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数学Ⅰ
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指数関数と対数関数
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指数と対数
Exponents & Logarithms
指数の直観 — 反復乗算
底による指数増加曲線
底 a
2
💡 指数は反復乗算
①2^3 = 2×2×2 = 8：「2 を3回かける」
②底が大きいほど爆発的に増加
③底 > 1 で増加、0 < 底 < 1 で減少
対数の直観 — 逆質問
対数スケール vs 線形スケール
💡 対数は「何回かけた?」という質問
①log_2(8) = 3 →「2 を何回かけて8?」→ 3回
②対数スケールでは乗算が等間隔
③地震の規模、デシベル、pH すべて対数スケール
指数法則と対数法則
指数法則
a
m
× a
n
= a
m+n
, a
m
÷ a
n
= a
m-n
同じ底の積 → 指数を足す
対数の定義
a
x
= N ⟺ x = log
a
N
底 a を何回累乗すれば N か
対数法則
log
a
MN = log
a
M + log
a
N
積の対数 = 対数の和
底の変換公式
log
a
b =
log
c
b
log
c
a
任意の底 c で変換可
指数·対数の関係
🔗 指数と対数は鏡
①指数：底と指数 → 値（2^3 = 8）
②対数：底と値 → 指数（log_2 8 = 3）
③一方が分かればもう一方も即座に分かる
④グラフは y = x 対称
核心性質
a
log_a N
= N, log
a
a
x
= x
指数と対数は互いの逆演算
まとめ
核心
log
a
N = x ⟺ a
x
= N
対数は指数の逆演算
🎯 試験ポイント
①定義：a^x = N ⟺ log_a N = x
②底条件：a > 0, a ≠ 1, N > 0
③対数法則：積→和、商→差、累乗→係数
④底の変換：log_a b = log_c b / log_c a
⑤常用対数（log₁₀）と自然対数（ln）を区別
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指数関数