共通数学›集合・命題・関数

有理関数

Rational Function

反比例 — 有理関数の出発点
💧 蛇口と浴槽
①浴槽に12リットルの水を入れるとする
②毎分1L → 12分 / 毎分2L → 6分 / 毎分3L → 4分
③流量(x) が大きくなると時間(y) は減る：xy = 12（一定!)
④これが反比例関係、グラフが y = k/x
2
基本有理関数
y = kx (x ≠ 0)
xy = k：2変数の積が常に一定
📐 基本形の核心性質
①原点対称：f(−x) = −f(x) → 奇関数
②k > 0 → 第1・3象限／k < 0 → 第2・4象限
③|k| が大きいほどグラフが軸から離れる
④漸近線：x軸(y=0) と y軸(x=0) — 限りなく近づくが交わらない
平行移動 — 漸近線の交点が核心
1
1
標準形
y = kx − a + b
垂直漸近線：x = a／水平漸近線：y = b
🔑 なぜ漸近線の交点が重要か
①y = k/x の「中心」は原点 (0, 0)
②y = k/(x−a) + b の「中心」は (a, b) に移動
③漸近線 x = a と y = b の交点 = 双曲線の中心
④定義域：x ≠ a／値域：y ≠ b
一般形から標準形への変換
一般形
y = cx + dex + f
分子を分母で割って 商 + 余り/分母 の形に変換
🧮 例：y = (2x+5)/(x+1)
①分子 ÷ 分母：(2x+5) ÷ (x+1) = 2 余り 3
②よって y = 2 + 3/(x+1) = 3/(x+1) + 2
③標準形：k=3, a=−1, b=2
④垂直漸近線：x = −1／水平漸近線：y = 2
⑤双曲線の中心：(−1, 2)

変換のコツ

📋一般形 → 標準形 変換ポイント
水平漸近線 b
例：(2x+5)/(x+1) → b = 2/1 = 2
(分子の最高次係数) ÷ (分母の最高次係数)
垂直漸近線 a
例：x+1 = 0 → a = −1
分母 = 0 となる x
k 値
例：2x+5 = 2(x+1) + 3 → k = 3
分子の余り
有理関数の逆関数
逆関数関係
y = kx − a + b ↔ y = kx − b + a
漸近線の役割(a↔b) が入れ替わる — y=x に対称!
🪞 自分自身の逆関数?
①y = k/x の逆関数：x = k/y → y = k/x
②y = k/x は自分自身が逆関数（自己逆関数, involution）
③一般形 y = k/(x−a)+b の逆関数：a と b が入れ替わる
④a = b なら自分自身が逆関数（y=x に対称）
まとめ
有理関数の核心
y = kx − a + b
漸近線の交点 (a, b)、定義域 x≠a、値域 y≠b
🎯 試験ポイント
①漸近線：x = a（垂直）、y = b（水平）— 分母=0／最高次係数比
②k > 0：第1・3象限／k < 0：第2・4象限
③一般形 (cx+d)/(ex+f) → 除法で標準形へ
④定義域 x ≠ a、値域 y ≠ b — 漸近線の値が除外
⑤逆関数：a↔b 交換／a=b なら y=x に対称（自己逆関数）