有理関数は分母に変数を含む関数で、水を満たす時間のように2つの量の積が一定になる反比例 y = k/x から始まります。
グラフは原点を中心とする双曲線で、x軸と y軸という漸近線に限りなく近づきながら決して触れません。
平行移動した y = k/(x − a) + b では漸近線の交点 (a, b) が曲線の中心となり、複雑な一般形も分子を分母で割ればこの標準形に整理できます。
k と移動量 a, b を動かすと、双曲線と漸近線の動きが見えます。
反比例 — 有理関数の出発点
💧 蛇口と浴槽
①浴槽に12リットルの水を入れるとする
②毎分1L → 12分 / 毎分2L → 6分 / 毎分3L → 4分
③流量(x) が大きくなると時間(y) は減る：xy = 12（一定!)
④これが反比例関係、グラフが y = k/x
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y = k/x 基本形 — k を変えて双曲線を観察
2
基本有理関数
y = kx (x ≠ 0)
xy = k：2変数の積が常に一定
📐 基本形の核心性質
①原点対称：f(−x) = −f(x) → 奇関数
②k > 0 → 第1・3象限／k < 0 → 第2・4象限
③|k| が大きいほどグラフが軸から離れる
④漸近線：x軸(y=0) と y軸(x=0) — 限りなく近づくが交わらない
平行移動 — 漸近線の交点が核心
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元(青) から (a, b) 平行移動された有理関数(金)
1
1
標準形
y = kx − a + b
垂直漸近線：x = a／水平漸近線：y = b
🔑 なぜ漸近線の交点が重要か
①y = k/x の「中心」は原点 (0, 0)
②y = k/(x−a) + b の「中心」は (a, b) に移動
③漸近線 x = a と y = b の交点 = 双曲線の中心
④定義域：x ≠ a／値域：y ≠ b
一般形から標準形への変換
一般形
y = cx + dex + f
分子を分母で割って 商 + 余り/分母 の形に変換
🧮 例：y = (2x+5)/(x+1)
①分子 ÷ 分母：(2x+5) ÷ (x+1) = 2 余り 3
②よって y = 2 + 3/(x+1) = 3/(x+1) + 2
③標準形：k=3, a=−1, b=2
④垂直漸近線：x = −1／水平漸近線：y = 2
⑤双曲線の中心：(−1, 2)
変換のコツ
一般形 → 標準形 変換ポイント
水平漸近線 b
例：(2x+5)/(x+1) → b = 2/1 = 2
(分子の最高次係数) ÷ (分母の最高次係数)
垂直漸近線 a
例：x+1 = 0 → a = −1
分母 = 0 となる x
k 値
例：2x+5 = 2(x+1) + 3 → k = 3
分子の余り
有理関数の逆関数
逆関数関係
y = kx − a + b ↔ y = kx − b + a
漸近線の役割(a↔b) が入れ替わる — y=x に対称!
🪞 自分自身の逆関数?
①y = k/x の逆関数：x = k/y → y = k/x
②y = k/x は自分自身が逆関数（自己逆関数, involution）
③一般形 y = k/(x−a)+b の逆関数：a と b が入れ替わる
④a = b なら自分自身が逆関数（y=x に対称）
実際に解いてみる
例題 1
有理関数 y = 2/(x − 3) + 1 の漸近線の方程式を求めよ。
1
y = k/(x − p) + q の形では漸近線は x = p, y = q。
y = 2/(x − 3) + 1
2
p = 3, q = 1 を対応させる。
垂直漸近線 x = 3、水平漸近線 y = 1
▸ x = 3, y = 1
分母を 0 にする x が垂直漸近線、定数項が水平漸近線。
例題 2
有理関数 y = (2x + 1)/(x − 1) を y = k/(x − p) + q の形に直し、漸近線を求めよ。
1
分子を分母で割る：2x + 1 = 2(x − 1) + 3。
y = (2(x − 1) + 3)/(x − 1) = 2 + 3/(x − 1)
2
標準形から漸近線を読む。
y = 3/(x − 1) + 2、漸近線 x = 1, y = 2
▸ x = 1, y = 2
一般形は分子を分母で割って標準形にする。
まとめ
有理関数の核心
y = kx − a + b
漸近線の交点 (a, b)、定義域 x≠a、値域 y≠b
高1 校内試験 類型
有理関数 y = 3/(x − 2) + 1 のグラフが点 (a, b) に関して対称のとき、a + b の値は?