を使うとかけ算が足し算に変わるので、地震の規模や音のデシベルのように何倍も違う量も扱いやすくなります。
底 a を変えると、1つ目の図では指数関数の曲線の上がり方が、2つ目の図では2つの目盛りの違いがいっしょに変わります。
指数：同じ数をくり返しかける 2⁵ = 32 のように底と指数がわかれば、値はかけ算ですぐに出る。逆に底2と値32だけを与えて指数をたずねると、かけ算だけではその答えを書く記号がない。その空欄を指す名前が対数である。logₐ N は a を何乗すれば N になるかを表し、底は a > 0 かつ a ≠ 1、真数は N > 0 でなければならない。
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底 a による y = aˣ の曲線と、1つ進むごとに a 倍になる整数 x の点 1つ目の図の金色の曲線は y = aˣ で、x が 0, 1, 2, 3, 4, 5 のところに点がある。点から点へ1つ進むごとに高さが a 倍になるので、はじめは底にはりついていた曲線が右端で急に立ち上がる。縦軸のいちばん上は a⁵ で、底が1.2なら約2.49にとどまるが、4なら1024になり、そのぶん左側の点は点線の高さ1の近くに押しつぶされる。
💡 指数はかけた回数
①2³ = 2 × 2 × 2 = 8 は2を3回かけた値である
②x が1増えるごとに aˣ は a 倍になるので、底が大きいほど速く大きくなる
③a > 1 なら増え、0 < a < 1 なら減る
④この図の底は1.2以上なので、増える場合だけをかいている
対数：何回かけたかをたずねる logₐ N で、下に小さく書いた数が底で、後ろの数が真数である。2つを入れかえて log₈ 2 と書くと、8を何乗すれば2になるかという別の問いになり、答えも3ではなく1/3になる。また log₂(8 + 4) を log₂ 8 + log₂ 4 に分けてしまう誤りが多いが、対数の和に分けられるのは真数が積のときだけである。実際、log₂ 12 は約3.58で、log₂ 8 + log₂ 4 は5である。
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同じ値 a⁰ ～ a⁴ を対数目盛り（上）とふつうの目盛り（下）にとった2本の棒 💡 対数はかけた回数を問い返す
①log₂ 8 = 3 は「2を何回かければ8になるか」の答えが3だということ
②対数目盛りでは1目盛りが同じ倍率なので、1, a, a², a³, a⁴ が等間隔に並ぶ
③地震のマグニチュード、音のデシベル、酸性度の pH はどれも対数目盛りを使う
指数法則と対数法則 指数法則
a m × a n = a m+n , a m ÷ a n = a m-n
底が同じ累乗どうしをかけると指数を足し、割ると指数を引く
対数の定義
a x = N ⟺ x = log a N
底 a を何乗すれば N になるか
対数法則
log a MN = log a M + log a N
積の対数は対数の和（指数法則を対数で書き直したもの）
底の変換公式
log a b = log c b log c a
分子と分母を同じ底 c の対数で書けば、どんな底にも変えられる
指数と対数の関係 🔗 指数と対数は同じ事実の2つの顔
①指数：底と指数がわかれば値が出る（2³ = 8）
②対数：底と値がわかれば指数が出る（log₂ 8 = 3）
③だから一方の式がわかれば、すぐにもう一方の式に書きかえられる
④y = aˣ と y = logₐ x のグラフは直線 y = x に関して対称である
⑤底が10の常用対数は、同じ章の後半で扱う
核心性質
a log_a N = N, log a a x = x
指数と対数はたがいに元にもどす演算である
まとめ 指数と対数の要点
log a N = x ⟺ a x = N
対数は指数を逆向きにたずねる演算である
🎯 試験ポイント
①対数の定義 aˣ = N ⟺ logₐ N = x
②底の条件 a > 0, a ≠ 1、真数の条件 N > 0
③対数法則：積は和に、商は差に、累乗は係数に
④底の変換 logₐ b = log b / log a（分子と分母の底がそろっていればよい）
⑤logₐ(M + N) は logₐ M + logₐ N ではない
例題と過去問 例題 1
log 2 8 + log 2 4 の値を求めよ。
1 底が同じ対数の和は、真数をかけた1つの数の対数にまとめられる。
log 2 8 + log 2 4 = log 2 (8 × 4) = log 2 32
2 32 = 2⁵ なので、2を5回かけると32になる。
log 2 32 = log 2 2 5 = 5
▸ 5
8 = 2³、4 = 2² なので、答えの5は指数の和 3 + 2 に等しい。対数の和が積の対数になる理由は、まさにこの指数の足し算にある。
例題 2
log 2 3 = a のとき、log 2 24 を a で表せ。
1 24を2の累乗と残りの因数3の積、つまり 2³ × 3 に分ける。
log 2 24 = log 2 (2 3 × 3) = log 2 2 3 + log 2 3
2 log₂ 2³ = 3、log₂ 3 = a である。
= 3 + a
▸ a + 3
真数を底の累乗と残りの因数に分けると、累乗の部分は整数になり、残りだけが与えられた文字として残る。
2023 韓国修能 数学 類題
log 3 5 = a, log 3 4 = b のとき、log 3 80 を a, b で表すと？（ただし 80 = 16 × 5）
① a + b
② a + 2b
③ 2a + b
④ ab
⑤ 2a + 2b
▸ ② a + 2b
1 80を 4² × 5 に分けると、与えられた log₃ 4 と log₃ 5 だけで表せる。
log 3 80 = log 3 (4 2 × 5) = log 3 4 2 + log 3 5
2 累乗の指数は前に係数として下り、log₃ 4² = 2b、log₃ 5 = a である。
= 2b + a = a + 2b
最終更新 2026-10-17