数I 指数と対数 わかりやすく

指数の直観 — 反復乗算

底と累乗の結果は分かっていて指数だけが空いているとき、その空欄を指す名前が対数です。 記号 log_a N は a^x = N を x について解いた値で、同じ底の積が指数の和になる場所と対になります。 大きな掛け算の段を足し算として扱うには対数が必要です。 底の条件は a > 0, a ≠ 1 で、真数は N > 0 です。 スライダーが許す底は 1.2 以上 4 以下なので、ここに描く曲線は増える側だけです。 減る 0 < a < 1 の区間は文にだけ書いてあり、図の範囲の外です。

上の図には y = a^x の曲線が金色で描いてあり、横の目盛りは 0 から 5 までです。 点線は高さ 1 にあり、見出しは選んだ底を小数第1位まで書いた y = a^x です。 底 a を 1.2 から 4 に変えると縦軸が a^5 の高さに合わせて付け直されるので、大きい底では左が低く右で急に上がる形になります。 下側には同じ値 a^0, a^1, a^2, a^3, a^4 が2本の棒に付いています。 上の棒は対数目盛りなので間隔がそろい、下の棒は線形目盛りなので数が大きいほど目盛りが一方に寄ります。 曲線の上を走る点はなく、底を選ぶたびに曲線と目盛りがその値で描き直されます。

対数の直観 — 逆質問

log_a N の二つの位置を入れ替えると、問う数が変わります。 前が底、後ろが真数で、入れ替えると累乗の前後が逆の別の式になります。 底が 1 や負、真数が 0 以下ならこの記号自体が定義されないので、形が似ているだけでは計算に使えません。 積の対数を対数の和に分ける法則は、真数が積のときだけ成り立ち、真数が和の式にそのまま使うとずれます。 底を省いて真数だけを読み替えても、同じ文字が別の値を指します。

指数法則と対数法則

指数·対数の関係

まとめ

例題と過去問