指数関数

Exponential Function

指数関数 y = a^x は、x が 1 増えるたびに値が a 倍になる関数です。だから利息で増えるお金や、次々と二つに分かれる細胞のように、はじめはゆっくりでも一気に爆発的に大きくなります。底が 1 より大きいと右へ急上昇し、1 より小さいと 0 に近づきますが、どちらもグラフは必ず (0, 1) を通り、x 軸を漸近線とします。このページでは底を変えて曲線の傾きの変化を見て、グラフを左右や上下に動かして漸近線の動きを確かめましょう。

指数関数の形 — 底による変化

底 a2

💡 指数関数はすべて (0, 1) を通る

①a^0 = 1 なので底が何でも y 切片は常に1

②底が大きいほど右側で急上昇

③x → -∞ で y → 0（x 軸が漸近線）

指数関数の性質

指数関数の定義

y = a^x (a > 0, a ≠ 1)

底 a は正の実数、1 ではない

📐 a > 1 vs 0 < a < 1

①a > 1：x の増加で y は急増（増加関数）

②0 < a < 1：x の増加で y → 0（減少関数）

③両方とも漸近線は x 軸（y = 0）

④値域：y > 0

指数関数の平行移動

x 軸移動0

y 軸移動0

平行移動

y = a^x-p + q

x 方向 +p、y 方向 +q 移動 → 漸近線：y = q

指数方程式・不等式

指数方程式

a^f(x) = a^g(x) ⟹ f(x) = g(x)

底が同じなら指数同士を比較

⚠️ 指数不等式は底の大きさが核心

①a > 1：a^m > a^n ⟺ m > n（不等号は維持）

②0 < a < 1：a^m > a^n ⟺ m < n（不等号は反転!）

③底が 1 より大きいか小さいかを必ず確認

まとめ

指数関数の核心

y = a^x：定義域 = ℝ、値域 = (0, ∞)、漸近線：y = 0

底 > 1 で増加、< 1 で減少

🎯 試験ポイント

①(0, 1) を通る：a^0 = 1

②a > 1 で増加、0 < a < 1 で減少

③漸近線と平行移動：y = a^{x-p} + q → 漸近線 y = q

④指数方程式：底を揃えて指数比較

⑤指数不等式：底が 1 未満なら不等号反転

例題と過去問

例題 1

指数方程式 2^x+1 = 8 を解け。

8 を底 2 の累乗に直す。8 = 2³。

2^x+1 = 2³

底が等しいので指数どうしを比べる。

x + 1 = 3 ⟹ x = 2

▸ x = 2

両辺の底を同じにしてから指数どうしを比べる。

例題 2

関数 y = 2^x のグラフを x 軸方向に 3 だけ平行移動したグラフの式と漸近線を求めよ。

x 軸方向に +3 の移動は、x を x − 3 に置き換える。

y = 2^x-3

x 軸方向の平行移動は漸近線を変えない。

漸近線: y = 0

▸ y = 2^x-3, 漸近線 y = 0

x 軸方向の移動は漸近線を変えず、y 軸方向の移動だけが漸近線を動かす。

2022 評価院模試数学類題

0 < a < 1 のとき、指数不等式 a^2x < a^x+3 の解は？

①x > 3

②x < 3

③x > -3

④x < -3

⑤x > 1

▸ ① x > 3

底が 0 と 1 の間なので減少関数、不等号の向きが反転する。

a^2x < a^x+3 ⟺ 2x > x + 3

不等式を整理する。

2x - x > 3 ⟹ x > 3