有理関数

Rational Function

有理関数は分母に変数を含む関数で、水を満たす時間のように2つの量の積が一定になる反比例 y = k/x から始まります。グラフは原点を中心とする双曲線で、x軸と y軸という漸近線に限りなく近づきながら決して触れません。平行移動した y = k/(x − a) + b では漸近線の交点 (a, b) が曲線の中心となり、複雑な一般形も分子を分母で割ればこの標準形に整理できます。このページでは k と移動量 a, b を動かし、双曲線と漸近線がどう動くかを確かめましょう。

反比例 — 有理関数の出発点

💧 蛇口と浴槽

①浴槽に12リットルの水を入れるとする

②毎分1L → 12分 / 毎分2L → 6分 / 毎分3L → 4分

③流量(x) が大きくなると時間(y) は減る：xy = 12（一定!)

④これが反比例関係、グラフが y = k/x

k（定数）2

基本有理関数

y = kx (x ≠ 0)

xy = k：2変数の積が常に一定

📐 基本形の核心性質

①原点対称：f(−x) = −f(x) → 奇関数

②k > 0 → 第1・3象限／k < 0 → 第2・4象限

③|k| が大きいほどグラフが軸から離れる

④漸近線：x軸(y=0) と y軸(x=0) — 限りなく近づくが交わらない

平行移動 — 漸近線の交点が核心

a（垂直漸近線位置）1

b（水平漸近線位置）1

標準形

y = kx − a + b

垂直漸近線：x = a／水平漸近線：y = b

🔑 なぜ漸近線の交点が重要か

①y = k/x の「中心」は原点 (0, 0)

②y = k/(x−a) + b の「中心」は (a, b) に移動

③漸近線 x = a と y = b の交点 = 双曲線の中心

④定義域：x ≠ a／値域：y ≠ b

一般形から標準形への変換

一般形

y = cx + dex + f

分子を分母で割って商 + 余り/分母の形に変換

🧮 例：y = (2x+5)/(x+1)

①分子 ÷ 分母：(2x+5) ÷ (x+1) = 2 余り 3

②よって y = 2 + 3/(x+1) = 3/(x+1) + 2

③標準形：k=3, a=−1, b=2

④垂直漸近線：x = −1／水平漸近線：y = 2

⑤双曲線の中心：(−1, 2)

変換のコツ

List一般形 → 標準形変換ポイント

水平漸近線 b

例：(2x+5)/(x+1) → b = 2/1 = 2

(分子の最高次係数) ÷ (分母の最高次係数)

垂直漸近線 a

例：x+1 = 0 → a = −1

分母 = 0 となる x

k 値

例：2x+5 = 2(x+1) + 3 → k = 3

分子の余り

有理関数の逆関数

逆関数関係

y = kx − a + b ↔ y = kx − b + a

漸近線の役割(a↔b) が入れ替わる — y=x に対称!

🪞 自分自身の逆関数?

①y = k/x の逆関数：x = k/y → y = k/x

②y = k/x は自分自身が逆関数（自己逆関数, involution）

③一般形 y = k/(x−a)+b の逆関数：a と b が入れ替わる

④a = b なら自分自身が逆関数（y=x に対称）

実際に解いてみる

例題 1

有理関数 y = 2/(x − 3) + 1 の漸近線の方程式を求めよ。

y = k/(x − p) + q の形では漸近線は x = p, y = q。

y = 2/(x − 3) + 1

p = 3, q = 1 を対応させる。

垂直漸近線 x = 3、水平漸近線 y = 1

▸ x = 3, y = 1

分母を 0 にする x が垂直漸近線、定数項が水平漸近線。

例題 2

有理関数 y = (2x + 1)/(x − 1) を y = k/(x − p) + q の形に直し、漸近線を求めよ。

分子を分母で割る：2x + 1 = 2(x − 1) + 3。

y = (2(x − 1) + 3)/(x − 1) = 2 + 3/(x − 1)

標準形から漸近線を読む。

y = 3/(x − 1) + 2、漸近線 x = 1, y = 2

▸ x = 1, y = 2

一般形は分子を分母で割って標準形にする。

まとめ

有理関数の核心

y = kx − a + b

漸近線の交点 (a, b)、定義域 x≠a、値域 y≠b

高1 校内試験類型

有理関数 y = 3/(x − 2) + 1 のグラフが点 (a, b) に関して対称のとき、a + b の値は?

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ③ 3

有理関数 y = k/(x − p) + q は漸近線の交点 (p, q) に関して対称。

対称の中心 = (p, q) = (2, 1)

a = 2, b = 1 を足す。

a + b = 2 + 1 = 3

🎯 試験ポイント

①漸近線：x = a（垂直）、y = b（水平）— 分母=0／最高次係数比

②k > 0：第1・3象限／k < 0：第2・4象限

③一般形 (cx+d)/(ex+f) → 除法で標準形へ

④定義域 x ≠ a、値域 y ≠ b — 漸近線の値が除外

⑤逆関数：a↔b 交換／a=b なら y=x に対称（自己逆関数）