指数と対数

Exponents & Logarithms

対数は指数を逆に問う考え方です。 log₂8 は「2 を何回かけると 8 になるか」を問い、答えは 3 なので、指数と対数は表と裏の関係です。対数はかけ算を足し算に変えるので、大きな数の計算を楽にし、音の大きさや地震の規模のような広い範囲を測るのにも使われます。このページでは底を動かして、指数曲線が急上昇する様子と、対数目盛がかけ算を等間隔に並べる様子を確かめましょう。

指数の直観 — 反復乗算

底 a2

💡 指数は反復乗算

①2^3 = 2×2×2 = 8：「2 を3回かける」

②底が大きいほど爆発的に増加

③底 > 1 で増加、0 < 底 < 1 で減少

対数の直観 — 逆質問

💡 対数は「何回かけた?」という質問

①log_2(8) = 3 →「2 を何回かけて8?」→ 3回

②対数スケールでは乗算が等間隔

③地震の規模、デシベル、pH すべて対数スケール

指数法則と対数法則

指数法則

a^m × aⁿ = a^m+n, a^m ÷ aⁿ = a^m-n

同じ底の積 → 指数を足す

対数の定義

a^x = N ⟺ x = log_a N

底 a を何回累乗すれば N か

対数法則

log_a MN = log_a M + log_a N

積の対数 = 対数の和

底の変換公式

log_a b = log_c blog_c a

任意の底 c で変換可

指数·対数の関係

🔗 指数と対数は鏡

①指数：底と指数 → 値（2^3 = 8）

②対数：底と値 → 指数（log_2 8 = 3）

③一方が分かればもう一方も即座に分かる

④グラフは y = x 対称

核心性質

a^{log_a N} = N, log_a a^x = x

指数と対数は互いの逆演算

まとめ

核心

log_a N = x ⟺ a^x = N

対数は指数の逆演算

🎯 試験ポイント

①定義：a^x = N ⟺ log_a N = x

②底条件：a > 0, a ≠ 1, N > 0

③対数法則：積→和、商→差、累乗→係数

④底の変換：log_a b = log_c b / log_c a

⑤常用対数（log₁₀）と自然対数（ln）を区別

例題と過去問

例題 1

log₂ 8 + log₂ 4 の値を求めよ。

同じ底の対数の和は、真数の積の対数にまとめる。

log₂ 8 + log₂ 4 = log₂ (8 × 4) = log₂ 32

32 = 2⁵ だから、対数の値は指数の 5。

log₂ 32 = log₂ 2⁵ = 5

▸ 5

同じ底の対数の和は積にまとめ、累乗の形にする。

例題 2

log₂ 3 = a のとき、log₂ 24 を a で表せ。

24 = 2³ × 3 と分解する。

log₂ 24 = log₂ (2³ × 3) = log₂ 2³ + log₂ 3

log₂ 2³ = 3、log₂ 3 = a。

= 3 + a

▸ a + 3

真数を底の累乗と残りの因数の積に分解するのが鍵。

2023 修能数学類題

log₃ 5 = a, log₃ 4 = b のとき、log₃ 80 を a, b で表すと？ (ただし 80 = 16 × 5)

①a + b

②a + 2b

③2a + b

④ab

⑤2a + 2b

▸ ② a + 2b

80 = 4² × 5 と分解する。

log₃ 80 = log₃ (4² × 5) = log₃ 4² + log₃ 5

log₃ 4² = 2 log₃ 4 = 2b、log₃ 5 = a。

= 2b + a = a + 2b

指数関数

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