seegongsik
高校2年生 (16-17歳)

数I 指数関数 わかりやすく

Exponential Function

指数関数 y = aˣ は、x が1増えるごとに値が a 倍になる関数です。 そのため、預金が複利でふくらんだり、細胞が2つに分かれながらふえたりするように、はじめはゆっくりでもあるときから急に大きくなる変化を表します。 底が1より大きければ右へ行くほど急に上がり、0と1の間なら0に近づいていきますが、どちらの場合もグラフは点 (0, 1) を通り、x 軸を漸近線にもちます。 1つ目の図で底を変えると曲線の傾きが変わり、2つ目の図でグラフを移すと漸近線と点 (0, 1) がいっしょに動きます。

底によって変わる形

2
💡 指数関数はどれも (0, 1) を通る
①a⁰ = 1 なので、底が何であってもグラフは点 (0, 1) を通る
②x > 0 の側では底が大きいほど急に上がり、x < 0 の側では底が大きいほど早く0に近づく
③x が小さくなるほど y は限りなく0に近づくので、x 軸が漸近線である
④この図の底は1.2以上なので、増加する場合だけをかいている

指数関数の性質

指数関数の定義
y = ax (a > 0, a ≠ 1)
底 a は1でない正の数である
📐 a > 1 と 0 < a < 1
①a > 1 なら、x が大きくなるほど y も大きくなる増加関数である
②0 < a < 1 なら、x が大きくなるほど y が小さくなる減少関数である
③y = (1/a)ˣ のグラフは、y = aˣ のグラフを y 軸に関して折り返した形である
④どちらの場合も値域は正の数全体で、漸近線は x 軸（y = 0）である

指数関数の平行移動

0
0
平行移動
y = ax-p + q
x 軸方向に p、y 軸方向に q だけ移すと、漸近線は y = q になる。図の底は2である

指数方程式と指数不等式

指数方程式
af(x) = ag(x) ⟹ f(x) = g(x)
底をそろえてから指数どうしを比べる
⚠️ 不等式では、まず底が1より大きいかを見る
①a > 1 なら aᵐ > aⁿ ⟺ m > n で、不等号の向きはそのまま
②0 < a < 1 なら aᵐ > aⁿ ⟺ m < n で、不等号の向きが変わる
③減少関数では、指数が大きいほど値が小さくなるからである

まとめ

指数関数の核心
y = ax：定義域 = ℝ、値域 = (0, ∞)、漸近線：y = 0
底が1より大きければ増加し、0と1の間なら減少する
🎯 試験ポイント
①グラフはいつも (0, 1) を通る（a⁰ = 1）
②a > 1 なら増加、0 < a < 1 なら減少
③y = aˣ⁻ᵖ + q の漸近線は y = q
④指数方程式は底をそろえてから指数を比べる
⑤指数不等式は底が1より小さければ不等号を逆にする

例題と過去問

例題 1
指数方程式 2x+1 = 8 を解け。
1
8を底2の累乗 2³ に書きかえる。
2x+1 = 23
2
y = 2ˣ は増加関数なので、値が等しければ指数も等しい。
x + 1 = 3 ⟹ x = 2
▸ x = 2
底が同じで1でなければ、異なる指数が同じ値になることはない。だから両辺の底をそろえると、指数どうしを比べる1次方程式になる。
例題 2
関数 y = 2x のグラフを x 軸方向に 3 だけ平行移動したグラフの式と漸近線を求めよ。
1
x 軸方向に3だけ移すには、x のところに x − 3 を入れる。
y = 2x-3
2
左右に移しただけなので、漸近線 y = 0 はそのままである。
漸近線: y = 0
▸ y = 2x-3, 漸近線 y = 0
漸近線は水平な直線なので、左右にずらしても同じ直線である。漸近線を変えるのは上下に移す q だけである。
2022 評価院 模試 数学 類題
0 < a < 1 のとき、指数不等式 a2x < ax+3 の解は？
①x > 3
②x < 3
③x > -3
④x < -3
⑤x > 1
▸ ① x > 3
1
0 < a < 1 なら y = aˣ は減少関数なので、値の大小と指数の大小が逆になる。
a2x < ax+3 ⟺ 2x > x + 3
2
2x > x + 3 を整理すると x > 3 である。
2x - x > 3 ⟹ x > 3
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