seegongsik
高校1年生 (15-16歳)

数I 有理関数 わかりやすく

Rational Function

分数関数は分母に変数をふくむ関数で、浴そうに水をためる時間のように、2つの量の積が一定になる反比例y = k/xから始まります。 グラフは2つに分かれた双曲線で、x軸とy軸にかぎりなく近づきますが、決してふれません。このような直線を漸近線といいます。 y = k/(x − a) + bはy = k/xを平行移動したものなので、2本の漸近線が交わる点(a, b)が曲線の中心になり、複雑に見える一般形も、分子を分母で割ればこの形に整理できます。 1つ目の図ではkによって双曲線がある象限と面積kの長方形が、2つ目の図ではa, bによって漸近線と曲線がいっしょに動きます。

反比例から始まる分数関数

💧 蛇口と浴そう
①浴そうに12 Lの水をためるとする
②1分に1 Lずつなら12分、2 Lずつなら6分、3 Lずつなら4分かかる
③1分あたりの量xが増えると時間yは減り、その積xyはいつも12である
④この反比例の関係を式で表したのがy = k/xである
2
基本の分数関数
y = kx (x ≠ 0)
xy = k、2つの変数の積がいつも一定の関係
📐 基本形の性質
①f(−x) = −f(x)なので、グラフは原点に関して対称である
②k > 0なら第1、第3象限に、k < 0なら第2、第4象限にグラフがある
③|k|が大きいほど、グラフは原点から遠ざかる
④漸近線はx軸（y = 0）とy軸（x = 0）である。グラフは2つの軸にかぎりなく近づくが交わらない
⑤図の長方形の面積はいつもkで、曲線上のどの点をとってもx座標とy座標の積がkであることを表している

平行移動と漸近線

1
1
標準形
y = kx − a + b
漸近線 x = a, y = b
🔑 漸近線の交点が大事なわけ
①y = k/xのグラフは原点(0, 0)に関して対称である
②y = k/(x − a) + bはそれを(a, b)だけ動かしたものなので、点(a, b)に関して対称である
③(a, b)は、2本の漸近線x = a, y = bの交点である
④定義域はx ≠ aの実数全体、値域はy ≠ bの実数全体である

一般形を標準形に直す

一般形
y = cx + dex + f
分子を分母で割って、（商） + （余り）/（分母）の形に直す
🧮 y = (2x + 5)/(x + 1)を直す
①2x + 5 = 2(x + 1) + 3なので、分子を分母で割ると商2、余り3である
②よってy = 2 + 3/(x + 1) = 3/(x + 1) + 2
③標準形に合わせると、k = 3, a = −1, b = 2
④漸近線はx = −1, y = 2である
⑤グラフは点(−1, 2)に関して対称である

直し方のこつ

一般形からすぐに読む
横の漸近線 y = b
例：(2x + 5)/(x + 1)ならb = 2/1 = 2
（分子のxの係数）÷（分母のxの係数）
縦の漸近線 x = a
例：x + 1 = 0ならa = −1
分母を0にするx
kの値
例：2x + 5 = 2(x + 1) + 3ならk = 3
分母のxの係数が1のとき、分子を分母で割った余り

分数関数の逆関数

逆関数
y = kx − a + b ↔ y = kx − b + a
漸近線の役割が入れかわる（a ↔ b）。2つのグラフは直線y = xに関して対称
🪞 自分自身が逆関数になる関数
①y = k/xのxとyを入れかえるとx = k/y、つまりy = k/xで、もとの式と同じになる
②だから、y = k/xは自分自身が逆関数である
③y = k/(x − a) + bの逆関数はy = k/(x − b) + aで、aとbが入れかわる
④a = bなら、ふたたび自分自身が逆関数になり、グラフは直線y = xに関して対称である

例題と単元テスト

例題 1
分数関数y = 2/(x − 3) + 1のグラフの漸近線の方程式を求めよ。
1
y = k/(x − p) + qの形では、漸近線はx = p, y = qである。
y = 2/(x − 3) + 1
2
p = 3, q = 1を読み取る。
縦の漸近線 x = 3、横の漸近線 y = 1
▸ x = 3, y = 1
2つ目の図でk = 2, a = 3, b = 1にすると、このグラフになる。
例題 2
分数関数y = (2x + 1)/(x − 1)をy = k/(x − p) + qの形に直し、漸近線の方程式を求めよ。
1
分子を分母で割る。2x + 1 = 2(x − 1) + 3である。
y = (2(x − 1) + 3)/(x − 1) = 2 + 3/(x − 1)
2
標準形から漸近線を読む。
y = 3/(x − 1) + 2, 漸近線 x = 1, y = 2
▸ x = 1, y = 2
横の漸近線y = 2は、分子と分母のxの係数の比2/1と等しいので、割る前から見当がつく。

まとめ

分数関数の標準形
y = kx − a + b
漸近線 x = a, y = b、定義域 x ≠ a、値域 y ≠ b
高1 校内試験 類型
有理関数 y = 3/(x − 2) + 1 のグラフが点 (a, b) に関して対称のとき、a + b の値は？
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
有理関数 y = k/(x − p) + q は漸近線の交点 (p, q) に関して対称。
対称の中心 = (p, q) = (2, 1)
2
a = 2, b = 1 を足す。
a + b = 2 + 1 = 3
🎯 よく出るポイント
①縦の漸近線は分母を0にするx、横の漸近線は分子と分母のxの係数の比で求める
②k > 0なら第1、第3象限側、k < 0なら第2、第4象限側にグラフがある
③一般形(cx + d)/(ex + f)は割り算で標準形に直す
④定義域からはx = aが、値域からはy = bが除かれる
⑤逆関数はaとbを入れかえたもので、a = bなら自分自身が逆関数になる
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最終更新

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